MMPH · Cap.6 Ship Resistance and Flow · Ch. 6 — The Flow Around the Hull and the Viscous Resistance — Ship Resistance and Flow (Larsson & Raven)

ContextoCap.5 tratou da wave resistance; este cap. trata da outra componente maior, a viscous resistance. Aqui ondas e todo efeito de superfície livre são desprezados.

Duas consequências imediatas

O Froude number torna-se irrelevante → o único parâmetro de semelhança restante é o Reynolds number.
A pressão hidrostática some → sobra só a hydrodynamic pressure (índice "hd" é omitido no capítulo).

Toda componente viscosa (Cap.4) nasce da boundary layer em torno do casco. Como a camada-limite 3-D do navio não tem solução simples, monta-se a complexidade por etapas.

Placa plana (§6.3) › corpos 2-D (§6.4) › axissimétricos (§6.5) › 3-D (§6.6) › casco real (§6.7)

Sistema de coordenadas body-fitted (§6.1)

Por quêResolver a camada-limite é bem mais conveniente num sistema ajustado ao casco (curvilíneo, em geral não-ortogonal) que no cartesiano global. Dentro da camada-limite pode-se usar sistemas ortogonais.

Eixo	Direção	Nome
x	ao longo da superfície, na direção do escoamento na borda da camada	longitudinal
y	normal à superfície	normal
z	na superfície, em ângulo reto com x (sistema dextrogiro)	lateral

Descrição física (§6.2.1)

No-slip conditionA velocidade relativa entre superfície sólida e fluido é zero — o fluido "cola" na parede por ação molecular. Afastando-se, a velocidade cresce numa região fina: a boundary layer, que cobre todo o casco e em geral engrossa a jusante.

Na proa: laminar (velocidade sobe suave) › ponto de neutral stability › região transicional (turbulent bursts) › turbulenta

**Fig. 6-1** — Different regions in the flow around the hull (laminar, transitional and turbulent boundary layer; inviscid outer region; wake; separation).

**Fig. 6-3** — Control volume ABCDA for the derivation of the relation between resistance and momentum thickness on a flat plate.

Camada turbulenta: parte interna = viscous sublayer (ainda quase laminar). Eddies de vários tamanhos: menor (escala de Kolmogoroff) ~0,1 mm; maior ~espessura da camada (0,1 m em modelo, 1–10 m em escala real).
Tensão de cisalhamento 2-D: σ_yx = μ·∂u/∂y (6.1) — cisalhamento longitudinal ∝ gradiente normal de velocidade; μ = viscosidade dinâmica.
Efeito macroscópico dos eddies → turbulent (eddy) viscosity μ_t; μ_eff = μ + μ_t (6.2/6.3).

**Fig. 6-2** — Interpretation of the displacement thickness concept.

μ é propriedade do fluido (quase constante); μ_t NÃO é propriedade do fluido — depende das flutuações e varia pelo escoamento.

Teoria de 1ª ordem (§6.2.2) — Prandtl (1904)

Divide o escoamento numa região junto à parede/esteira (viscosidade domina) e uma externa onde ela é desprezível — chamada, inconsistentemente, inviscid. Motivo: não é μ menor, é o gradiente de velocidade desprezível fora da camada.

Aproximação 1: a pressão é constante através da camada-limite (na direção normal).
Aproximação 2: a distribuição de pressão vem, em 1ª ordem, de uma solução inviscid que ignora a camada.
Procedimento eficiente: calcula a pressão inviscid (Cap.5) → resolve a camada-limite com essa pressão prescrita (evita o acoplamento velocidade–pressão).

**Fig. 6-4** — The wall-wake law: the four-region turbulent velocity profile (viscous sublayer, buffer layer, logarithmic region, wake region).

Grandezas locais (§6.2.3)

Espessura δDefinida onde u atinge um % dado da velocidade de borda U_e — usam-se 99% e 99,5% (o % tem de ser informado).

Grandeza	Fórmula	Para quê
Displacement thickness δ₁	∫(1 − u/U_e)dy (6.4)	déficit de fluxo de volume; iterar a solução inviscid contra a camada
Momentum thickness θ	∫(u/U_e)(1 − u/U_e)dy (6.5)	estimar resistência

**Fig. 6-5** — Different velocity profiles: laminar Blasius vs turbulent power-law (n=7, n=9) vs four-region wall-wake law.

