MMPH · Cap.1 Manobrabilidade: Conceito e Equação de Movimento — A Manobrabilidade do Navio no Séc. XXI (Santos)

DefiniçãoDescrever o escoamento de água em torno do casco durante toda a manobra — um dos problemas mais complexos da hidrodinâmica (geometria 3D variável no tempo, viscosidade, ondas na superfície livre, interação com fundo e margens).

Por milênios o saber sobre manobra foi empírico ("a arte"); a ciência começa com as leis de Newton aplicadas ao navio.

Fio condutor do livro Santos

Prever manobra = estudar as equações de movimento nos seis graus de liberdade (6 GdL).
Nenhum modelo reproduz toda a física → o praticante escolhe quais hipóteses aceitar e quais efeitos desprezar.

Conhecer as equações não substitui a experiência de manobra — permite entender por que o navio responde ao leme/propulsor e prever cenários não vividos.

Conceito IMOAnálise da dinâmica de forças no casco pela ação de atuadores (leme, propulsor, impelidores) para: manutenção de rumo/aproamento, estabilidade dinâmica e capacidade de alterar/parar velocidades.

Forma clássica inicial = controle em três graus de liberdade no plano horizontal: 2 translações + 1 rotação.

Movim.	Tipo	Eixo	Var.	Plano
Surge	transl.	x long. (vante)	u	Horiz. ✓
Sway	transl.	y transv. (boreste)	v	Horiz. ✓
Heave	transl.	z vert. (quilha)	w	Vert.
Roll	rot.	x long.	p	Vert.
Pitch	rot.	y transv.	q	Vert.
Yaw	rot.	z vert.	r	Horiz. ✓

Mnemônico eixos x › y › z › surge (long.) › sway (transv., "y de yacht"→boreste) › yaw (vert., pião no chão)

Erro clássico: associar yaw ao eixo longitudinal — yaw é sempre o eixo vertical (z).

Corpo rígidoDistâncias entre pontos do casco constantes na manobra (deformações desprezadas). Forças externas: hidrodinâmicas + ambientais (vento/corrente/onda) + topografia (águas rasas) + cabos + interação navio-navio.

**Fig. 1** — Sistema de eixos no navio: Heave (z), Yaw (ψ), Pitch (θ), Roll (φ), Sway (y), Surge (x)

Separação clássicaPlano horizontal = manobrabilidade; plano vertical = ship motion. A divisão vem dos efeitos de memória hidrodinâmicos — a resposta do fluido não é instantânea, depende da história do movimento.

Caract.	Manobrabilidade (horiz.)	Ship motion (vert.)
GdL	surge, sway, yaw	heave, roll, pitch
Restauração	ausente	presente (≈ excitação)
Ressonância	não dominante	fenômeno central
Coeficientes	quase constantes	variam com a frequência
Análise	eq. diferenciais	espectral (RAOs)
Amortec.	viscoso + hidrodin.	irradiação de ondas

Coeficientes variam em ship motion porque a massa adicional muda com a frequência de oscilação (ondas estacionárias junto ao casco).

Dois mecanismos de memória

Potencial: na superfície livre as ondas geradas seguem interagindo com o casco (em fluido infinito submerso, o efeito some quando o corpo para).
Viscoso: irradiação de vorticidades — a esteira turbulenta "lembra" a história da manobra.
Ambos descritos por integrais de convolução → equações integrais-diferenciais.

Os efeitos de memória não são exclusivos do plano vertical — ocorrem nos dois. No horizontal, ficam gerenciáveis com coeficientes fixos.

Distinção-chave: no horizontal há ausência de forças de restauração — o navio fica no rumo desviado até uma força ativa (leme) corrigir. Em ondas significativas a separação horiz./vert. fica comprometida.

