🧭 MMPH · Cap.5 — Ship Resistance and Flow · Ch. 5 — Inviscid Flow, Wave Making, and Wave Resistance

Mapa Mental PH (aula enxutíssima) · Larsson & Raven, Ship Resistance and Flow · I.03-MN · Área I do edital · só o que cai, em esquemas · ✎ marque lacunas e oclusões para revisão ativa
☀️

O que o capítulo entrega

EscopoEstuda uma das duas partes da resistência: a wave making do navio e a wave resistance que ela produz. A parte viscous fica para o Cap.6. Divide-se porque cada uma mapeia num fenômeno físico distinto (embora ocorram ao mesmo tempo e interajam).
A wave making do navio é tratada como se a viscosidade não existisse (escoamento inviscid / potential).

Três razões que justificam separá-la da viscosidade

ArgumentoO que diz
DecompositionResistência total = wave + viscous — a divisão mais ligada a fenômenos físicos distintos.
Model testsÉ impossível casar ao mesmo tempo Rn (Reynolds) e Fn (Froude) de modelo e navio; testa-se o modelo no Froude number do navio. Um fator de 100 em Rn quase não muda a wave making → wave making é pouco sensível à viscosidade.
Boundary layerA alto Rn o efeito viscoso fica confinado a uma camada-limite fina + esteira estreita; dentro dela a pressão = pressão logo fora → o campo de pressão (e a wave making) independe da viscosidade em 1ª aproximação.

CT(Fn,Rn) ≈ CW(Fn) + CV(Rn) › CW só depende de Fn; CV só de Rn › base do model-to-ship extrapolation

Até §5.7 a profundidade é ilimitada; os pequenos desvios reais (viscosos) ficam reunidos em §5.7.

Euler → Bernoulli → velocity potential

  • Largam-se os termos viscosos de Navier–Stokes → equações de Euler.
  • Fluxo irrotational (vorticidade = 0, teorema de Kelvin) → velocidade = gradiente de um escalar, o velocity potential φ (v = ∇φ).
  • Bernoulli: ½(u²+v²+w²) + p/ρ + gz = constante; como todo streamline nasce no mesmo campo upstream, a constante vale para todo o campo.
  • Continuidade com v=∇φ → Laplace: ∇²φ = 0 (não contém a pressão → equações desacopladas: acha-se φ, depois p).

p = −ρgz (hidrostática) + ½ρ(U∞² − ∇φ·∇φ) (hidrodinâmica) › onde a velocidade local excede U∞ a pressão hidrodinâmica é negativa

Laplace é linear e homogênea → soluções podem ser superpostas (explorado em §5.4, linear waves).

Corpo 2-D: a curvatura fixa a pressão

RegraEquilíbrio centrípeto: ∂p/∂r = ρu²/r → a pressão cresce afastando-se do centro de curvatura.
Fig. 5-2
Fig. 5-2 — Relation between streamline curvature and pressure gradient (centripetal term rho*u^2/r balanced by dp/dn).
  • 4 regiões de curvatura forte: front end, fore shoulder, aft shoulder, aft end.
    • Fig. 5-1
    Fig. 5-1 — Pressure variation due to streamline curvature around a 2-D body in inviscid parallel flow.
  • Proa/popa: streamlines curvam para longe do casco → alta pressão nas extremidades.
  • Ombros (shoulders): superfície convexa → baixa pressão (Cp negativo, velocidade > velocidade do navio).
    • Fig. 5-4
    Fig. 5-4 — Pressure and velocity distribution along a 2-D body; inviscid vs real (with/without separation).
StagnationNo stagnation point da proa a velocidade cai a zero e a pressão hidrodinâmica é máxima: pmax = ½ρU∞². Adimensional: Cp = 1 no stagnation, negativo nos shoulders.

