O que o capítulo faz
ObjetivoDerivar as equações que governam o escoamento viscoso da água ao redor do navio a velocidade de avanço constante (V) e enunciar as boundary conditions (condições de contorno) que elas satisfazem.
Sistema fechado: 4 incógnitas — a pressão p e as componentes de velocidade u, v, w — e 4 equações: 1 de continuidade (2.1) + 3 de Navier–Stokes (2.13a–c).
Continuidade = conservação da massa; Navier–Stokes = 2ª lei de Newton aplicada à partícula de fluido.
Premissa que atravessa todo o capítulo: a água é tratada como incompressível → densidade ρ constante. É o livro mais formula-heavy da obra; quem só quer o resultado pula direto às eqs. (2.13a)–(2.13c).
Símbolos-chave
| Símbolo | Grandeza |
|---|---|
| x, y, z | x para a popa (sternward), y para boreste (starboard), z para cima; origem a meia-nau e no nível d'água não perturbado |
| u, v, w | componentes de velocidade em x, y, z |
| ρ | densidade (constante — água incompressível) |
| μ, ν | viscosidade dinâmica / cinemática; ν = μ/ρ |
| g | gravidade — atua só ao longo do −z |
| σij | tensor de tensões viscosas (i = face normal, j = direção da tensão) |
NomenclaturaSegue a recomendação da ITTC. Escoamento ao redor do navio a velocidade de avanço constante V; despreza-se a instabilidade de movimentos do navio, ondas e manobra.
- x — dirigido para a popa (sternward).
- y — dirigido para boreste (starboard, bordo direito).
- z — dirigido verticalmente para cima.
- Origem — a meia-nau (midship) e no nível d'água não perturbado.
O sistema move-se com o navio: imagina-se o casco parado dentro de um inflow uniforme vindo de vante. Nesse referencial o campo é estacionário no sentido de média temporal — as flutuações turbulentas são filtradas (ver Seção 9.7).
Ainda assim as equações são derivadas na forma não estacionária (unsteady), mantendo os termos ∂/∂t, para uso posterior com modelagem de turbulência.
O que expressaConservação da massa. Deriva-se de um elemento infinitesimal de volume dx dy dz, balanceando a massa que entra e sai pelas faces.
Sem fontes de massa › transporte líquido total para fora = 0 › com ρ constante, ρ e o volume se cancelam
∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z = 0 › continuidade p/ escoamento incompressível (2.1)
Significado: o volume de um elemento de fluido incompressível se conserva — tudo que entra tem de sair. A soma dos três gradientes diagonais (a divergência da velocidade) é zero em toda parte.
Ponto de partida2ª lei de Newton no mesmo elemento infinitesimal: dF = dm · a (2.2). Três forças agem na partícula: de pressão, de corpo (aqui, gravidade) e viscosa.
A aceleração = derivada material
A aceleração é a derivada total (material) da velocidade — soma de dois pedaços: aceleração local (∂u/∂t, num ponto fixo) + aceleração convectiva (a partícula muda para região de velocidade diferente) — eqs. (2.5a–c).
Força de pressão
dFpx/dm = −(1/ρ)·∂p/∂x › (2.6a–c)
O sinal menos significa que o fluido é empurrado da alta para a baixa pressão.
Força de corpo — gravidade
Única força de corpoComo z aponta para cima, a gravidade não tem componente em x e y; só em z vale dFbz/dm = −g (2.7c).
OrigemVem das tensões (normais e tangenciais) nas faces do elemento. Cada tensão σij tem 2 índices: i = face onde atua (pela normal), j = direção da própria tensão.
O tensor de tensões viscosas σij tem 9 componentes; por ser simétrico (σij = σji), só 6 são independentes.
Hipótese de Newton–Stokes
| Quem | Quando | O quê |
|---|---|---|
| Newton (Principia) | 1687 | relação linear entre tensão de cisalhamento e gradiente normal de velocidade (cilindro girando) |
| Stokes | 1845 | generalizou para escoamentos 3D gerais |
σij = μ·Sij › (2.10) › Sij = tensor rate-of-strain (taxa de deformação) › μ = viscosidade dinâmica (constante de proporção)
Ao inserir as tensões na equação, 3 termos extras somem por continuidade: o gradiente em x de (∂u/∂x+∂v/∂y+∂w/∂z) é gradiente de zero (eq. 2.1). Resta só o Laplaciano de cada componente — eqs. (2.12a–c), com ν = μ/ρ.
Como se chegaSubstituindo aceleração (2.5), pressão (2.6), corpo (2.7) e viscosa (2.12) na 2ª lei → Navier–Stokes p/ escoamento incompressível, com a gravidade como única força de corpo ao longo de −z: (2.13a–c).
Como ler cada equação
| Lado | Significado |
|---|---|
| Esquerdo (LHS) | aceleração da partícula (termo local ∂/∂t + termos convectivos) |
| Direito (RHS) | forças por unidade de massa: gradiente de pressão + termo viscoso (Laplaciano × ν) |
O termo −g aparece só na equação de z — é o efeito da gravidade. As equações estão em forma de componentes.
NaturezaNavier–Stokes são EDPs de 2ª ordem, elípticas. Equações elípticas exigem condições em todos os contornos do domínio.
Três tipos de contorno para u, v, w, p: superfícies sólidas, superfície da água e "infinito".
Sólidos — no-slip (§2.4.1)
no-slipNo contato sólido–líquido a velocidade tangencial se iguala: o líquido gruda na superfície sólida submersa.
| Superfície | Condição |
|---|---|
| Casco (move com o referencial) | u = v = w = 0 (2.14) |
| Fundo/praia/margem (fixos à Terra) | u = V, v = w = 0 (2.15) |
Ressalva do autor: para superfícies extremamente hidrofóbicas o no-slip pode não valer (Watanabe et al., 1999) — mas não está bem provado, e o livro assume no-slip em todo o texto.
Superfície da água — free surface (§2.4.2)
- Condições dinâmicas (equilíbrio de forças através da interface). Desprezando as tensões viscosas → condição inviscida: p = pa − Δpγ (2.18).
- Salto de pressão por tensão superficial: Δpγ = γ·(1/r1 + 1/r2) (2.19) — γ = tensão superficial; r1, r2 = raios principais de curvatura. Quanto mais curvada a superfície, maior o salto.
- Condição cinemática: nenhum fluxo atravessa a superfície → w = dζ/dt (2.20), com ζ(x,y) = altura da onda (free-surface).
"Infinito" (§2.4.3)
CondiçãoTodas as perturbações vão a zero no infinito: u = V, v = w = 0, p = p∞ (2.21).
HidrostáticaNo líquido em repouso a pressão cresce linearmente com a profundidade: phs = −ρ·g·z (2.22) (abaixo da superfície z é negativo → phs positiva e cresce com a profundidade).
p = phs + phd › (2.23) › phd = p + ρ·g·z (2.24)
A jogadaNa equação de z, os termos de pressão e gravidade (−1/ρ·∂p/∂z − g) combinam num único gradiente de phd, pois ∂(ρgz)/∂z = ρg.
"Se a pressão em Navier–Stokes é substituída pela pressão hidrodinâmica, nenhum termo de gravidade deve ser incluído." (Larsson & Raven, §2.5)
Faz sentido: substituir p por phd equivale a remover a hidrostática — que só equilibra o peso de cada elemento e não gera movimento algum. Esse split hidrodinâmica/hidrostática não é usual na dinâmica de fluidos em geral (no ar a aerostática é ínfima).