MMPH · Cap.7 Ship Resistance and Flow · Ch. 7 — Other Resistance Components — Ship Resistance and Flow (Larsson & Raven)

ContextoOs dois componentes principais — wave resistance e viscous resistance — já foram tratados (Caps. 5 e 6). Este capítulo trata dos additional components. Blockage effects NÃO se repetem aqui (já vistos).

São quatro componentes adicionais: induced resistance · appendage resistance · air and wind resistance · added resistance in a seaway.

O added resistance in a seaway liga-se à teoria de seakeeping → fica para o volume de Seakeeping. Este cap. concentra-se nos três primeiros.

§	Componente	Origem física	Parâmetro governante
7.1	Induced resistance	geração de lift em escoamento assimétrico (trailing vortices); fenômeno inviscid	aspect ratio (equações do Cap. 5)
7.2	Appendage resistance	fricção e perdas de pressão viscosa em eixos, brackets, quilhas, lemes, fins	Reynolds number
7.3	Air / wind resistance	deficiência de pressão nas regiões separadas do casco emerso e superestrutura	apparent wind (Rn-independent — separação em quinas vivas)

Quando surgeSempre que se gera lift em um escoamento assimétrico. Importa em corpos alares — keels, rudders, hydrofoils, bilge keels, stabilizers, sternos twin-skeg, cascos de catamarã/trimarã — e no próprio casco (yacht ou navio com leeway ≠ 0).

A induced resistance é um fenômeno inviscid — governado pelas equações do Cap. 5, NÃO pela viscosidade.

Como o lift aparece (Fig. 7.1)

Lift vem da aerodinâmica (lá é vertical, equilibra o peso); em hidrodinâmica é quase horizontal — desloca o corpo lateralmente à direção de movimento.
A asa muda a direção do escoamento; por reação o fluido exerce força igual e oposta na asa = o lift.
As linhas de corrente curvam para baixo → pressão do lado inferior maior e succção no lado superior.

Kutta condition: para o lift ser efetivo, o bordo de fuga (trailing edge) tem de ser afiado e o escoamento deve deixá-lo suavemente pelos dois lados. Aplicada como igual-pressão (mesma pressão dos dois lados) ou direção do fluxo (no plano bissetor logo após o bordo).

Origem (Fig. 7.2)Keel a um ângulo de ataque = leeway angle do casco. O fluxo escapa da face de alta pressão por baixo da ponta (tip) para a face de baixa pressão → cross-flow na ponta.

Trailing (longitudinal) vortices: nenhum na raiz, cada vez mais fortes rumo à ponta. A folha de vórtices é instável e enrola-se num vórtice concentrado atrás do keel; a energia rotacional = aumento de resistência.

Pré-requisito: trailing vortices (e induced resistance) exigem uma free end (ponta livre). Asa vão-a-vão numa túnel de vento (sem ponta livre) = caso 2-D → induced resistance zero. O junction vortex (keel-casco) é outro efeito (interferência de camada-limite).

**Fig. 7-1** — Lift generation: a wing turns the approaching flow; the streamlines curve downward, giving higher pressure on the lower side and suction on the upper side. The reaction force on the wing is the lift.

**Fig. 7-2** — Vortex generation around a keel at an angle of attack equal to the leeway angle. Cross-flow around the tip generates longitudinal trailing vortices; the mirror image of the keel in the hull bottom is indicated.

Representação matemática (Fig. 7.3)

Asa 3-D = bound vortex (eixo y) + free trailing vortices; superposição de horseshoe vortices.
Helmholtz 1º teorema: intensidade do vórtice constante ao longo do filamento. Vorticidade ligada máxima no centreplane, zero nas pontas.
Helmholtz 2º teorema: vórtice não pode terminar no fluido → fecha a jusante pelo starting vortex (desprezado em regime permanente).

DownwashDownwash (w) dentro da folha, upwash fora. Inclina o fluxo efetivo e define o induced angle of attack:

α_i = atan(w/U_∞) (7.1) › como w é sempre pequeno › α_i ≈ w/U_∞ (7.2) (em radianos)

**Fig. 7-3** — Mathematical representation of the vortex system of a 3-D wing: a bound vortex along the y-axis plus free trailing vortices (superposition of horseshoe vortices); downwash w in the sheet, upwash outside.

Kutta–Joukowski: lift = ρUΓ, ⊥ ao fluxo local U › L′ = ρUΓcosα_i ≈ ρU_∞Γ (7.3) › D_i′ = ρUΓsinα_i ≈ ρU_∞Γα_i (7.4)

(′ = força por unidade de envergadura). A induced drag D_i′ é proporcional ao ângulo induzido α_i.

