MN Cap. 1+2 — Manobrabilidade: Conceito e Equação de Movimento

1. Visão geral — por que estudar manobrabilidade

A manobrabilidade do navio é assunto envolvente, mas muito complexo. Por milhares de anos, o conhecimento sobre ela foi empírico — baseado na prática ou na "arte" —, e seus fundamentos variavam de um marinheiro experiente para outro. O entendimento da manobrabilidade exige a descrição prática do escoamento de água em torno do casco durante toda a manobra: um dos problemas mais complexos da hidrodinâmica (Santos, cap. 1, intro).

1.1 O escoamento ao redor do casco como problema da hidrodinâmica

Descrever o escoamento de água em torno de um casco em manobra envolve geometria tridimensional que varia continuamente com o tempo, efeitos viscosos, geração de ondas na superfície livre e interações com o fundo do mar e com as margens do canal. A equação de movimento do navio condensa essa complexidade em um sistema tratável de equações diferenciais — possível apenas a partir das leis de Newton e das hipóteses de corpo rígido e de separação de planos.

1.2 Hipóteses e aproximações como necessidade prática

Nenhum modelo de manobrabilidade reproduz fielmente toda a física do problema. A escolha consciente de quais hipóteses aceitar — e quais efeitos desprezar — é parte central da formação do praticante. O livro Santos apresenta cada hipótese com sua justificativa e seus limites de validade, de modo que o leitor saiba quando o modelo é confiável e quando precisa ser revisto.

2. O conceito — controlabilidade em 3 GdL no plano horizontal

O estudo da manobrabilidade requer a análise da dinâmica de forças no casco em função da ação de atuadores — leme, propulsor e impelidores —, para controle de manutenção de rumo ou de aproamento, estabilidade dinâmica e habilidade para alterar/parar velocidades em diferentes condições ambientais e geográficas (Santos, 1.1).

"O estudo da manobrabilidade do navio requer a análise da dinâmica de forças no casco do navio em função da ação de atuadores (leme, propulsor, impelidores, etc.), para controle de manutenção de rumo ou de aproamento, estabilidade dinâmica e habilidade para alterar/parar velocidades em diferentes condições ambientais e geográficas."

2.1 Os três graus do plano horizontal — surge, sway, yaw

A manobrabilidade do navio compreende, na sua forma clássica inicial, o controle de movimentos da embarcação em três graus de liberdade no plano horizontal: duas translações e uma rotação. A figura abaixo identifica os seis movimentos possíveis, dos quais os três do plano horizontal são os relevantes para a manobra padrão.

2.2 O navio como corpo rígido sujeito a forças externas

Na teoria de manobra, o movimento do navio é descrito pela dinâmica de um corpo rígido sujeito a um sistema de forças externas, principalmente de origem hidrodinâmica. A hipótese de corpo rígido significa que as distâncias relativas entre quaisquer dois pontos do casco permanecem constantes durante a manobra — deformações estruturais são desprezadas.

Além das forças hidrodinâmicas, o sistema de forças externas pode incluir (Santos, 1.1):

• Forças ambientais — vento, corrente e ondas;
• Restrições topográficas — efeitos de águas rasas e bancos;
• Tração de cabos — reboque ou amarração;
• Interação navio-navio — pressão hidrodinâmica mútua em ultrapassagem ou atracação.

3. Manobrabilidade × ship motion — efeitos de memória

Inicialmente, o estudo clássico da manobrabilidade era feito em mar calmo e tratado de forma isolada do estudo do movimento em ondas — denominado internacionalmente ship motion. A razão dessa separação estava na forma como era obtida a resposta do navio na superfície livre quando da ação de forças hidrodinâmicas (Santos, 1.1).

"Por tradição existe uma separação de estudos do movimento do navio no plano horizontal (manobrabilidade) e no plano vertical (ship motion) que é devida aos 'efeitos de memória' hidrodinâmicas."

3.1 Por que separar plano horizontal e plano vertical

Os efeitos de memória hidrodinâmicos surgem porque a resposta do fluido ao redor do navio não é instantânea — ela depende da história passada do movimento. Essa dependência temporal se manifesta de forma distinta em cada plano:

• Plano horizontal (manobrabilidade): ausência de forças de restauração; equações com coeficientes quase constantes; os efeitos de memória existem mas são gerenciáveis com modelos de coeficientes fixos.
• Plano vertical (ship motion): forças de restauração comparáveis às de excitação das ondas; ressonância com a frequência natural do casco; amortecimento por irradiação de ondas domina sobre o viscoso; análise espectral com operadores de amplitude de resposta (RAOs).