**Fig. 6-6** — Skin friction lines: Schoenherr (ATTC), Hughes 2-D, ITTC-57 model-ship correlation line, and a RANS (SST k-omega) result.

**Fig. 6-8** — Displacement thickness added to the body to represent the boundary-layer displacement effect on the inviscid flow.

Placa plana: R_F = ρ·b·U_e²·θ (6.6) — R_F até um ponto é proporcional à momentum thickness ali (b = largura).

Atrás da placa θ se mantém constante → perfil medido a jusante dá o atrito. Se medido longe o bastante (pressão não perturbada), a (6.6) dá a viscous resistance TOTAL (atrito + forma + rugosidade), não só o atrito — base do wake-survey.

C_f = τ_w / (½ρU_e²) (6.7) local › C_F = R_F / (½ρU_∞²S) (6.8) total

**Fig. 6-7** — Displacement of streamlines near the stern in inviscid flow due to the boundary layer.

Simplificação-chavePressão constante e não perturbada ao longo da placa → U_e ≈ U_∞.

Laminar — solução de Blasius (§6.3.1)

Solução "similar": todos os perfis coincidem ao escalar em y. u/U_∞ = f(y/x·√Rn_x); Rn_x = U_∞x/ν (Reynolds local).
Espessuras: δ = 5,0·x/√Rn_x · δ₁ = 1,72·x/√Rn_x · θ = 0,664·x/√Rn_x
Atrito: C_f = 0,664/√Rn_x · C_F = 1,328/√Rn

Laminar: δ₁ ≈ ⅓δ e θ ≈ ⅛δ. C_F é exatamente o dobro do C_f local. Espessuras crescem como x^1/2.

Transição (§6.3.2)

Condições ideais: Rn_crit ≈ 3×10⁶ — exige turbulência baixíssima, T ≈ 0,1% (só túneis de vento de alta qualidade e tanques recém-repousados).
Valor mais realista: Rn_crit ≈ 5×10⁵.
Rugosidade crítica (Feindt): U_∞k_s/ν = 120 (6.18).

**Fig. 6-18** — Limiting streamlines at the stern, model scale (divergence at half draft, convergence at the bilge).

Em modelo (Rn menor) a transição ocorre muito mais a ré → estimula-se turbulência perto da proa para forçar transição prematura (§8).

Turbulenta (§6.3.3)

Friction velocityu_τ = √(τ_w/ρ) = U_∞√(C_f/2). Variáveis de parede: u⁺=u/u_τ, y⁺=y·u_τ/ν → perfil universal u⁺=f(y⁺).

Região (wall-wake law)	Faixa y⁺	Perfil
I. Viscous sublayer	0 ≤ y⁺ ≤ 5	u⁺=y⁺ (linear)
II. Buffer layer	5 ≤ y⁺ ≤ 30	transição linear→log
III. Logarithmic	30 a ~500–10.000	u⁺=(1/κ)log y⁺+C
IV. Wake region	até a borda (a maior)	log law + wake function

Constantesκ ≈ 0,41 (von Kármán); C ≈ 5,0; wake-strength Π = 0,55 (só para pressão constante).

Lei de potência (power law) e espessuras turbulentas

u/U_e = (y/δ)^1/n (6.30) — ruim junto à parede, boa longe dela. n ≈ 7 em Rn≈10⁷ (modelo); n ≈ 9 em Rn≈10⁹ (escala real).
Espessuras (n=7): δ = 0,37x/⁵√Rn_x · δ₁ = 0,046x/⁵√Rn_x · θ = 0,036x/⁵√Rn_x · C_f = 0,058/⁵√Rn_x.
Turbulenta: δ₁ ≈ ⅛δ, θ ≈ 1/10 δ.

Espessuras turbulentas crescem como x^4/5 vs laminares x^1/2 → a camada turbulenta cresce mais rápido.

Linhas de atrito e extrapolação (§6.3.4)

Linha	Autor/ano	Fórmula / nota
Planks originais	W. Froude 1872/1874	R_F=f·S·Vⁿ; n cai de 2,0 (curta) a 1,83 (15 m); planks 0,6–15 m, 0,5–4 m/s, Torquay
ATTC line	Schoenherr 1932 (adot. 1947)	0,242/√C_F=log(Rn·C_F); roughness allowance 0,0004
Hughes line	Hughes 1952/54	C_FO=0,066/(log Rn − 2,03)²; linha 2-D verdadeira de placa plana
ITTC-57	Madrid 1957	C_F=0,075/(log Rn − 2)²; NÃO é placa plana pura

A ITTC-57 fica ~12% acima da Hughes em toda a faixa de Rn → efeito de forma de 12% embutido. Só assim C_T=C_F+C_R podia ser extrapolado por "Froude scaling".