**Fig. 7-5** — Definition of planform parameters for trapezoidal wings: span b, sweep angle (measured at the quarter-chord line) and taper ratio (tip chord / root chord).

Por quêO caso de grande interesse é a elliptical load distribution (circulação Γ = função elíptica de y): o efeito integrado dos trailing vortices sai analiticamente. Coeficientes na área projetada S_p.

**Fig. 7-4** — Schrenk's (1940) approximation of the lift distribution. Top: planform (triangular and rectangular). Bottom: chord distribution, elliptical distribution and the real lift distribution (dashed) as their average.

C_L = 2π / (1 + 2/AR) · α (7.6) › C_Di = C_L² / (π·AR) (7.7)

O numerador 2π vale para asas simétricas em fluxo inviscid, com α em radianos. Para α em graus a constante vira 0,11; valor mais realista (efeito viscoso no lift) = 0,10.

**Fig. 7-6** — Relation between taper ratio and sweep angle for optimum (minimum induced resistance) circulation distribution: the larger the sweep angle, the smaller the taper for best performance.

**Fig. 7-7** — The large influence of the aspect ratio on the lift coefficient CL; the curves correspond closely to equation (7.6).

Aspect ratioAR = b²/S_p (7.8), b = span. S_p = área projetada da asa, distinta de S (superfície molhada total usada nos demais coeficientes).

Mirror image (Fig. 7.2): no cálculo do AR — mas NÃO da área — inclui-se a imagem-espelho do keel no fundo do casco; com placa plana infinita o span dobra.

A distribuição elíptica dá a mínima induced drag, produzida por asa não-torcida de planta elíptica — a preferível.
Schrenk (1940): para asas sem sweep/twist, o lift em cada posição fica a meio caminho entre a distribuição elíptica e a real da corda (Fig. 7.4).
Sweep angle medido pela linha de quarto de corda (25%). Taper ratio: 1 = retangular, 0 = triangular; melhor casamento com elipse ≈ 0,45.
Fig. 7.6: quanto maior o sweep, menor o taper para o ótimo (mínima induced resistance).

AR efetivoPara distribuições arbitrárias: AR_e = C_L² / (π·C_Di) (7.9), sempre menor que o geométrico — mas difere só poucos por cento.

Appendage resistance é de origem viscosa — atrito + perdas de pressão viscosa — logo governada pelo Reynolds number.

Na Fig. 4.1 não havia appendage resistance para cascos de displacement — uma aproximação: todo casco com eixo exposto ganha alguma.
Planing hull: componente considerável — o dynamic lift ergue o casco e reduz a superfície molhada, os apêndices ficam submersos e assumem cada vez mais a viscous resistance com a velocidade.
Também grande no sailing yacht.

Efeito do streamlining (Fig. 7.8): corpo aerodinâmico e cilindro têm ~o mesmo drag, embora o aerodinâmico tenha área frontal ~30 vezes maior. No cilindro a separação maciça destrói a recuperação de pressão.

Geometria do foil (Fig. 7.9)

ParâmetrosMean line (a meio caminho das superfícies); chord C; espessura t ⊥ à mean line; t_max/C classifica a seção; nose radius (arco de círculo até ~45°).

Séries NACA

NACA (precursora da NASA) testou seções nos anos 1930–40. As úteis em hidrodinâmica: four-digit e six-series.
Four-digit (ex. NACA 0010): últimos 2 dígitos = t_max/C; primeiros 2 = camber (zero = simétrico).
Six-series (ex. 63-010 / 65-010): 1º dígito = série; 2º (×10) = posição do mínimo de pressão em % da corda; após o traço = t_max/C.

**Fig. 7-13** — Drag comparison between four sections of the six-series (two 9% and two 21% thick; 63- and 65-types) versus angle of attack; thicker profiles keep the laminar bucket to higher angles.

**Fig. 7-12** — Comparison between the drag of two 9%-thick sections from different series (0009 vs 63-009) versus angle of attack at Rn = 3e6; smooth rise vs drag bucket.

**Fig. 7-8** — The effect of streamlining: the streamlined body (top) and a circular cylinder (bottom) have about the same drag although the streamlined body has ~30 times the frontal area; attached flow vs massive separation.

Nose radius (Fig. 7.10): four-digit tem o dobro do raio da elipse; six-series no meio. Regra: maior nose radius → menos sensível à separação de bordo-de-ataque → four-digit é a mais robusta.

Transição & laminar (Fig. 7.11)A transição ocorre no mínimo de pressão (gradiente negativo estabiliza). Empurrá-lo para trás = mais fluxo laminar, menos atrito — as laminar (six-series): 63-series ~30% laminar, extrema 67-series ~70%; na prática a 65-series é a mais extrema usada.

