MN Cap. 3 — Asa-Casco e Derivadas Hidrodinâmicas (Santos)

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1. Visão geral — por que estudar a asa-casco e as derivadas

O Cap. 2 do Santos montou o lado inercial da equação de movimento — massas, momentos, acelerações de Coriolis. Este Cap. 3 monta o outro lado: as forças hidrodinâmicas que agem sobre o casco em manobra. A ferramenta conceitual é uma analogia: o casco do navio é tratado como uma asa de baixíssima razão de aspecto, e o leme como o flape dessa asa. A ferramenta matemática é a expansão em série de Taylor em torno da condição de equilíbrio (navio em rumo) — dela nascem as derivadas hidrodinâmicas, que são taxas de variação de cada força/momento com cada grau de liberdade.

A frase-leitmotiv do capítulo (Santos, p. ~34) é: "O casco do navio é uma asa em movimento submetido a um ângulo de ataque (ângulo de deriva), e o leme é o seu flape." Tudo o que vem entre 3.2 e 3.10 desdobra essa premissa: como medir a sustentação e o arrasto que aparecem quando há um ângulo de deriva β, como o momento de Munk desestabiliza o rumo em um corpo alongado em escoamento ideal, como o leme não gira o navio — apenas impõe o β inicial que faz a hidrodinâmica do casco girá-lo, e como tudo isso vira a equação de movimento completa (3.9) que alimenta os Caps. 4–7 (estabilidade, zigue-zague, curva de giro, parada).

Os cinco subitens do edital (Anexo 2-A, I.8.5) que este capítulo cobre, na ordem do livro:

8.5.1 — Teoria de asas aplicada à hidrodinâmica do casco (arrasto, sustentação, momento de Munk, arrasto induzido/cruzado, flape do casco). Sections 3.1 e 3.2.
8.5.2 — Forças que atuam no navio durante a guinada e o efeito do controle do leme. Section 3.3.
8.5.3 — Derivadas hidrodinâmicas (conceito + significado físico): massa adicional longitudinal, lateral, momento de inércia adicional. Sections 3.4 e 3.5.
8.5.4 — Conceito de escoamento cruzado (cross flow) na manobra. Section 3.8 — destacada no Anexo 2-B.
8.5.5 — Emprego das derivadas na avaliação da manobra (conexão com Caps. 4–7). Section 3.10.

Por que isso importa para o prático. Cada índice de manobra que aparece num Pilot Card, numa Wheelhouse Poster ou no Manoeuvring Booklet (raio de giro, advance, transfer, tempo de zigue-zague, distância de parada) é consequência direta de um conjunto específico de derivadas hidrodinâmicas. Entender o significado físico das derivadas é entender por que dois navios de mesmo porte respondem diferente ao leme, por que a manobra em baixa velocidade (cross flow) sai do regime das derivadas lineares, e por que recursos externos como rebocadores e impelidores transversais ganham importância em baixa velocidade — temas todos puxados ao longo do capítulo.Pilot Card / Wheelhouse Poster / Manoeuvring Booklet são instrumentos de bordo previstos pela Resolução IMO A.601(15) — referência editorial. O Cap. 3 do Santos não os cita nominalmente; eles aparecem aqui como ponte com a aplicação prática do prático.

Fonte: SANTOS, Edson Mesquita dos. A Manobrabilidade do Navio no Século 21. Conapra, 2021. Cap. 3 — A Asa-Casco do Navio: As Derivadas Hidrodinâmicas (pp. ~33–83).

Edital: Anexo 2-A, área I (Manobrabilidade do Navio), item 8.5 (Forças Hidrodinâmicas) — subitens 8.5.1 a 8.5.5. Cap. 3 explicitamente prescrito no Anexo 2-B (item I, ref. 8).