Casco 3-D e o d'Alembert's paradox

  • Vale a mesma regra, agora com curvatura normal (através) e paralela (ao longo do girth) à superfície.
    • Fig. 5-5
    Fig. 5-5 — Pressure distribution and streamlines around a ship hull in inviscid flow (high/low pressure contours).
  • Stagnation na proa (ex.: ponta do bulbo); alta no forebody; baixa nos ombros (fore shoulder é o mais baixo); alta de volta na popa.
  • No bilge a curvatura normal é grande → pressão baixa, Cp ≈ −0,3.
Fig. 5-3
Fig. 5-3 — Pressure distribution (Cp) along a 2-D body in inviscid flow; stagnation point Cp=1.0.
d'Alembert's paradox: corpo fechado em fluido inviscid infinito e sem free surface → a força de pressão longitudinal integra exatamente a zero: nenhuma resistência sem superfície livre (Prandtl & Tietjens, 1957).
LinearizaçãoSó para small amplitude (altura ≪ comprimento) as condições de superfície linearizam → a Kelvin free-surface condition (∂²φ/∂t² + gφz = 0) é linear → ondas podem ser superpostas, em qualquer direção, aplicada em z = 0.

Dispersion ω² = gk › k = g/c² › λ = 2πc²/g › Ewave = ½ρgA²λ ; fluxo |Ė| = ¼ρgA²c

Fig. 5-6
Fig. 5-6 — A ship wave pattern (aerial photo).

As 5 propriedades (deep water, small amplitude)

Fig. 5-7
Fig. 5-7 — Definitions used for derivation of wave properties: wavelength, amplitude, phase speed, energy flux.
PropriedadeO que significa
LinearityOndas que satisfazem Laplace + Kelvin podem ser superpostas.
DispersionA velocidade depende do comprimento, não da amplitude: c = √(gλ/2π). Ao contrário de som/luz, ondas de água são dispersivas.
Vertical decayDecai exponencialmente com a profundidade (∝ e2πz/λ): a meia-onda para baixo já vale só 4% do valor de superfície.
Orbital motionComponentes x e z com defasagem de 90° → partículas descrevem círculos; velocidade média do fluido é zero (só a forma viaja a c).
Group velocityA energia viaja a metade da velocidade da crista.
Fatos-pivô: c = √(gλ/2π) e cg = ½c (deep-water group velocity).

Stone-in-a-pond: cada crista aparece na borda interna, atravessa o grupo (a c) e some na externa; a energia fica com o grupo, que anda a cg = ½c. Esse único fato molda todo o ship wave pattern.

Fig. 5-8
Fig. 5-8 — Orbital motion in a deep-water wave; circular orbits decaying as exp(kz).

2-D: uma única onda, só a ré

ComprimentoToda onda segue o corpo → sua phase speed = V; a dispersion fixa λ = 2πV²/g = 2πFn²L.
As ondas ocorrem só a jusante (downstream) — consequência de cg < c: a energia (a cg = ½V) é perdida pela fronteira de ré e deve ser reposta continuamente pelo corpo. Essa reposição é a wave resistance: RW = ¼ρgA².

3-D: transverse vs diverging waves

CondiçãoCada componente é steady no referencial do navio → c = V·cosθ; e λ(θ) = 2πFn²L·cos²θ (θ de −π/2 a +π/2).
TransverseDiverging
θpequeno; "a" transverse é θ = 0grande
Cristas~perpendiculares à rotaoblíquas / laterais
Comprimentoa mais longa: λ0 = 2πFn²Lmais curtas por fator cos²θ
Linha divisória usual: θ = 35°. Em padrões reais veem-se componentes até θ = 60–70°.

