O ensaio
CenárioRéplica em escala rebocada num tanque — o towing tank (tanque de reboque): o modelo é puxado por um carro e mede-se a força (e às vezes o escoamento) em várias velocidades.
- Modelo é geometricamente semelhante ao navio = um geosim.
- As duas perguntas não óbvias: a que velocidade rodar o modelo? e como escalar forças e velocidades para escala real?
- O Cap. 3 responde ambas derivando as leis de semelhança — tornando as equações de Navier–Stokes adimensionais e perguntando quando a solução fica independente da escala.
Resultado em uma linha: constância de Rn, En/σ, Fn e Wn entre dois geosim é condição necessária e suficiente para semelhança total de escoamento. No tanque, só um de Rn, Fn, Wn pode ser casado — e a escolha, desde Froude em 1868, é casar o Fn.
Símbolos-chave
| Símbolo | Grandeza |
|---|---|
| L | comprimento de referência (normalmente Lpp, entre perpendiculares) |
| U∞ (= V) | velocidade de referência (normalmente a velocidade do navio) |
| ν | viscosidade cinemática (ν = μ/ρ); entra no Rn |
| g | gravidade; entra no Fn |
| γ | tensão superficial; entra no Wn |
| pa, pv | pressão atmosférica / de vapor; entram em En e σ |
Três tipos que se encadeiam: a geométrica é a precondição; casar os números adimensionais certos entrega então a cinemática e a dinâmica.
| Semelhança | Definição | Consequência |
|---|---|---|
| Geométrica | navio e modelo têm a mesma forma | obtida por escala linear (por L); a rugosidade não escala exato, mas não tem efeito se for pequena o bastante |
| Cinemática | todas as velocidades (e componentes!) escaladas pelo mesmo fator | linhas de corrente geometricamente semelhantes nas duas escalas |
| Dinâmica | todas as forças (e componentes!) escaladas pelo mesmo fator | vetores de força com a mesma direção nas duas escalas |
Escala linear por L › equações adimensionais idênticas › solução adimensional única › entrega cinemática + dinâmica
IdeiaTornar as grandezas das equações e contornos adimensionais (barra = adimensional) e achar sob que condições ficam independentes da escala. Se conseguir, a solução adimensional é única → valem cinemática e dinâmica.
comprimentos › ÷ L · velocidades ÷ U∞ · tempo ÷ L/U∞ · pressão › p̄ = phd/(ρU∞²)
A pressão é adimensionalizada com a pressão hidrodinâmica phd (não a total p), pela escala ρU∞²: largar a parte hidrostática remove o termo de gravidade autônomo das equações de campo.
Ao inserir tudo nas Navier–Stokes, o único parâmetro adimensional que sobrevive nas equações de momento (3.1a–c) é 1/Rn, multiplicando o termo viscoso (laplaciano). As equações de campo isolam o número de Reynolds; a continuidade mantém a forma limpa.
| Contorno | Condição adimensional |
|---|---|
| Casco (no-slip) | ū = v̄ = w̄ = 0 |
| Contornos fixos à Terra | ū = 1, v̄ = w̄ = 0 |
| Superfície livre (cinemática) | w̄ = dζ̄/dt̄ |
| Infinito | ū = 1, v̄ = w̄ = 0, p̄ = 0 |
De onde vêm os quatro números
A condição dinâmica da superfície livre (eq. 3.8) carrega três grupos adimensionais, um por colchete:
| Colchete | Grupo |
|---|---|
| 1º | Euler En = pa/(ρU∞²) |
| 2º | gL/U∞² = 1/Fn² (inverso do quadrado de Froude) |
| 3º | γ/(ρU∞²L) = 1/Wn (inverso de Weber) |
Somados a 1/Rn (das equações de momento), estes são os únicos parâmetros que aparecem em todo o problema.
| Número | Definição | O que escala | Onde aparece |
|---|---|---|---|
| Reynolds Rn | U∞L/ν | viscosidade; razão forças inerciais/viscosas | momento (3.1a–c) |
| Euler En | pa/(ρU∞²) | nível de pressão absoluta; cavitação | sup. livre (3.8) |
| Froude Fn | U∞/√(gL) | gravidade na sup. livre; geração de ondas | sup. livre (3.8) |
| Weber Wn | ρU∞²L/γ | tensão superficial; spray, quebra, capilares | sup. livre (3.8) |
| Cavitação σ | (pa−pv)/(½ρU∞²) | margem à cavitação; intercambiável com En | derivado de En |
Euler → cavitaçãopa fixa o nível de pressão absoluto; se a pressão em qualquer ponto cair abaixo da pressão de vapor pv ocorre cavitação. A margem pa−pv leva ao número de cavitação σ; como diferem só por constante, En e σ são intercambiáveis.