3.2 Efeitos de memória — mecanismos potencial e viscoso

Os efeitos de memória surgem por dois mecanismos distintos (Santos, 1.1):

• Efeitos potenciais: quando o navio está na superfície livre, a hidrodinâmica introduz efeitos de memória devido ao sistema total associado à geração de ondas superficiais. Em fluido ideal infinito (corpo totalmente submerso), o potencial de perturbação desaparece no instante em que o corpo para; na superfície livre, isso não ocorre — as ondas geradas continuam a interagir com o casco.
• Efeitos viscosos: ao incorporar a viscosidade do fluido, há também irradiação de vorticidades variáveis ao longo do tempo — a esteira turbulenta do casco "lembra" a história da manobra.

Em ambos os casos, os efeitos de uma série de impulsos discretos podem ser descritos por integrais de convolução ao longo de toda a história do movimento, fazendo as equações tomarem a forma de equações integrais-diferenciais (Santos, 1.1).

3.3 Ausência de restauração em manobra — implicação prática

Em manobra horizontal em mar calmo, ocorre ausência de forças de restauração. Essa é a distinção fundamental: no plano vertical, forças hidrostáticas trazem o navio de volta à posição de equilíbrio após perturbação (roll e pitch têm "estabilidade natural"); no plano horizontal, não existe mecanismo de restauração — o navio se mantém no rumo desviado até que uma força ativa (leme) o corrija.

Problema persistente na análise de manobrabilidade: o movimento possui características quase constantes, mas não pode ser confinado apenas a baixas frequências. Em uma guinada típica, o navio passa por fases transitórias — antes da estabilização da razão de guinada — que incluem harmônicos de todas as frequências (Santos, 1.1).

4. Histórico da teoria até 1960

A teoria de manobrabilidade tem longo desenvolvimento — começa quando o homem constrói uma jangada e usa o remo. O conhecimento era empírico, adquirido pela tradição e pela prática de marinheiros experientes, sem fundamentação científica, por falta de leis que descrevessem com precisão o relacionamento entre forças externas e variações de movimento (Santos, 1.2).

4.1 Século XVII — Newton e os pioneiros

Em 1666, Isaac Newton estabelece, em Princípios matemáticos da filosofia natural, as três leis da dinâmica: lei da inércia, princípio fundamental (F = m·a) e lei da ação e reação. Essas leis forneceram a base para o estudo científico da manobra de navios.

O emprego das leis de Newton ganhou importância técnica imediata no final do século XVII — as potências europeias precisavam manobrar grandes embarcações em longas navegações. Três trabalhos identificaram os tópicos fundamentais do estudo de manobras de navios:

• Renau (França, 1689);
• Huygens (Holanda, 1693);
• Johann Bernoulli (Suíça, 1714).

Esses três trabalhos identificaram os seguintes tópicos fundamentais (Santos, 1.2):

1. Magnitude e direção das forças e momentos no casco, vela e leme — especialmente para vento oblíquo ao rumo.
2. Dinâmica do sistema — forças de inércia do casco, equipamento de vela e resistência.
3. Solução das equações de movimento segundo Newton.

4.2 Século XVIII — Euler e a abordagem sistemática

Leonhard Euler (1707–1783), professor em São Petersburgo, trouxe contribuições essenciais à dinâmica e hidrodinâmica das embarcações à vela. Obras principais:

• Ciência naval (1749) — abordagem para o movimento de rotação de corpo alongado com distribuição arbitrária de massa;
• Teoria completa de construção e manobra de navios (1773) — formalização dos 6 GdL e dos ângulos de Euler.

Em Ciência naval (Cap. 2, Vol. 1), Euler desenvolveu abordagem para o movimento de rotação de um corpo alongado com distribuição arbitrária de massa, com rotação em torno de eixo ortogonal fixo passando pelo centro de gravidade. Escolheu sistema de coordenadas ortogonais com origem no CG, eixo longitudinal horizontal no plano central do navio.

Pelo somatório dos elementos de massa distando r do centro de rotação, Euler obteve o momento angular M: integral de Ω · r² · dm, onde Ω = velocidade angular, r = distância do elemento de massa dm ao centro de rotação. Esse resultado — Ω · ∫r² dm = M — é a origem dos momentos de inércia que aparecem em todas as equações de manobrabilidade (Santos, 1.2).

Euler estabeleceu os 6 graus de liberdade do navio: 3 translações (surge η₁, sway η₂, heave η₃) e 3 rotações. Em homenagem a Euler, os ângulos de rotação na mecânica clássica são chamados ângulos de Euler:

• φ (phi) — roll, rotação em torno do eixo x (longitudinal);
• θ (theta) — pitch, rotação em torno do eixo y (transversal);
• ψ (psi) — yaw, rotação em torno do eixo z (vertical).

Contribuições práticas de Euler registradas por Santos (1.2):

• Primeira avaliação técnica de desaceleração em linha reta (coasting).
• Aceleração do navio a partir do repouso, com propulsão a vela e resistência do casco.
• Primeira investigação científica da estabilidade de rumo — ação de vento oblíquo + leme para manter trajetória.
• Desenvolvimento de procedimentos de teste em tanques de reboque (séries sistemáticas).
• Desenvolvimento de "curvas polares" para estratégias de navegação com vento de diversas direções.