Drag bucket, stall e C_Lmax

Drag bucket (Fig. 7.12, Rn = 3×10⁶): a 63-009 tem drag baixo abaixo de ~2°, depois sobe rápido entre 2°–3° (mínimo de pressão salta para frente), ficando pior que a 0009. Perfis grossos (21%) seguram o bucket até ~5–6° vs ~2–3° dos finos (Fig. 7.13).
Lift slope teórico igual para todas as seções simétricas: ∂C_L/∂α = 2π /rad ≈ 0,11 /grau (≈ 0,10 em fluido viscoso).

Stall (Fig. 7.16)	Perfil	Mecanismo
(a)	grosso	trailing-edge separation (gradual, desde ângulos pequenos)
(b)	muito fino	leading-edge separation bubble crescente
(c)	moderado 9–12%	separa dos dois lados; queda drástica de lift quando as bolhas se encontram

**Fig. 7-16** — Different types of stall: (a) thick profile, trailing-edge separation; (b) very thin profile, leading-edge separation bubble; (c) moderate thickness (9-12%), separation from both ends.

Para leme, o parâmetro-chave é o máximo lift. Perfil 9%: C_Lmax = 1,32 (four-digit) vs 1,12 (63) vs 1,05 (65). A 65-series precisa de ~25% mais área → four-digit é preferível, e o perfil 12% é o melhor para leme.

EscalaNACA testadas a Rn = 3, 6, 9×10⁶ — típico de keels/lemes de recreio. Navios reais têm Rn de apêndice muito maior, modelos muito menor → efeitos de escala do apêndice diferem dos do casco (problema no model testing).

**Fig. 7-18** — Reynolds-number dependence of section drag at zero lift for 6%, 12% and 25% thick sections (Hoerner, 1965), with laminar and turbulent flat-plate lines and a smooth circular cylinder for comparison.

Regime	Comportamento
Abaixo do Rn crítico ≈ 10⁵	camada laminar separa antes da transição; pressure drag cresce com a espessura (extremo = cilindro, ~constante); perfil 6% quase segue a linha de placa plana
Acima do Rn crítico	transição antes da separação; camada turbulenta atrasa a separação e corta a pressure resistance. No cilindro a separação vai de ~80° para ~120°, reduzindo o drag em ~75%
Faixa 10⁶–10⁷	drag coefficient ~constante (transição avançando compensa a queda normal do drag com Rn, que reaparece acima de 10⁷)

Caso (Fig. 7.19)	Pressão	Drag
Inviscid	C_p de 1,0 (estagnação) a −3,0 a 90°, sobe simétrico a 1,0 a 180°	zero pressure drag (d'Alembert)
Supercritical	mínimo ~−2,5 perto de 90°; plateau após 120° levemente negativo	pequeno pressure drag
Subcritical	mínimo perto de 70°, depois ~constante C_p ≈ −1,0 em toda a face traseira	grande drag

**Fig. 7-19** — Pressure variation around a circular cylinder versus angular position (zero at the forward stagnation point): inviscid, supercritical and subcritical distributions; the back-side suction of the subcritical case causes the large drag.

As curvas são médias; na realidade o fluxo flutua periodicamente → forças laterais de lado a lado (vortex shedding).

Roughness (Fig. 7.20): rugosidade dispara a transição prematura e baixa o Rn crítico. Grão maior → maior efeito, mas maior drag mínimo (trade-off; interessa a mastros de veleiro).

Correções práticasEixos de hélice não estão a 90° do fluxo (efeito da componente axial é Rn-dependente; Kirkman & Kloetzli, 1980). O leme fica no propeller race (velocidade > velocidade do navio, ≈ +10%); outros ficam na boundary layer do casco (velocidade reduzida).

O que éResistência de empurrar a parte emersa pelo ar; depende da velocidade do navio, área e forma da upper structure. Com vento, depende também da velocidade e direção relativa do vento.

True wind (V_TW): o vento que existiria se o navio estivesse ausente (zero true wind = ar parado).
Apparent (relative) wind (V_AW): soma vetorial do true wind + vento do próprio movimento (Fig. 7.21).

V⃗_AW = V⃗_TW − V⃗ (7.10) › V_AW = (V_TW² + V² + 2·V·V_TW·cosβ_TW)^½ (7.11) › β_AW = atan[ V_TWsinβ_TW / (V + V_TWcosβ_TW) ] (7.12)

**Fig. 7-21** — Relation between true wind (VTW) and apparent wind (VAW): VAW is the vector sum of the true wind and the wind generated by the ship's motion through still air; angles measured from the x-axis.