A constância de Rn, Euler(cavitação), Fn e Wn é condição necessária e suficiente para semelhança de escoamento entre geosim em escalas diferentes (Larsson & Raven, §3.2).
Rota alternativa: os mesmos parâmetros saem da análise dimensional (teorema Π de Buckingham, 1914); o livro os deriva das equações e remete a White (1994) para a via dimensional.
Em teoria, o ensaio do modelo no tanque deveria satisfazer todas:
- Semelhança geométrica — mesma forma, exceto a rugosidade.
- Sem blockage — tanque largo e fundo o bastante (condições de contrato = águas irrestritas).
- Igual Rn — viscosidade correta; está nas Navier–Stokes, afeta todos os escoamentos (única exceção: aproximação de escoamento invíscido).
- Igual Fn — gravidade na superfície livre; Fn correto = ondas corretamente escaladas → resistência de onda correta. Sem superfície livre, nem Fn/Wn/σ importam.
- Igual Wn — tensão superficial: spray, quebra de ondas, ondas muito curtas.
- Igual σ — mesmo padrão de cavitação; quase nunca ocorre no casco (não se considera no tanque), mas importa no projeto do hélice.
É impossível satisfazer todas as exigências ao mesmo tempo. O modelo é mais curto que o navio, então uma só velocidade não dá Rn, Fn e Wn corretos juntos.
| Para acertar… | Velocidade do modelo deve ser… |
|---|---|
| Froude (Fn) | menor que a do navio (velocidade escala como √L) |
| Reynolds e Weber | maior |
Poder-se-ia mudar as propriedades do fluido (ρ, g, ν, γ), mas não há fluido adequado; testa-se em água doce (constantes muito próximas da salgada real). Só um dos três é satisfeito; os outros dois, sacrificados.
Qual largar? O Weber
Um Wn errado tem o menor efeito no escoamento e na resistência. Modelo mais lento → Wn pequeno demais → tensão superficial relativamente forte demais. Artefatos de escala de modelo:
- ondas de quebra diferentes — muito menos "white water";
- spray diferente em alta velocidade (films de água mais coerentes);
- ondas capilares em baixa velocidade, sem contraparte em escala real;
- o padrão de ondas desvia se a velocidade do modelo for ≈ 0,23 m/s — velocidade a evitar quando importa a geração de ondas.
Restam os dois que realmente contam — Reynolds e Froude — ambos importantes para resistência e escoamento.
Satisfazer o número de Froude e corrigir os erros do Reynolds errado — exatamente o que William Froude propôs em 1868. No Fn certo, a gravidade (motriz das ondas) fica corretamente escalada.
"O modelo deve ser ensaiado no mesmo número de Froude que o navio." (Larsson & Raven, §3.3.2)
Como a resistência de onda escala
Fn casado › RW ∝ ρV²L² › com V ∝ √L → V² ∝ L › RW ∝ L³ (proporcional ao deslocamento)
Resistência viscosaGovernada pelo Reynolds. Froude a calculava por fórmula empírica (plank tests); as fórmulas modernas ainda são função de um só parâmetro — o Rn.
Aproximação de trabalho: resistência de onda depende só do Fn; resistência viscosa só do Rn. Na realidade ambas dependem dos dois, mas a aproximação basta e ancora todo o método de extrapolação (Seções 4–8).
| Facilidade | Bom para | Por quê |
|---|---|---|
| Túnel de vento | lemes, apêndices, medições de camada limite | equipamento de acesso mais fácil; menor exigência de robustez no ar |
| Tanque de água | alguns problemas aerodinâmicos (ex.: automóveis, Larsson et al., 1989) | carro rebocado no fundo reproduz bem as rodas girando e o fluxo sob o carro |
No túnel de vento há sempre uma camada limite no fluxo de aproximação — ausente quando o carro anda no ar parado — que precisa ser removida (não sem problemas); e as rodas girando, que não podem tocar o piso, são difíceis de modelar.