"É emocionante para um estudioso da hidrodinâmica do navio saber que a teoria da variação de quantidade de movimento angular e o seu respectivo momento de inércia, tão conhecidos da mecânica clássica, tiveram sua primeira aplicação prática na análise da manobrabilidade de navios."

4.3 Séculos XIX e XX — Do empírico ao modelo matemático

O desenvolvimento da teoria no século XIX e início do XX foi gradual — cada autor acrescentou um conceito ao quadro deixado por Euler:

4.4 Atores institucionais — IMO, ABS, PIANC, OCIMF, ROM

Paralelamente ao desenvolvimento científico, organizações internacionais consolidaram os padrões operacionais de manobrabilidade:

• IMO — International Maritime Organization: Res. A.751 (padrões provisórios de manobrabilidade) e Res. MSC.137(76) (padrões de manobrabilidade em vigor); define critérios mínimos de manobra para navios mercantes.
• ABS — American Bureau of Shipping: classificação e testes de manobrabilidade para navios de bandeira americana.
• PIANC — Associação Internacional de Navegação: recomendações para projetos portuários e canais de acesso, incluindo critérios de manobra.
• OCIMF — Oil Companies International Marine Forum: coeficientes de força do vento e corrente para petroleiros; padrões de amarração e reboque.
• ROM (Espanha) — Recomendações para obras marítimas: padrões europeus que incorporam critérios de manobrabilidade.

Pós-1960: o grande avanço no emprego da teoria com derivadas hidrodinâmicas surgiu concentrado em operações de grandes navios-tanque em águas rasas e confinadas — impulsionado pela demanda de petróleo e pela construção de navios-tanque de manobrabilidade desconhecida (Santos, 1.2).

5. Sistemas referenciais de posição

Para descrever o movimento do navio em todos os seis graus de liberdade — 3 translações ao longo de eixos ortogonais e 3 rotações em torno de cada um desses eixos —, é necessário escolher o referencial mais conveniente. A geometria da superfície do casco, observada em referencial inercial, varia constantemente com o tempo; isso afeta as componentes das forças externas não só pelas velocidades e acelerações, mas também pela contínua mudança de posição do casco (Santos, 2.1).

5.1 Referencial inercial × referencial solidário ao navio

Referencial inercial é aquele no qual as leis de movimento de Newton são válidas diretamente. Qualquer referencial movendo-se com velocidade constante em relação a um inercial também é inercial — a aceleração é igual nos dois.

O referencial solidário ao navio é fixo ao casco — move-se e rotaciona com o navio. Não é inercial: quando o navio rotaciona, os eixos a ele fixos também se movem, e surgem termos adicionais (Coriolis e acelerações centrípetas) nas equações de Newton. Apesar de não ser inercial, é o sistema preferido para expressar as forças hidrodinâmicas, pois estas dependem da geometria do casco — naturalmente definida nos eixos do navio.

Vantagem fundamental do plano de simetria: praticamente todos os navios possuem um plano de simetria — o plano da linha central (boreste = bombordo em forma). O sistema de eixos escolhido deve tirar proveito dessa simetria: dois dos três eixos devem estar no plano de simetria; o terceiro deve ser perpendicular a ele. Com dois eixos no plano de simetria, as expressões para as forças hidrodinâmicas são facilitadas e as equações de movimento (segunda lei de Newton) são simplificadas por estarem orientadas pelos eixos principais de inércia (Santos, 2.1).

5.2 Convenções de eixos e o sistema NED

O sistema solidário ao navio adotado por Santos tem a seguinte convenção de eixos (mesma da nomenclatura SNAME):

"O sistema de eixos escolhido foi fixado no navio para usar sua simetria e para calcular com mais facilidade a quantidade vetorial das forças hidrodinâmicas e hidrostáticas, representadas por F, apesar de ele não ser um referencial inercial."

O sistema NED (North-East-Down) é o referencial inercial adotado — comumente usado em projetos de aeronaves e submarinos:

• Eixo x positivo: Norte geográfico;
• Eixo y positivo: Leste (East);
• Eixo z positivo: para baixo (Down).

No NED são feitas as análises de navegação: posição do navio, trajetória, ângulo de rumo, magnitude e direção da velocidade, forças ambientais (vento, corrente, ondas por boletins meteorológicos), alinhamento de vias de acesso, píer, fundeadouros (Santos, 2.1).

A Fig. 3 do livro detalha o vetor posição $R_{b}$ do navio em relação ao referencial inercial NED. $R_{b}$ é o vetor que sai da origem do sistema NED (North-East-Down — eixo x positivo para norte, y positivo para leste, z positivo para baixo) e termina no centro de gravidade G (origem do sistema fixo ao navio) — é a posição instantânea do navio no espaço, base do acompanhamento da trajetória e da definição do rumo.