O que a placa perde3 efeitos do caso 3-D real: gradiente de pressão longitudinal, convergência lateral de linhas de corrente e gradiente de pressão lateral. O corpo 2-D adiciona só o 1º.

Pressão & efeito de forma (§6.4.1)

A camada-limite perturba a pressão inviscid pelo efeito de deslocamento. Sem popa (esteira até o infinito) não há pressão de estagnação: a pressão na popa fica menor que a inviscid = o form effect on pressure (viscous pressure resistance) da Fig.4.1.

Gradiente de pressão longitudinal (§6.4.2)

Gradiente	No elemento	Na camada
Pressão caindo (derivada <0)	acelera	cresce mais devagar; perfil mais "cheio" (fuller)
Pressão subindo (derivada >0)	desacelera	cresce mais rápido; perfil mais "fino"

Transição & separação (§6.4.3–4.4)

Transição: pressão caindo estabiliza e a atrasa; subindo, o contrário. O efeito do gradiente costuma ser mais forte que o de Rn → transição perto do 1º mínimo de pressão.
Separação: se a subida de pressão a ré for rápida demais, a força desacelera o fluido junto à parede → linhas deixam a superfície e forma-se fluxo reverso. Zona de separação: velocidade axial média baixa, flutuações grandes.

Form factor 1+k (§6.4.5)

Efeito na fricçãoO corpo empacota as linhas mais junto, aumenta U_e e logo a fricção — normalmente maior que a da placa plana.

1 + k = C_V/C_F0 = (C_F+C_P)/C_F0 (6.39) › C_V=viscosa total › C_F0=fricção da placa plana equivalente

**Fig. 6-9** — Pressure and velocity distributions along a 2-D body (inviscid vs viscous; reduced stern pressure).

Os dois efeitos de forma (na pressão e na fricção) são reunidos no form factor 1+k — central na extrapolação ITTC-78.

NovidadeA largura da superfície sobre a qual a camada se desenvolve varia ao longo do corpo. Linhas divergem do ponto de estagnação da proa, mais espalhadas no maior diâmetro, convergem à popa.

Distância lateral entre linhas ∝ raio local.
Raio aumenta (linhas divergem) → continuidade reduz o crescimento da camada; raio diminui (convergem) → crescimento aumenta.
Resultado: crescimento inicial menor que 2-D na proa, maior na cauda.

Na popa a distância lateral →0, o que levaria a espessura ao infinito, não fosse o espalhamento radial das normais (Fig.6.12): ainda há espaço para a camada. As equações diferem das 2-D porque entra o raio do corpo.

Passo final = adicionar o gradiente de pressão lateral. Quadro completo: longitudinal (2-D) + convergência lateral (axissimétrico) + gradiente lateral (3-D).

Cross-flow & limiting streamlines (§6.6.1)

∂p/∂z curva o fluxo externo de lado. Como a pressão é constante em y, u²/r é igual em todo y; mas u cai junto à parede → r cai também: o fluido mais lento vira mais bruscamente → cross-flow rumo à menor pressão, zero na parede (no-slip).
Se ∂p/∂z troca de sinal (inflexão) → perfil de cross-flow em S.
Ângulo de cross-flow: β = tan⁻¹(w/u); na parede (l'Hôpital) β_w = tan⁻¹(τ_wz/τ_wx).

A direção-limite na superfície é a direção do wall shear stress. Linhas traçadas nela = limiting streamlines — reveladas em tanque por tiras de tinta molhada arrastadas pela fricção do casco (Fig.8.10).

**Fig. 6-11** — Streamlines about an axisymmetric body in axial flow (diverge from forward stagnation point, converge at the tail).