Séc. XVII–XVIII — Newton e Euler

Newton (1666): 3 leis da dinâmica (inércia, F = m·a, ação-reação) — base geral, não trabalhou com navios.
1ºs aplicadores navais: Renau (1689), Huygens (1693), Bernoulli (1714).
Euler (1707–1783): Ciência naval (1749) + Teoria de construção e manobra (1773) → formaliza os 6 GdL e os ângulos de Euler.

Ângulos de Euler › φ = roll (x) › θ = pitch (y) › ψ = yaw (z)

Euler obteve o momento M = Ω·∫r²dm — origem dos momentos de inércia de todas as equações de manobra; e o princípio (adotado até hoje) de decompor a manobra em translação + guinada.

Séc. XIX–XX — do empírico ao modelo matemático

Autor	Ano	Contribuição
Routh	1884	estabilidade por autovalores da eq. característica
Hovgaard	1912	redução de velocidade em curva de giro (K, S)
Kucharski	1923	analogia casco-asa; leme como flape
Kempf	1935	propõe o teste de zigue-zague
Weinblum	1937	derivadas hidrodinâmicas (como Bryan na aeronáutica)
Abkowitz	1954	eq. gerais na nomenclatura SNAME — base dos simuladores
Nomoto et al.	1957	modelo linear K-T a partir dos dados de Kempf

Não confundir: Kempf criou o teste zigue-zague (1935); Nomoto usou esses dados para o modelo K-T (1957) — pesquisadores distintos.

Atores institucionais + marco de 1960

IMO — Res. A.751 / MSC.137(76)ABSPIANC (portos/canais)OCIMF (vento/corrente petroleiros)ROM (Espanha)

Simpósio de 1960 (24–25 de maio, Washington D.C.): 1º simpósio internacional; estado da arte por Nils Norrbin (SSPA, Suécia); firma a manobra como disciplina da hidrodinâmica. Pós-1960 o avanço concentra-se em navios-tanque em águas rasas e confinadas.

InercialOnde as leis de Newton valem diretamente. Referencial a velocidade constante em relação a um inercial também é inercial.

Solidário ao navioFixo ao casco, move e rotaciona com ele → não é inercial (surgem termos de Coriolis e centrípetos). Ainda assim é o preferido para as forças hidrodinâmicas, que dependem da geometria do casco.

O NED (North-East-Down) é o inercial fixo na Terra; o solidário é não inercial. Aplicar Newton no solidário sem os termos de Coriolis dá resultado incorreto.

Plano de simetria: quase todo navio é simétrico B-B → 2 eixos no plano de simetria, o 3º perpendicular → tensor de inércia e eq. de Newton simplificados.

Eixo	Direção	Positivo	Versor
x	longitudinal	vante (proa)	i
y	transversal	boreste	j
z	vertical	para baixo (quilha)	k

NED (x=Norte › y=Leste › z=baixo) faz a navegação: posição, rumo, correntes, alinhamento de vias/píer/fundeadouro.

Prático trabalha nos dois referenciais ao mesmo tempo: NED = o que GPS/AIS/ECDIS medem; solidário = as forças que ele "sente".

**Fig. 2 e 4** — Referencial NED (geográfico inercial) e referencial fixo no navio + Vetores posição (Fig. 2 + Fig. 4 combinadas)

Vetor posição (no NED)

R₀ = R_b + R_G › R_b = posição do centro de gravidade (o que GPS/AIS/ECDIS acompanham) › R_G = posição do elemento dm em relação ao CG

**Fig. 3** — O vetor posição R_b do navio em relação ao referencial inercial NED

Vetor velocidade (no solidário)

V_G = u·i + v·j + w·k › Ω = p·i + q·j + r·k

6 componentes: translações u (surge), v (sway), w (heave) + rotações p (roll), q (pitch), r (yaw) — exatamente o que os sensores de manobra assistida medem.

Vínculo cinemáticoBasta a velocidade de um ponto do corpo (o CG) + o vetor de rotação para todo o campo de velocidades ficar univocamente determinado.