6. Vetores posição e velocidade do navio

6.0 Derivadas dos versores: figs. 5, 6 e 7 do livro

Quando o navio rotaciona, os versores î, ĵ e k̂ dos eixos solidários ao casco também rotacionam — embora seu comprimento não mude (são unitários), seu sentido muda. As figuras 5, 6 e 7 do livro mostram, separadamente, os diferenciais dî, dĵ e dk̂ em função dos diferenciais dos ângulos de rotação θ (pitch), ψ (yaw) e φ (roll). Em cada caso, o diferencial é perpendicular ao versor original e tem módulo igual ao raio unitário multiplicado pelo diferencial do ângulo (em radianos).

A Fig. 5 mostra o elemento diferencial resultante da rotação θ em torno do eixo y: como î e k̂ mudam de sentido durante o pitch.

A Fig. 6 mostra o elemento diferencial resultante da rotação ψ em torno do eixo z: como î e ĵ mudam de sentido durante o yaw.

A Fig. 7 mostra o elemento diferencial resultante da rotação φ em torno do eixo x: como ĵ e k̂ mudam de sentido durante o roll. As três figuras juntas (5, 6 e 7) são a base geométrica das matrizes de rotação usadas nas equações de movimento.

Com os dois referenciais definidos, o próximo passo é descrever a posição e a velocidade do navio em termos matemáticos precisos. Dois vetores condensam toda a cinemática do navio e formam a base para a derivação da equação de movimento nas seções seguintes.

6.1 Vetor posição — coordenadas no referencial inercial

Os deslocamentos de movimento do navio no sistema inercial NED são acompanhados pelo vetor posição $R_{b}$, que permite definir a posição do navio em qualquer instante do tempo (Santos, 2.2).

O vetor posição $R_{0}$ de qualquer elemento infinitesimal de massa dm do navio no NED é:

$R_{0}$ = $R_{b}$ + $R_{G}$

onde:

• $\mathbf{R_{b}}$ — vetor que acompanha a posição do centro de gravidade no referencial inercial; é a grandeza acompanhada pelo GPS, AIS e ECDIS a bordo;
• $\mathbf{R_{G}}$ — vetor posição do elemento dm em relação ao CG do navio; ao aproximar $R_{G}$ → 0 (mantido paralelo aos eixos principais do navio), torna-se um vetor unitário infinitesimal i, j, k dos eixos x, y, z do navio com origem em G.

6.2 Vetor velocidade — translações e rotações no referencial solidário

O vetor velocidade do navio $V_{G}$ no referencial solidário decompõe-se em seis componentes — três de translação e três de rotação (Santos, 2.3):

$V_{G}$ = u·i + v·j + w·k

O vetor velocidade angular Ω com componentes p, q, r sobre os eixos x, y, z:

Ω = p·i + q·j + r·k

O vínculo cinemático do corpo rígido: basta o conhecimento da velocidade de um ponto pertencente ao corpo (o CG, escolhido como referência) e do vetor de rotação do mesmo corpo para que todo o campo de velocidades esteja univocamente determinado (Santos, 2.3).

"Descrevendo-se a velocidade do navio, em um referencial a ele fixo, verifica-se que ele possui um vínculo cinemático: basta o conhecimento da velocidade de um ponto pertencente ao corpo em estudo, ponto esse arbitrariamente escolhido, e do vetor de rotação desse mesmo corpo, para que todo o campo de velocidades esteja univocamente determinado."

6.3 Transformação entre sistemas — derivadas dos vetores unitários e ângulos de Euler

Uma alteração em quantidade vetorial medida no sistema solidário pode ocorrer tanto no sentido dos eixos quanto no sentido de rotação. Como i, j, k são vetores unitários (comprimento constante), mas estão fixos a um navio em movimento, suas derivadas temporais não são zero quando o navio rotaciona. Esses diferenciais resultam da multiplicação dos raios unitários com o diferencial dos ângulos de Euler (θ, φ, ψ) em radianos — e suas direções são perpendiculares aos vetores i, j, k respectivamente (Santos, 2.2).

A variação dos vetores unitários em rotação é dada pelos produtos cruzados com Ω:

• di/dt = Ω × i — componente proporcional às velocidades angulares q e r;
• dj/dt = Ω × j — obtida por permutação cíclica de di/dt;
• dk/dt = Ω × k — obtida por permutação cíclica.

O procedimento de permutação é propriedade da álgebra linear que permite, a partir da expressão geral para um componente ou vetor, obter as expressões para os demais movendo cada item de acordo com os índices na escala — sem derivação independente para cada eixo (Santos, 2.3).