O Kelvin wedge — o envelope de 19°28′

Ray directionSeguindo para onde a energia de cada θ viaja (a cg = ½c), yE/xE = sinθcosθ/(2−cos²θ). Máximo em sinθ = √(1/3), i.e. θ = 35° → direção do raio 19°28′.
Toda a energia gerada pelo navio cabe num setor com meio-ângulo de 19°28′ — o Kelvin wedge (Lord Kelvin, ~1900). Dentro: transverse waves; nas laterais: diverging; encontram-se em cusps na borda.
DecaimentoAmplitude cai como dist−1/2 dentro do wedge; mas na borda (θ ≈ 35°) só como dist−1/3 (Lighthill, 1980) → longe do navio domina — por isso a borda externa é a parte mais visível.

Como um navio real difere de Kelvin

  • Não é um ponto isolado: bow, stern e shoulders geram cada um seu sistema, em Kelvin wedges sobrepostos e interferentes.
    • Fig. 5-9
    Fig. 5-9 — Two-dimensional wave pattern (steady waves) behind a submerged body moving at constant speed.
  • Cristas costumam ser curtas e retas, não as longas côncavas do padrão ideal.
  • Existe um near-field disturbance além das ondas far-field; a onda propaga sobre esse escoamento curvo → o cusp da bow-wave aparece deslocado para fora/frente.
    • Fig. 5-10
    Fig. 5-10 — Direction, phase speed, and length of wave components in 3-D cases.
    Fig. 5-11
    Fig. 5-11 — Construction of ray direction.

Interferência: os 5 sistemas de Wigley (1931)

#SistemaComeça com
1Near-field ("Bernoulli wave") — não irradia energiapicos nas pontas, cavas nos ombros
2Bow wavecrest
3Fore-shoulder wavetrough
4Aft-shoulder wavetrough
5Stern wavecrest
A interferência é fixada pela razão λ0/L = 2πFn² — logo, para um dado casco, pelo Froude number (bow e stern reforçam-se quando essa razão vale 1).

Far aft, o padrão é a soma de componentes sinusoidais; as funções A(θ), B(θ) são o free-wave spectrum (medido por wave pattern analysis). Kelvin point-source ∝ 1/cos²θ (muita contribuição diverging).

Fig. 5-12
Fig. 5-12 — Ray direction as a function of wave angle theta (peak ~19.5 deg).
Fig. 5-13
Fig. 5-13 — Kelvin wave pattern; wave crests and troughs within the 19 deg 28' wedge.
Fig. 5-14
Fig. 5-14 — A ship wave pattern displaying clearly defined rays at the outside of the Kelvin wedges.
Fig. 5-16
Fig. 5-16 — Near-field disturbance and free wave systems for the wedge hull (bow, shoulder, stern systems).
Fig. 5-17
Fig. 5-17 — Example of a ship wave spectrum: amplitude as a function of wave angle theta.
DefiniçãoSe o corpo viaja na superfície, o padrão de ondas altera a pressão e a força longitudinal não cancela mais: RW = −∬S p·nx dS (5.31). S = área molhada até a linha-d'água ondulada; fluxo tomado inviscid.

Havelock (1934) pela energia far-field › RW ∝ ∫ (A²+B²)·cos³θ dθ (5.32)

  • RW é quadrático na amplitude; a fase far-field não importa.
  • O peso cos³θ faz as transverse waves pesarem muito mais que as diverging → reduzir a transverse amplitude corta resistência.
  • Como é quadrático, as contribuições não se superpõem → a interferência é decisiva.
Fig. 5-18
Fig. 5-18 — Analysis of wave-making resistance Cw into interference components, for a wedge-shaped hull.
Interferência construtiva → alta wave resistance (hump); destrutiva → baixa (hollow). Oscila com o Fn ao longo da curva — raiz do vínculo entre velocidade econômica e comprimento do navio.