Perfil verticalV_TW(z) = V_TW(10)·(z/10)^1/n (7.13); V_TW(10) = 0,836·(Bft)^3/2 (7.14). Referência a 10 m, escala Beaufort. n ≈ 10 = ventos fortes/estáveis; n ≈ 5 = ventos fracos/instáveis.

Como V é independente de z mas V_TW cresce com z, a direção do apparent wind é twisted (torcida). Importa para velas de yacht; para navios geralmente se despreza — toma-se a direção na altura média da projeção lateral emersa.

ComponentesForça aérea tomada horizontal. Forças X, Y (segundo x, y) e momentos K (roll sobre x) e N (yaw sobre z). Adimensionalizados por pressão dinâmica e área.

q_a = ½·ρ_a·V_AW² (7.15) › C_X = X/(q_a·A_T); C_Y = Y/(q_a·A_L) (7.16) › C_K = K/(q_a·A_L·H_M); C_N = N/(q_a·A_L·L) (7.17)

**Fig. 7-15** — Lift comparison between four sections of the six-series versus angle of attack: the theoretical lift slope is 2pi per radian (~0.11 per degree, ~0.10 in a viscous fluid) for all symmetric sections below the linear limit.

**Fig. 7-14** — Drag at zero angle of attack for the four-digit, 63- and 65-series versus thickness ratio: drag increases with thickness, and the further back the pressure minimum, the lower the drag at this angle.

ÁreasA_L = área projetada lateral; A_T = área projetada transversal (a força longitudinal X refere-se a A_T). L = comprimento total; H_M = A_L/L (7.18) = altura média da projeção lateral.

**Fig. 7-17** — Maximum lift coefficient for the four-digit, 63- and 65-series versus thickness ratio, with the stall angle on the curves; four-digit has the largest CLmax (1.32 at 9% vs 1.12 and 1.05).

Máximo da força de resistência X tipicamente em 20° ≤ β_AW ≤ 30° (e extremo correspondente em 150° ≤ β_AW ≤ 160°).

Rn-independência: as forças de vento são dominadas pela deficiência de pressão nas regiões separadas a sotavento; a separação é fixada pelas quinas vivas (sharp edges) → linhas de separação independentes do Rn. Logo, todos os coeficientes são Rn-independent e os de túnel de vento valem em escala real.

Navio (Tab. 7.2, extrato)	A_L (m²)	A_F (m²)
Car carrier (LOA 190,7 m)	4257	654
Tanker, loaded (351,4 m)	3402	1132
Tanker, ballast (351,4 m)	7840	1804

Blendermann (1990) mediu os coeficientes para muitos tipos de navio. O tanker em lastro expõe muito mais área lateral (7840) que carregado (3402).

CorreçãoCoeficientes de túnel (sem boundary layer atmosférica) corrigidos pela pressão dinâmica média até H_M. Navio parado (V_AW=V_TW): q̄_a/q₁₀ = [n/(n+2)]·(H_M/10)^2/n (7.20). C_X,C_Y,C_N × q̄_a/q₁₀; C_K × [(n+1)/(n+2)]·q̄_a/q₁₀.

H_M = 10 m	n = 10 (forte)	n = 5 (fraco)
C_X, C_Y, C_N reduzem	17%	29%
C_K reduz (menos)	11%	17%

Navio em movimento: perfil torcido dificulta a correção exata — os coeficientes não corrigidos ficam altos e os corrigidos por (7.20) baixos; na prática pode bastar usar os não corrigidos.

C_X médio a ângulo zero para todos os cascos da Fig. 7.22 (exceto drilling ship) = 0,6.

R_AA = 0,6·½·ρ_a·V²·A_T (7.21) › adimensionaliza por ρ água e S › C_AA = 0,72×10⁻³·A_T/S (7.22)

ρ_ar = 1,2 e ρ_água = 10³ kg/m³. C_AA entra na extrapolação modelo→navio (§8): modelos são rebocados sem superestrutura → C_AA desprezado no modelo, somado no navio (constante arredonda a 0,001).

Vento não alinhado › side force desliza o casco → leeway angle › momento de yaw compensado pelo leme → ângulo de leme ≠ 0

Casco e leme agora geram lift → ambos produzem induced drag. Para o leme, (7.6)–(7.7) dão valores acurados; para o casco a precisão é pior (aspect ratio muito pequeno) mas útil como estimativa.

Mirror image: inclui-se a imagem do casco na superfície da água ao calcular o AR — o effective aspect ratio é o dobro do geométrico se a superfície livre for plano de simetria.