Significado prático das seis componentes cinemáticas: as três componentes de translação — u (surge), v (sway), w (heave) — e as três de rotação — p (roll rate), q (pitch rate), r (yaw rate) — são exatamente o que os sensores de movimentação e sistemas de manobra assistida medem. O praticante experiente "sente" u e r (velocidade avante e razão de guinada) intuitivamente ao executar atracações; a formalização matemática justifica por que sensores fora do CG dão leituras diferentes dos sensores posicionados exatamente no CG (Santos, 2.3).

7. A equação de movimento — Newton aplicada ao navio

Como afirma Santos na abertura do Capítulo 2 (cap. 2): "ao construir a equação de movimento do navio, no estudo de manobrabilidade, tem-se um objetivo — conhecer as causas dos movimentos". É essa orientação que justifica o formalismo de Newton estendido ao corpo extenso do navio.

O navio é tratado como corpo rígido — sistema idealizado de partículas cujo tamanho e forma não se alteram durante a manobra. As leis de Newton foram originalmente definidas para uma única partícula; estendê-las a um corpo extenso com massa distribuída em seis graus de liberdade é o desafio central do Capítulo 2 de Santos. Para isso, o livro adota uma estratégia em duas etapas: primeiro, descrever a equação no referencial inercial fixo na Terra, onde as leis de Newton valem diretamente; depois, transformá-la para o referencial solidário ao navio, onde as forças hidrodinâmicas são mais fáceis de expressar.

7.1 Forma geral inercial — F = m·$a_{G}$ aplicada ao corpo rígido

O vetor quantidade de movimento de um elemento infinitesimal de massa dm é o produto de dm pela sua velocidade medida no NED (referencial inercial North-East-Down fixo na Terra). Para um corpo rígido com translação pura, todos os elementos de massa têm a mesma velocidade — os vetores unitários i, j, k do navio são iguais em qualquer ponto do casco — e toda a massa pode ser concentrada no centro de gravidade (CG). A quantidade de movimento total reduz-se a m·$V_{G}$, onde $V_{G}$ é a velocidade do CG.

Aplicando a segunda lei de Newton:

F = d(m·$V_{G}$)/dt

Com a hipótese de massa constante — o consumo de combustível ao longo de uma manobra típica é fração ínfima da massa total do navio e pode ser desprezado —, a derivada temporal simplifica-se para:

F = m·$a_{G}$

Esta é a forma mais simples da equação de movimento: a resultante de todas as forças externas (hidrodinâmicas, ambientais, cabos, propulsores, leme) é igual à massa do navio multiplicada pela aceleração do seu CG, ambas medidas no referencial inercial.

7.2 Por que o CG simplifica — e o que muda fora do CG

A escolha do CG como origem do sistema solidário ao navio traz três vantagens decisivas, exploradas em detalhe nas seções 8 e 9:

• Quantidade de movimento translacional concentrada — toda a massa pode ser tratada como uma única partícula de massa m localizada em G; o vetor $V_{G}$ descreve completamente a translação.
• Tensor de inércia diagonal — com a origem em G, os eixos escolhidos coincidem com os eixos principais de inércia do corpo, zerando os produtos de inércia cruzados ($I_{xy}$, $I_{xz}$, $I_{yz}$ = 0); o tensor reduz-se a três valores: $I_{x}$, $I_{y}$, $I_{z}$.
• Ausência dos termos de transporte — quando O = G, as distâncias $x_{G}$, $y_{G}$, $z_{G}$ são nulas; desaparecem as forças centrífugas, de Euler e o momento de Coriolis que surgiriam com a origem fora do CG.

Quando a origem está fora do CG, surgem termos adicionais nas equações — forças centrífugas (força centrífuga) e de Euler (força de Euler) — tratados em detalhe na Section 10 deste WA, que corresponde a Santos, cap. 2.4.3 e 2.4.4. A equação com origem fora do CG é mais geral mas matematicamente mais complexa; o livro a usa para aproveitar simetrias geométricas do casco que facilitam o cálculo de forças hidrodinâmicas.

8. Forças translacionais no CG

Ao descrever a equação de movimento nos eixos do navio — o referencial solidário com origem no CG —, o vetor velocidade é expresso como $V_{G}$ = u·i + v·j + w·k, onde u, v, w são as componentes de surge, sway e heave respectivamente. A grande novidade é que os vetores unitários i, j, k, fixos ao navio, mudam de direção no referencial inercial conforme o navio rotaciona. Suas derivadas temporais são:

di/dt = Ω × i  |  dj/dt = Ω × j  |  dk/dt = Ω × k

onde Ω = (p, q, r) é o vetor velocidade angular do navio. Ao expandir a derivada temporal de $V_{G}$ no referencial solidário, surgem dois grupos de termos distintos.