Localizar os humps: wedge hull e o z-method

  • Wedge hull: CW = V⁴·(constante + 4 termos oscilantes). Acima de Fn ≈ 0,48 a maioria cancela e CW cai.
  • Wigley (1942): até Fn ≈ 0,4 as transverse fixam os humps; acima, as diverging pesam mais.
  • z-method (empírico): só 2 sistemas — bow (crest) + aft-shoulder (trough), separados pelo wave-making length z. Máximo em z = (2k+1)λ/2; mínimo em z = kλ. Baker & Kent (1919): z = CP·L + ¼λ.
HumpsFn = √(CP/(2π(k+¼))). Para o wedge de Wigley (CP = 0,637): humps previstos em Fn = 0,177; 0,212; 0,285 vs computados 0,173; 0,205; 0,269; 0,476.

A curva de resistência de baixa a alta velocidade

FnO que acontece
< 0,10Ondas desprezíveis; resistência quase toda viscous; CT ~constante.
≈ 0,15Bow wave clara; wave resistance pequena. Service speed dos VLCCs.
≈ 0,20Stern transverse pesa mais. Navios mercantes de fullness moderada.
≈ 0,25Wave resistance já importante. Ferries, cruise liners, containerships.
≈ 0,30Interferência bow–stern importante; hump indesejado. L alto (L/B) adia o wave-making.
≈ 0,40Transverse λ = comprimento do navio → subida forte rumo ao main hump (~0,5). Faixa "hull speed".
≈ 0,50Navio navega na própria onda (main hump). Só cascos transom passam com facilidade.
≈ 1,0Planing: lift dinâmico carrega o peso; padrão vira um V estreito (some θ > 35°).
Fig. 5-19
Fig. 5-19 — Contributions of transverse and divergent waves to wave resistance vs Froude number.
Quando quebraA teoria sinusoidal supõe small amplitude; perto do navio a steepness pode ser grande → correções não-lineares e, no limite, wave breaking.
TipoComportamento
Plunging (Tulin & Landrini, 2000)Crista íngreme forma um jato para frente que cai na superfície à frente.
Spilling (Cointe & Tulin, 1994)Mancha de água aerada desliza pela face frontal. Um plunging costuma virar spilling depois.
  • Sharp bow (alta velocidade): bow wave sobe o casco e tomba → plunging.
  • Blunt bow: spilling na frente da crista larga.
  • Aft do transom: spilling na 1ª crista atrás.
MecanismoInception não totalmente resolvida: free-surface boundary layer causando separação, ou o bow wave ficando instável e formando um necklace vortex (vorticidade medida).
A wave breaking resistance pode chegar a 15% da resistência total num casco cheio (Baba, 1969, pela wake momentum loss) — vs a wave pattern resistance das ondas irradiadas.
A quebra reduz a amplitude da onda trailing → a soma das duas partes muda pouco. Hoje não é costume separar as duas partes da wave resistance. No scaling, ambas são escaladas direto.
Spray dragA alta velocidade um sharp bow lança uma lâmina que se destaca em spray; spray rails a desviam. Em planing, o spray é essencial à aderência da água ao fundo (Savitsky et al., 2007).
Fig. 5-21
Fig. 5-21 — Wave breaking and the resulting necklace (bow) vortex.
Tratar a wave making como totalmente inviscid é aproximação; os efeitos viscosos reais existem mas costumam ser pequenos e só métodos free-surface viscosos recentes os quantificam.
  • Viscous attenuation da propagação de deep-water waves: desprezível em escala de navio.
  • Efeito principal = redução pronunciada do stern wave system (boundary layer + wake mudam o campo de pressão na popa); maior em model scale (camada-limite mais espessa) e cresce com a fullness.
  • Viscosidade é crucial no escoamento de um immersed transom stern (recirculação) e na separação na waterline (aft shoulder agudo, ou bulbous bow com draft baixo). Em geral, efeitos secundários.