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2. Resumo histórico — da teoria de asas à hidrodinâmica naval (3.1)

A semelhança entre a manobra de navios e de aeronaves é, segundo o livro, "impressionante". No início do séc. XX a causalidade era inversa: grande parte dos projetos e pesquisas em aviões e dirigíveis derivava de princípios empíricos da arquitetura naval — David A. Taylor, William Durant e Jerome C. Hunsaker, pioneiros da aerodinâmica, começaram suas carreiras como arquitetos navais. Nos EUA, no início da Primeira Guerra Mundial, a comunidade de arquitetura naval esteve intimamente envolvida no estabelecimento do NACA (National Advisory Committee for Aeronautics, hoje NASA); o centro de pesquisa da NACA foi modelado nas instalações experimentais da Marinha, o David Taylor Research Center (DTRC).

2.1 Bryan (1911) — as derivadas aeronáuticas nascem

O professor britânico de matemática George H. Bryan definiu as equações de movimento em 6 GdL de uma aeronave e empregou pela primeira vez o conceito de derivadas (aeronáuticas). A estabilidade de movimento era determinada com base em pequenas perturbações em torno de uma condição de equilíbrio: a partir de uma perturbação muito pequena, observa-se se o efeito no sistema cresce ou decai com o tempo.

2.2 Reversão dos fluxos (anos 1930) — empirismo naval → física aeronáutica

Na década de 1930, a transferência de conhecimento da área naval para a aeronáutica foi "irrevogavelmente revertida". Na aeronáutica, o empirismo deu lugar a pesquisas fundamentais baseadas em física, e os resultados teóricos e experimentais para aerofólios, dirigíveis e aeronaves de asa fixa desenvolvidos por Ludwig Prandtl, Theodore von Kármán, Max M. Munk, Hilda M. Lyon e Albert Betz passaram a ser empregados no desenvolvimento hidrodinâmico de navios e submarinos.

2.3 Weinblum (1937) e Abkowitz (1964) — derivadas hidrodinâmicas navais

Na Alemanha, George Weinblum (1937) formulou um modelo matemático para analisar a manobrabilidade do navio com o conceito de derivadas hidrodinâmicas, similar ao já empregado na aeronáutica. As derivadas hidrodinâmicas permitem representar as forças sobre o casco como uma série de potências; inicialmente foram empregadas para simulação sem clareza sobre o significado físico — hoje o significado físico de cada termo é entendido e o emprego das derivadas informa como o navio se comportará em manobra em função das forças que agem sobre ele.

O salto seguinte veio com Martin Abkowitz (1936–2014, MIT), que em 1964 aplicou expansões da série de Taylor às forças hidrodinâmicas nos seis graus de liberdade. Esse trabalho marca o início de análises não lineares em múltiplos graus de liberdade para a manobra do navio. Os anos 1970 trouxeram a validação experimental dos modelos fundamentados em Taylor, com provas de mar em diferentes cascos.

2.4 Anos 1980 — a asa de baixa razão de aspecto (Obokata, Jones)

Nos anos 1980, priorizou-se considerar o navio uma asa de baixa razão de aspecto, como nos trabalhos de Obokata. Essa abordagem permite uma interpretação física mais apropriada das forças sobre o casco. Os princípios empregados foram o do escoamento cruzado em conjunto com as forças de sustentação e arrasto produzidas em um casco representado como asa de baixa razão de aspecto, cuja teoria — a teoria de Jones — já estava completamente desenvolvida e aplicada pela aeronáutica desde 1950.

Tabela cronológica dos marcos

Ano	Pesquisador	Contribuição	Impacto na manobrabilidade do navio
1875	William Froude	Conceito de corpo duplo (modelo de baixa velocidade)	Permite tratar a superfície livre como plano rígido espelhado em Froude < 0,25
1908	Lanchester	Teoria da circulação aplicada à sustentação	Base do mecanismo Y_v de sustentação lateral do casco
1911	George H. Bryan	Derivadas aeronáuticas; equações em 6 GdL	Conceito de derivada de movimento como ferramenta de análise de estabilidade
1922	Max Munk	Momento puro em corpo alongado em fluido ideal	Identifica o efeito desestabilizador no plano horizontal — chave para entender por que cascos sem leme/skeg são instáveis
1937	George Weinblum	Modelo matemático com derivadas hidrodinâmicas navais	Primeira transposição formal das derivadas para a manobrabilidade naval
1952	George W. Jones Jr. (NACA)	Fórmula de Jones para CL e CD de asas de baixa razão de aspecto	Base empírica das forças de sustentação e arrasto da asa-casco
1964	Martin Abkowitz (MIT)	Expansão em série de Taylor das forças em 6 GdL	Marco do tratamento não linear da manobra; padrão até hoje
1970	Nils Norrbin	Teoria do quadrado absoluto (v\|v\|, r\|r\|)	Trata corretamente a paridade dos termos quadráticos — essencial para cross flow (3.8)
~1980	Obokata	Casco como asa de baixa razão de aspecto; teoria de Jones aplicada à manobra do navio	Interpretação física unificada das forças sobre o casco; base dos modelos modernos
~1980	Odd Faltilsen (MIT)	Aproximações para a dependência angular entre o momento de Munk e a vorticidade viscosa (extensão do trabalho de Lamb)	Tratamento do momento de Munk em fluido real, com viscosidade