8.1 Derivação rigorosa — dois grupos de termos

Grupo 1 — Acelerações translacionais diretas: derivadas de u, v, w no tempo ($\dot{u}$, $\dot{v}$, $\dot{w}$). São as acelerações "puras" nas direções dos eixos do navio — o que seria a única parcela num referencial inercial estático.

Grupo 2 — Acelerações de Coriolis (acelerações centrípetas): termos cruzados entre as velocidades translacionais (u, v, w) e as velocidades angulares (p, q, r). Resultam da variação de direção dos vetores de velocidade num referencial girante — não de variação de módulo. Santos os denomina explicitamente "acelerações centrípetas".

Decompondo nas três direções, as equações de força translacional com origem no CG são (convenção SNAME):

8.2 Termos de Coriolis — significado físico

Santos (cap. 2.4.2.1) chama os termos (wq−vr), (ur−wp) e (vp−uq) de acelerações centrípetas: aparecem porque, no referencial girante (com velocidades angulares p, q, r ≠ 0), as velocidades lineares u, v, w geram acelerações aparentes mesmo quando suas componentes individuais não mudam.

Fisicamente, o termo m·u·r na equação de sway (força Y) é particularmente relevante na manobra padrão de 3 GdL (Section 12): um navio navegando à frente (u > 0) que começa a guinar (r > 0) sente força lateral Y mesmo sem que a velocidade lateral v mude. Essa força não é real — é um efeito da rotação do referencial.

Do mesmo modo, o termo −m·v·r na equação de surge representa a aceleração centrípeta longitudinal: um navio guinando (r ≠ 0) com velocidade lateral v sente uma componente de força longitudinal de origem inercial, mesmo sem variação de u. O sinal negativo indica que a força atua em sentido oposto à aceleração direta.

9. Momentos no CG — matriz de inércia

Além das forças translacionais, o navio rotaciona em torno dos três eixos — e para descrever roll, pitch e yaw precisamos das equações de momento angular. A derivação parte da definição de Euler: a quantidade de movimento angular de um elemento de massa dm é o produto vetorial da sua posição R (em relação ao CG) pela sua velocidade angular, expressa como Ω × R, onde Ω = (p, q, r) é o vetor velocidade angular do navio.

Para um sistema de partículas distribuídas pelo casco, a quantidade de movimento angular total $R_{G}$ em torno do CG resulta do produto entre o tensor de inércia $H_{G}$ e o vetor velocidade angular Ω:

$R_{G}$ = $H_{G}$ · Ω

9.1 Matriz de inércia — composição e simplificação

A matriz de inércia (tensor de inércia) é uma matriz 3×3. Sua diagonal principal contém os momentos de inércia em torno dos três eixos do navio; os elementos fora da diagonal são os produtos de inércia, que medem a assimetria da distribuição de massa em relação aos planos coordenados.

9.2 Componentes K/M/N — equações de momento com origem no CG

A equação de momentos é obtida pela derivada temporal de $R_{G}$ no referencial girante, aplicando a mesma regra da Section 8 (derivada dos vetores unitários = Ω × vetor unitário). O resultado, igualado ao vetor dos momentos externos M na convenção SNAME, produz três equações escalares para roll (K), pitch (M) e yaw (N):

Os termos ($I_{z}$−$I_{y}$)·q·r, ($I_{x}$−$I_{z}$)·p·r e ($I_{y}$−$I_{x}$)·p·q são chamados pelo livro de termos giroscópicos — representam momentos de precessão e nutação quando o navio rotaciona simultaneamente em mais de um eixo. Em manobra típica no plano horizontal, esses termos são pequenos (p = q ≈ 0), mas em situações de ondas com roll e pitch combinados podem ser relevantes.

10. Referencial fora do CG — termos adicionais

Na prática, o CG pode não coincidir com o centro geométrico do navio; além disso, as forças hidrodinâmicas e hidrostáticas dependem fortemente da geometria do casco, e pode ser mais conveniente trabalhar com uma origem O que coincida com o centro geométrico. Quando O ≠ G, o vetor posição $\mathbf{R_{G}}$ (de O ao CG) tem componentes não nulas $x_{G}$, $y_{G}$, $z_{G}$ — e surgem termos adicionais nas equações de força e momento.

10.1 Termos adicionais — forças centrífugas e de Euler

A velocidade $V_{G}$ (no CG) está relacionada com $V_{O}$ (na origem O) pela contribuição rotacional: $V_{G}$ = $V_{O}$ + Ω × $R_{G}$. Como $R_{G}$ é um vetor fixo no corpo rígido, sua única variação possível em relação a O vem da rotação — a derivada temporal de $R_{G}$ é Ω × $R_{G}$.