Dispersion de profundidade finitaCom a condição de fundo (dF/dz = 0 em z = −h) → c = √( (gλ/2π)·tanh(2πh/λ) ) (5.38).
PropriedadeMudança em água rasa
DispersionO fator tanh(2πh/λ) → 1 quando h → ∞ (recupera deep water). Quando λ > 2–3 vezes h, ondas de igual comprimento são mais lentas; no limite c → √(gh).
Loss of dispersionVelocidade constante quando h < ~7% de λ; aí ondas > ~14 h correm à mesma velocidade. "Shallow" = pequeno h/λ (o mesmo canal é raso p/ ondas longas e fundo p/ curtas).
Orbital motionCírculos viram elipses (mais horizontal); no fundo o movimento é puramente horizontal.
Fig. 5-24
Fig. 5-24 — Comparison of vertical distribution of horizontal velocity amplitude in deep (dashed) and shallow (solid) water.
Group velocitycg/c sobe de ½ (deep) rumo a 1 (no limite raso, energia viaja à velocidade da onda).
Fig. 5-22
Fig. 5-22 — Wave propagation speed for a sinusoidal wave on shallow water (solid) vs the deep-water relation (dashed).
Fig. 5-25
Fig. 5-25 — Ratio of group velocity to wave velocity as a function of wavelength/water-depth ratio (0.5 deep to 1 shallow).
c = √(gh) é o upper bound da velocidade de onda em água rasa (5.40).
Parâmetro-chavedepth Froude number: Fnh = V/√(gh) (razão da velocidade do navio à velocidade máxima da onda). A geometria passa a depender de Fn e Fnh.
RegimeFnhO que ocorre
Low subcritical≲ 0,7Comprimentos/direções ~inalterados, mas amplitudes sobem (o fundo força o fluxo pelos lados → mais overspeed, sinkage). KVLCC2 a h/T = 1,20: sinkage ×4, trim ×3.
Fig. 5-26
Fig. 5-26 — Hull pressure distribution and wave pattern for a tanker at FnL 0.142; top deep water, bottom shallow water.
High subcritical0,7–0,9Transverse waves alongam; o meio-ângulo do Kelvin wedge alarga (cg/c sobe) até 90° em Fnh = 1.
Fig. 5-27
Fig. 5-27 — Change of wave pattern of a pressure patch with varying Fnh, according to Havelock (1908).
(Trans)critical0,9–1,1Em Fnh = 1 as transverse viram puras shallow-water waves (nondispersive); cg = c → energia não sai, cresce muito. O Kelvin wedge deixa de existir. Pior caso: FnL ≈ 0,4 (≈ L/h ≈ 6,25).
Supercritical> 1Navio ultrapassa a velocidade máxima → só diverging waves. Ângulo-limite θ = cos⁻¹(1/Fnh); padrão triangular, mas não é Kelvin wedge (ângulo vem da razão de velocidades). Ex.: catamarã FnL = 0,41, Fnh = 1,5.
Fig. 5-28
Fig. 5-28 — Effect of water depth on wave pattern for a ship at FnL 0.35; top to bottom FnH 0.40, 0.99, 1.4.
Fig. 5-29
Fig. 5-29 — Supercritical wave pattern at Fnh 1.5, measured from an airplane (catamaran ferry).
A maioria dos displacement ships não consegue passar a critical speed (falta de potência ou risco de tocar o fundo) — grande resistência, trim e sinkage.
Havelock (1908)Pico marcado de resistência na critical speed Fnh = 1, muito maior que em deep water (mais ainda p/ h/l pequeno); depois do pico (supercritical) cai abaixo do valor de deep water.
Fig. 5-30
Fig. 5-30 — Effect of shallow water on wave resistance, according to Havelock (1908).
Rota (1900)Modelo de destroyer confirma: aproximando o critical, trim e resistência disparam; no caso mais raso, resistência quase tripla.
Fig. 5-31
Fig. 5-31 — Resistance of a destroyer in shallow water.
Fig. 5-32
Fig. 5-32 — Percentage increase in resistance in shallow water (same model as Fig. 5.31).
O grande pico crítico é por que quase todo displacement ship fica subcritical, enquanto planing craft e multihulls rodam supercritical.