Separação 3-D (§6.6.2)

Tipo	Mecanismo / comportamento
Bubble separation	fluxo deixa a superfície ao longo de uma linha divisória (fora: para trás; dentro: para frente). Mais parecida com o caso 2-D; na linha, sai em ângulo não-nulo com fricção zero
Vortex-sheet separation	linhas convergem, continuidade força o fluxo para fora; duas camadas se encontram, forma-se vortex sheet instável que enrola num vórtice longitudinal (Maskell, 1955)

**Fig. 6-12** — Cross-section of the axisymmetric body and a segment of the boundary layer; thickness influenced by the shrinking circumference and the diverging normals.

**Fig. 6-13** — Cross-flow development due to lateral curvature of the streamline (S-shaped cross-flow profile).

Double modelOndas desprezadas → a superfície livre é plano de simetria; estuda-se o casco submerso + sua imagem espelhada.

ExemploKVLCC2, VLCC muito cheio, block coefficient C_B = 0,85, muito usado em validação de CFD; inviscid por painéis, viscoso por RANS.

Tipo de camada	Efeitos (build-up, Tab. 6.1)
Placa plana	no-slip
2-D	+ gradiente longitudinal
Axissimétrico	+ convergência/divergência lateral
3-D	+ gradiente de pressão lateral

Pressão & bilge vortex (§6.7.1)

Fluxo viscoso (modelo Rn = 4,6×10⁶): perto do transom a alta pressão inviscid cai 0,1–0,2 em C_p; o mínimo do bojo fica ~0,05 maior.
Ponto de inflexão no bojo (bilge) onde ∂p/∂z troca de sinal → caso vortex-sheet → forma-se um bilge vortex.

**Fig. 6-15** — Pressure distribution around the KVLCC2 hull in inviscid flow; contours labeled by Cp (two high-pressure zones at bow and stern, low-pressure shoulders and bilges).

**Fig. 6-16** — Pressure distribution at model scale in a real, viscous flow; contours labeled by Cp (Rn = 4.6e6).

Bilge vortex	Comportamento
Forebody	em geral fraco; forte com bojo de raio pequeno. Reduz-se aumentando o raio do bojo ou pondo bow bulb
Afterbody	bem mais forte — camada mais espessa, fricção/u_τ menores, fluxo interno de baixa quantidade de movimento reage mais fácil

**Fig. 6-17** — Inviscid streamlines on the KVLCC2 hull (inflexion line, bilge cross-flow convergence).

**Fig. 6-19** — Contours of constant axial velocity at three stations (82.5%, 95.5%, 99.125% of Lpp from the FP; last is the propeller plane); model scale.

Seções, wake & efeitos na resistência (§6.7.2–7.3)

No plano do propulsor: "ilha" de fluido lento (contornos 0,3–0,4) no centro, criando os "hooks" característicos (do stern bilge vortex). Teoria de 1ª ordem falha perto da popa (camada espessa demais).

**Fig. 6-20** — Projection of velocity vectors at the propeller plane; model scale (bilge-vortex hook).

Fricção muito alta na quilha (linhas externas divergem, camada fina) e maior no forebody que no afterbody.

**Fig. 6-21** — Distribution of friction on the hull at model scale; contours labeled by the local skin friction coefficient times 1000.

**Fig. 6-22** — Pressure distribution around the stern at full scale; contours labeled by Cp (Rn = 2.0e10, closer to the inviscid result).

Trade-off do stern vortex: aumenta o arrasto, mas arredonda os contornos de velocidade no propulsor → menos variação de ângulo de ataque nas pás (melhor ruído/vibração/eficiência). Bubble separation deve ser evitada (grande perda de pressão).

Efeitos de escala (§6.7.4)

δ ∝ Rn^−1/5; Rn do navio é ≥2 ordens maior que o do modelo → camada relativamente muito mais fina em escala real. Em Rn = 2,0×10¹⁰: pressão de popa mais perto da inviscid, bilge vortex mais fraco, "hooks" desaparecem. Só os resultados inviscid são independentes de escala.

**Fig. 6-23** — Limiting streamlines at full scale (weaker divergence/convergence, weaker bilge vortex).

**Fig. 6-24** — Wake contours at the propeller plane at full scale (hook-like shape disappeared; thinner boundary layer).

Por que se assume o form factor constante: em escala real o menor efeito de deslocamento reduz a viscous pressure resistance; embora o efeito na fricção suba um pouco, o efeito de forma total cai. Assume-se que a viscosa fica proporcional à fricção de placa plana.

ContextoSuperfície hydraulically smooth vale para bons modelos, não para navios reais, onde o roughness allowance pode ser considerável.