Após expandir e reagrupar, as equações de força com origem O contêm todos os termos das equações no CG (Section 8) mais dois grupos de termos adicionais com significados físicos distintos:

A Fig. 9 do livro ilustra a relação entre a origem O (centro geométrico do navio) e o centro de gravidade G: $x_{G}$, $y_{G}$, $z_{G}$ são as distâncias de O até G ao longo dos eixos x, y, z. É essa decomposição que permite escrever a equação de movimento num referencial não-inercial (O fora do CG) acrescentando termos de força centrífuga e de Euler aos termos clássicos newtonianos.

Santos ilustra as forças centrífugas com uma bola de bronze presa por quatro molas a um disco giratório: ao girar, as molas se distorcem radialmente para fora — é a manifestação visual das forças centrífugas para o observador no referencial não inercial O. Quanto mais distante G está de O, e quanto mais rápida a rotação, maior a distorção radial.

No mesmo sistema de molas do disco: quando o disco acelera angularmente, as molas sofrem distorções tangenciais além das radiais — essas distorções tangenciais representam as forças de Euler. Na manobra naval, forças de Euler aparecem nos momentos transitórios: início e fim da guinada, largada ou parada de máquinas — qualquer situação onde a taxa de rotação está mudando.

10.2 Momentos em referencial fora do CG — momento de Coriolis

As equações de momento com origem fora do CG (seção 2.4.4 de Santos) têm a mesma estrutura das equações do CG (K, M, N da Section 9), acrescidas de dois tipos de termos adicionais:

• Termos de produto de inércia adicionais — gerados pela translação do eixo de G para O. Os produtos de inércia $I_{xy}$, $I_{xz}$, $I_{yz}$, nulos quando a origem estava em G, reaparecem com valores que dependem das distâncias $x_{G}$, $y_{G}$, $z_{G}$.
• Momento de Coriolis — produto vetorial F × $R_{G}$, onde F é a força de Coriolis proporcional a 2·m·(Ω × $U_{O}$). Este momento não existe quando O = G, pois nesse caso $R_{G}$ = 0 — o braço entre as origens é nulo.

A Fig. 13 do livro (legendada como "Quantidade de movimento angular de G em relação a O") complementa a Fig. 12 visualizando o vetor Ω·$R_{G}$ em torno da origem O. Tecnicamente, esse vetor é a velocidade tangencial de G decorrente da rotação Ω do navio — é dela que se obtém o momento angular formal $H_{O,G}$ (integral de R × (Ω × R) dm) e os termos cruzados de inércia que aparecem nas equações em yaw quando o referencial fica fora do CG.

A Fig. 14 do livro fecha a discussão de referencial não-inercial com a representação visual da aceleração de Coriolis, que o autor rotula no diagrama como $V_{G}$ × $R_{0}$. O livro distingue 3 grandezas relacionadas: a força de Coriolis F (definida logo após a figura), o momento que essa força gera (F × $R_{0}$), e a aceleração visualizada na figura ($V_{G}$ × $R_{0}$). Todas só existem porque o referencial O é não-inercial e rotaciona junto com o navio.

A Figura 12 ilustra a geometria entre as duas origens e a origem do momento de Coriolis: quando O está fora de G com braço $R_{G}$ não nulo, a força de Coriolis — que agora atua em $U_{O}$, velocidade no referencial não inercial O — gera um torque adicional F × $R_{G}$ que modifica os momentos $K_{O}$, $M_{O}$ e $N_{O}$.

10.3 Por que o livro também trata o referencial fora do CG

Santos justifica o uso do referencial fora do CG pela conveniência de aproveitar as simetrias geométricas do casco para facilitar o cálculo das forças hidrodinâmicas e hidrostáticas (Santos, cap. 2.4.3 e 2.4.4). A origem do referencial solidário é escolhida pelo projetista em ponto fixo do navio, frequentemente alinhado a um plano de simetria — e nem sempre coincide com o CG, que é interno e varia com a carga.

11. Equação completa para 6 graus de liberdade

Agrupando todos os resultados das seções anteriores, Santos apresenta nas seções 2.5 e 2.6 duas formas compactas da equação completa de seis graus de liberdade — uma para o referencial fora do CG (forma geral) e outra para o referencial no CG (forma preferida). Cada forma contém seis equações escalares — uma para cada GdL — na convenção SNAME: forças X, Y, Z para surge, sway e heave; momentos K, M, N para roll, pitch e yaw.

11.1 Forma com referencial fora do CG (forma geral — seção 2.5 Santos)

Esta é a forma mais geral, válida para qualquer posição da origem O no navio. Cada uma das seis equações contém:

• Termos básicos — acelerações diretas ($\dot{u}$, $\dot{v}$, $\dot{w}$ para forças; $\dot{p}$, $\dot{q}$, $\dot{r}$ para momentos) mais os termos de Coriolis e giroscópicos já presentes nas equações do CG (Sections 8 e 9).
• Termos adicionais — combinações de $x_{G}$, $y_{G}$, $z_{G}$ com velocidades angulares (p, q, r) e acelerações angulares ($\dot{p}$, $\dot{q}$, $\dot{r}$), representando as reações inerciais (centrífugas, de Euler e de Coriolis) decorrentes da translação da origem de G para O.