Não confundir r (yaw rate = dψ/dt) com ψ (ângulo de yaw / aproamento). As equações usam velocidades (u…r); os ângulos de Euler vêm por integração.

Derivadas dos versores → Coriolis

i,j,k rotacionam com o navio › di/dt = Ω × i (idem j, k por permutação cíclica) › geram os termos cruzados (wq−vr), (ur−wp), (vp−uq) = acelerações de Coriolis

ObjetivoConstruir a equação de movimento = conhecer as causas dos movimentos. Estratégia em 2 etapas: 1º no inercial (Newton vale), depois transformar ao solidário (forças hidrodin. mais fáceis).

**Fig. 6** — Derivada dos versores î e ĵ em função do ângulo ψ (yaw)

Corpo rígido: massa concentrada no CG › F = d(m·V_G)/dt › massa constante › F = m·a_G

Massa constante: consumo de combustível numa manobra é fração ínfima da massa → desprezível (simplificação fundamentada).

**Fig. 5** — Derivada dos versores î e k̂ em função do ângulo θ (pitch)

F = m·a_G no NED é simples mas pouco útil: forças hidrodinâmicas são função natural de u,v,w,p,q,r e da geometria do casco → mudar ao solidário resolve, ao custo dos termos de Coriolis.

**Fig. 7** — Derivada dos versores ĵ e k̂ em função do ângulo φ (roll)

Forças translacionais no CG (SNAME)

GdL	Força	Equação
Surge	X	X = m·(u̇ + wq − vr)
Sway	Y	Y = m·(v̇ + ur − wp)
Heave	Z	Z = m·(ẇ + vp − uq)

Termos (wq−vr), (ur−wp), (vp−uq) = acelerações centrípetas (Coriolis): não são forças reais, surgem do referencial girante. O m·u·r em sway é o efeito dominante na manobra (navio a vante que guina sente força lateral).

Permutação cíclica (u→v→w, p→q→r, X→Y→Z): Y e Z derivam de X — propriedade exata, não aproximação.

Omitir esses termos produz trajetórias completamente erradas — são a essência do acoplamento surge-sway-yaw.

Quantidade de movimento angular › R_G = H_G · Ω › H_G = tensor de inércia (matriz 3×3)

Origem no CG → eixos coincidem com os eixos principais de inércia → produtos de inércia nulos (I_xy=I_xz=I_yz=0); tensor vira diag(I_x, I_y, I_z).

Momento	Integral	Ordem
I_x (roll)	∫(y²+z²)dm	menor (massa lateral estreita)
I_y (pitch)	∫(x²+z²)dm	intermediário
I_z (yaw)	∫(x²+y²)dm	maior (x² domina, massa no comprimento)

Momentos K / M / N (SNAME)

GdL	Equação
Roll (K)	K = I_x·ṗ + (I_z−I_y)·q·r
Pitch (M)	M = I_y·q̇ + (I_x−I_z)·p·r
Yaw (N)	N = I_z·ṙ + (I_y−I_x)·p·q

Os termos cruzados = giroscópicos (precessão/nutação). Pequenos em manobra plana (p=q≈0); relevantes em ondas com roll+pitch. Só sumiriam numa esfera (I_x=I_y=I_z).

I_z > I_y > I_x: navio resiste muito mais à guinada que ao balanço → guinadas são lentas mesmo com leme a toda.

Produtos de inércia só são nulos no CG; fora dele reaparecem (penalidade da Section seguinte).

Quando O ≠ GR_G (de O ao CG) tem componentes não nulas x_G, y_G, z_G → surgem termos extras. Motivo: aproveitar as simetrias geométricas do casco (o CG é interno e varia com a carga).

**Fig. 8** — Sistema referencial inercial NED (N, E, D) e o vetor R_b do navio até elemento dm

R_G é fixo no corpo → só muda de sentido, nunca de comprimento: dR_G/dt = Ω × R_G.