Rugosidade & fouling (§6.8.1)

Tintas SPCSelf-polishing copolymer: ficam mais lisas com o tempo (fluxo abrasa os picos) e reduzem fouling → estendem a docagem de 1,5 ano para ~5 anos.

TBT (agente SPC) era ~70% das tintas comerciais em 1999; tintas à base de estanho banidas 2003–2008 por acordo IMO → biocidas de óxido de cobre e silicones/fluoropolímeros sem biocida.

Caracterização (§6.8.2–8.3)

Referência clássicaAreia densamente empacotada: equivalent sand roughness k_s, raramente conhecida para cascos.

Superfície	k_s (μm)
Vidro	0,3
Tubos novos (latão/cobre)	1,5
Ferro fundido	250
Concreto	30–300
Madeira	20–1000

MAAMean Apparent Amplitude: agulha percorre 750 mm em intervalos de 50 mm; em cada, registra pico-a-vale máximo; k = média dos 15 valores. Pré-SPC: ~100 μm (navios novos), 600–700 μm (velhos).

Hydraulically smooth = rugosidade dentro do viscous sublayer (y⁺≤5): u_τk/ν ≤ 5 → k ≤ 5ν/u_τ (6.42). Como a fricção cai a ré, a rugosidade permitida aumenta rumo à popa.

Regra prática: k = 100/V (6.43) [k em μm, V em m/s] › 4 m/s (8 nós) → 25 μm › 10 m/s (20 nós) → 10 μm

**Fig. 6-25** — Roughness measured on ships before the SPC-era (excluding shot-blasted hulls; Townsin et al., 1980).

Previsão & fórmula de Bowden (§6.8.4–8.6)

Se k_s é conhecida → diagrama Prandtl-Schlichting dá ΔC_F; como raramente é, usam-se experimentos por MAA.
Floating element balance: elemento ~200×200 mm rente à parede mede a força de cisalhamento (Johansson, 1984). Pipe-flow é mais barato para grandes aumentos (fouling).

**Fig. 6-26** — The floating element balance (principle) for measuring local skin friction (Johansson, 1984).

**Fig. 6-27** — Total skin friction coefficient for newly painted ships vs MAA roughness height h (Johansson, 1984).

Bowden (ITTC 1978): ΔC_F = [105·(k/L)^1/3 − 0,64]×10⁻³ (6.44), k = altura MAA.

Bowden comparou provas de mar com extrapolações de modelo sem correção e atribuiu a diferença à rugosidade → ΔC_F contém outros efeitos não-contabilizados: bom para corrigir dados de modelo, não para o efeito "verdadeiro" da rugosidade. Antes de Bowden usava-se ΔC_F constante = 0,0004.

Fouling dá aumentos muito maiores; barnacles ~5 mm de altura (Fig.6.28).

Há ~60 anos sabe-se que a fricção pode ser cortada abaixo da de uma superfície lisa, agindo sobre a turbulência.

Técnica	Mecanismo	Efeito relatado
Polymer additives	moléculas longas alinham-se ao fluxo, amortecem oscilações transversais, atrasam transição (Polyethylene-oxide o mais popular)	até 75% a 50 ppm (Paterson & Abernathy, 1970); até 90% a 100 ppm; efeito já a 1 ppm
Air / microbubbles	ar na camada mais interna induz velocidade normal que reorganiza o fluxo; ou camada de ar em cavidade no fundo	até 80% com bolhas ~50 μm; difícil manter camada uniforme sob superfície horizontal
Compliant coatings	pele flexível (inspirada em golfinho) que amortece a turbulência	~10% em alguns testes, mas NASA (Bushnell, 1977) não achou nenhum — positivos anteriores = erro de medição
Riblets	ristras estriadas (pele de tubarão), altura/espaçamento ~0,1 mm, afetam bursts no viscous sublayer	~10% (Walsh & Lindemann, 1984); filme 3M na America's Cup 1987, hoje descontinuado
LEBU (large eddy break-up)	"asas"/fitas de aço em tandem ~0,75δ da superfície, quebram os maiores eddies	~20% líquido em Rn baixo, mas no Rn de interesse o arrasto do próprio LEBU quase cancela o ganho

**Fig. 6-29** — LEBU (large eddy break-up device): ribbons placed in tandem parallel to the surface to break up large boundary-layer eddies.