Esta forma é utilizada quando se trabalha com dados de instrumentação coletados em pontos específicos do navio diferentes do CG, ou quando as simetrias geométricas do casco tornam inconveniente usar o CG como origem. Como Santos afirma, os termos adicionais com $x_{G}$, $y_{G}$, $z_{G}$ representam os "momentos devidos às reações das forças inerciais causadas pela aceleração do centro de gravidade".

11.2 Forma com referencial no CG (forma preferida — seção 2.6 Santos)

Quando a origem do sistema solidário ao navio coincide com o CG (O = G), todas as distâncias $x_{G}$, $y_{G}$, $z_{G}$ são nulas. Os termos adicionais (forças centrífugas, de Euler, de Coriolis, produtos de inércia) desaparecem completamente. As seis equações resultam na sua forma mais limpa e simétrica, apresentadas abaixo com a nomenclatura SNAME:

12. Redução ao plano horizontal — 3 GdL padrão

Para a manobra padrão de um navio em águas calmas, o movimento no plano vertical — heave Z, roll K, pitch M — é em geral pequeno comparado ao movimento horizontal. A simplificação clássica de Santos consiste em reter apenas os três graus de liberdade do plano horizontal: surge (X), sway (Y) e yaw (N). As equações de heave, roll e pitch são descartadas.

12.1 Hipóteses operacionais da redução ao plano horizontal

As hipóteses que permitem a redução do sistema de 6 GdL para 3 GdL são as seguintes (Santos, cap. 2.7–2.8):

• w ≈ 0 — velocidade de heave desprezível: o navio não tem movimento vertical significativo em mar calmo.
• p ≈ 0 — velocidade angular de roll desprezível: sem adernamento dinâmico significativo na manobra plana.
• q ≈ 0 — velocidade angular de pitch desprezível: sem cabeceio dinâmico significativo na manobra plana.
• $x_{G}$ = $y_{G}$ = $z_{G}$ = 0 — origem no CG: aproveitando a forma preferida da equação de 6 GdL (Section 11.2), os termos adicionais já são nulos.
• Massa constante — hipótese padrão de toda a teoria de manobrabilidade (Section 7.1).
• Corpo rígido — o casco não se deforma durante a manobra (hipótese de toda a teoria).

12.2 A equação padrão do plano horizontal — ponto de partida de toda a teoria clássica

Aplicando as hipóteses acima à equação de 6 GdL no CG (seção 2.6), os termos com w, p, q e suas derivadas desaparecem. Os termos giroscópicos ($I_{y}$−$I_{x}$)·p·q e semelhantes também se anulam. As três equações resultantes, chamadas por Santos de equação de movimento no plano horizontal, no CG, em 3 GdL, são:

Surge: X = m·($\dot{u}$ − v·r)

Sway: Y = m·($\dot{v}$ + u·r)

Yaw: N = $I_{z}$·$\dot{r}$

Cada um dos três termos de acoplamento tem significado físico preciso:

A equação de 3 GdL no plano horizontal com referencial no CG encerra a derivação iniciada no Capítulo 2 de Santos. O percurso foi:

• F = m·$a_{G}$ no referencial inercial NED (Section 7) — forma mais simples, pouco útil na prática.
• Seis equações translacionais com Coriolis no CG (Section 8) — forças X, Y, Z com termos cruzados.
• Seis equações de momento com tensor de inércia no CG (Section 9) — momentos K, M, N com termos giroscópicos.
• Termos adicionais quando a origem está fora do CG (Section 10) — forças centrífugas, de Euler e momento de Coriolis.
• Equação completa de 6 GdL nas duas formas: geral (fora do CG) e preferida (no CG) (Section 11).
• Redução ao plano horizontal — 3 GdL com hipóteses operacionais (Section 12, esta seção) — forma mais simples que mantém o acoplamento essencial da manobra.

"A equação de movimento no plano horizontal, no CG, em 3 GdL é o ponto de partida dos capítulos 3 a 11 do livro Santos e de toda a modelagem clássica de manobrabilidade — derivadas hidrodinâmicas de Abkowitz, índices de Nomoto, equações de curva de giro, modelos de estabilidade direcional." — Santos, cap. 2.8.

Quem entende por que a equação tem a forma X = m·($\dot{u}$ − v·r), Y = m·($\dot{v}$ + u·r) e N = $I_{z}$·$\dot{r}$ entende por que o navio responde ao leme da forma como responde — e essa compreensão é o que separa o prático que manobra por instinto do prático que manobra com fundamento científico. Os produtos LV04 que seguem nesta série — cobrindo estabilidade direcional, derivadas hidrodinâmicas, Nomoto, curva de giro e manobras práticas — constroem sobre este alicerce.