Força adicional	Expressão	Surge quando	Disco (molas)
Centrífuga	m·[Ω×(Ω×R_G)]	Ω ≠ 0 (qualquer rotação, mesmo constante)	radial p/ fora
de Euler	m·(Ω̇ × R_G)	Ω̇ ≠ 0 (aceleração angular)	tangencial

Analogia da bola de bronze em 4 molas num disco giratório: rotação constante → distorção radial (centrífuga); disco acelera → distorção tangencial (Euler).

Rotação constante → há centrífuga mas não há força de Euler. Euler aparece nos transitórios: início/fim de guinada, largada/parada de máquinas.

**Fig. 14** — Aceleração de Coriolis: vetor V_G medido em G + termo cruzado com R_0

Momento de CoriolisTorque F × R_G (F ≈ 2·m·Ω×U_O); só existe quando O ≠ G (se O=G, R_G=0 → braço nulo). Reintroduz os produtos de inércia cruzados.

**Fig. 13** — Quantidade de movimento angular de G em relação a O

Custo: equação mais complexa → forma no CG segue preferida quando a geometria permite.

**Fig. 9** — Origem O e centro de gravidade G do navio: vetor R_(0,G) entre eles

**Fig. 10** — Ação de forças centrífugas para um referencial fora de G

**Fig. 11** — Ação de forças de Euler para um referencial fora de G

**Fig. 12** — Vetor posição R_G entre G e o centro do navio O: relação entre F, M_G e M

Duas formasSeções 2.5 (geral, origem fora do CG) e 2.6 (preferida, origem no CG). Cada uma = 6 equações escalares na convenção SNAME: forças X,Y,Z + momentos K,M,N.

Convenção SNAME (Society of Naval Architects and Marine Engineers): forças (X,Y,Z) e momentos (K,M,N) em (surge, sway, heave, roll, pitch, yaw) — usada em toda a obra e nos caps. 3 a 11.

GdL	Equação completa no CG
Surge X	m·(u̇ + wq − vr)
Sway Y	m·(v̇ + ur − wp)
Heave Z	m·(ẇ + vp − uq)
Roll K	I_x·ṗ + (I_z−I_y)·q·r
Pitch M	I_y·q̇ + (I_x−I_z)·p·r
Yaw N	I_z·ṙ + (I_y−I_x)·p·q

Na forma no CG, todos os termos com x_G, y_G, z_G (centrífuga, Euler, Coriolis, produtos de inércia) desaparecem → equação mais limpa e simétrica.

Forma de 6 GdL no CG = teto da hierarquia; as seções 2.7/2.8 são casos especiais por hipóteses progressivas até os 3 GdL.

Manobra padrão em mar calmo: retêm-se só surge (X), sway (Y) e yaw (N); descartam-se heave, roll e pitch.

Hipóteses da redução (2.7–2.8)

w ≈ 0 (heave)p ≈ 0 (roll)q ≈ 0 (pitch)x_G=y_G=z_G=0 (CG)massa constantecorpo rígido

Equação padrão do plano horizontal (3 GdL, no CG)

GdL	Equação	Acoplamento
Surge	X = m·(u̇ − v·r)	−m·v·r: força centrípeta long.
Sway	Y = m·(v̇ + u·r)	+m·u·r: Coriolis lateral (dominante)
Yaw	N = I_z·ṙ	giroscópicos somem (p=q=0)

Mesmo em 3 GdL os movimentos ficam acoplados: uma guinada (r≠0) gera força em surge (−m·v·r) e sway (+m·u·r). Não há solução independente por equação — é a essência da dinâmica de manobra.

Forma vetorial compacta › M·ξ̈ + C(ξ̇)·ξ̇ = F_ext › M = massa (+ massas adicionadas nos caps. seguintes), C = Coriolis/centrípeta, F_ext = hidrodin. + ambiental + atuadores

Esta eq. de 3 GdL é o ponto de partida de todos os caps. 3 a 11 de Santos: derivadas de Abkowitz, índices de Nomoto, curva de giro, estabilidade direcional.