Estimar o aumento — só no regime subcritical

Schlichting (1934) › mesmo λ0 gerado a velocidade menor VI: VI/V∞ = (tanh(gh/V∞²))½ (5.44) › 2ª correção ΔVP (viscosa, controlada por √AM/h) › ΔV = ΔVC + ΔVP

Fig. 5-33
Fig. 5-33 — Determination of shallow-water resistance by the method of Schlichting (1934).
Fig. 5-34
Fig. 5-34 — Curves of velocity ratios for calculating resistance in shallow water (Schlichting, 1934).
Fig. 5-35
Fig. 5-35 — Schlichting's (1934) chart for calculating the reduction in speed in shallow water.
Lackenby (1963)Correção mais simples usando √AM/h e Fnh: ΔVs/Vs = 0,1242·(AM/h² − 0,05) + 1 − (tanh(gh/Vs²))½ (5.45).
Fig. 5-36
Fig. 5-36 — Lackenby's (1963) diagram for calculating the reduction in speed in shallow water.
Jiang (2001)Colapsa dados de várias profundidades numa curva via effective speed baseada no sinkage médio zv: Ve = √((Vs² + 2gzv)/(1 − zv/h)) (5.46).
Todas são semi-empíricas, só subcritical e hull-form dependent — não esperar precisão de 1–2 parâmetros.

Wash — ondas far-field (§5.11)

  • Desde 1990 preocupa: erosão de margem/fundo, dano a embarcações amarradas, perigo a banhistas — sobretudo de fast ferries.
  • Geram ondas de período longo (7–10 s), às quais navios amarrados respondem mais.
  • Operação perto do critical amplifica; ondas críticas decaem pouco com a distância.
  • Shoaling (amplitude sobe na costa rasa) é mais forte nas ondas longas do fast ferry → run-up e perigo mesmo quando offshore parecia inofensivo.
RegimeDecaimento com a distância y
SubcriticalMaioria y−1/2; perto da borda do Kelvin wedge (θ ≈ 35°) y−1/3.
CriticalSem teoria simples; conservador = assumir nenhum decaimento.
SupercriticalMuito lento: entre y−0,2 (muito raso) e y−0,33.
Períodos far-fieldSupercritical surpreendeu: períodos aparentes de 20–40 s a 3 km, alturas 0,4–0,7 m, porque a 1ª e a 2ª onda divergem num ângulo pequeno (10–12° perto → ~2° longe), e a separação cresce com a distância. Limites de wash deveriam usar período/energia, não só altura.
Fig. 5-37
Fig. 5-37 — Overspeed next to ship (fraction of sqrt(gh)) against Fnh, for blockage 0.05 (Kreitner, 1934).

Canal e blockage (§5.12)

BlockageVelocidades de onda não dependem da largura (efeitos de Fnh inalterados a 1ª ordem), mas a proximidade do fundo é magnificada pelo blockage = área de midship / seção do canal → mais overspeed, sinkage, amplitudes e viscous resistance.
Landweber (1939)Introduz a largura via hydraulic radius RH = (bh − AM)/(b + 2h + p) (5.48); p/ b grande, RH → h (água rasa de largura ilimitada).

Teoria de Kreitner (1934) — a inaccessible region

Todo o inflow tem de espremer-se pelo navio › overspeed. Blockage β = AM/(bh) › baixa velocidade: γ = 1/(1−β) › a overspeed baixa a superfície (Bernoulli) → equação de 3º grau (5.51)

Fig. 5-38
Fig. 5-38 — Overspeed ratio next to ship as a function of Fnh, for blockage 0.0 to 0.50.
Existe uma inaccessible region em torno de Fnh = 1 onde não há solução estacionária (mais larga p/ blockage maior): fenômenos de critical speed começam num Fnh bem abaixo de 1 em canais estreitos — cuidado ao prever a curva de largura ilimitada em model testing.