Santos, 3.1 (síntese): "Com a aplicação dos conceitos de derivadas hidrodinâmicas o comportamento do navio em uma dada manobra deixa de ser algo que só poderia ser conhecido na prática ou pela 'arte'. Seus fundamentos são sólidos."

Pontos-chave — Histórico

Bryan (1911) — primeiro a usar derivadas (em aeronáutica); conceito depois transplantado para navios.
Weinblum (1937) → Abkowitz (1964) — linha de formalização das derivadas hidrodinâmicas navais; Abkowitz formaliza a análise não linear em 6 GdL com série de Taylor.
Prandtl / Munk / Jones — pesquisadores aeronáuticos cujos resultados de aerofólios e asas de baixa razão de aspecto foram adotados pela hidrodinâmica naval nos anos 1980.
Teoria de Jones (desde 1950) — base da modelagem do casco como asa de baixa razão de aspecto; incorporada à manobrabilidade por Obokata.
Ferramenta matemática — expansão em série de Taylor em torno do equilíbrio; transforma função multivariável das forças em soma de termos com coeficientes (as derivadas).

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3. A asa-casco do navio — analogia e parâmetros (3.2)

As forças hidrodinâmicas mais importantes em manobra do navio, geradas no casco estando ele em movimento avante com um ângulo de ataque (ou deriva) β, são a força de sustentação e a força de arrasto — apresentadas em conjunto na Fig. 15 do livro. Estas duas forças, mais o momento de Munk (3.2.3) e a ação do flape-leme (3.2.5), constituem o repertório completo da hidrodinâmica do casco em manobra.

Fig. 15 Fig. 15 — Sustentação e arrasto sobre o casco em β

Fig. 16 Fig. 16 — Casco como asa: envergadura=calado, corda=comprimento

A Fig. 17 do livro decompõe essa geometria por seção: para cada x ao longo do comprimento do navio, mostra os vetores de sustentação e de arrasto separadamente, em função do ângulo de deriva β(x) local e das componentes longitudinal (u) e lateral (v) da velocidade incidente. Cada seção transversal contribui individualmente para a força total — que é a integral ao longo do comprimento.

3.1 Por que uma asa de BAIXA razão de aspecto

O navio é considerado uma asa com área muito grande e razão de aspecto (envergadura/corda) muito baixa. A envergadura está relacionada ao calado; a corda, ao comprimento do navio. Em aeronáutica, uma asa típica tem razão de aspecto na casa de 6 a 12 — alta. Em um navio mercante grande, calado/comprimento é da ordem de 0,03 a 0,06 (calado de 15 m num casco de 250–400 m) — duas ordens de magnitude abaixo. Essa baixa razão de aspecto tem consequências físicas profundas: a sustentação por unidade de área é pequena (baixo $C_{L}$), mas como a área total do casco é enorme, a força lateral resultante é grande; e o arrasto induzido pelos vórtices de ponta (em 3.2.4 isso vira o "arrasto cruzado") fica muito mais relevante do que numa asa aeronáutica.

Parâmetros geométricos da asa-casco

Razão de espessura sobre corda = razão entre boca e comprimento do navio.
Ângulo de enflechamento — em geral levemente negativo.
Forma da seção média — corresponde à forma do plano de flutuação a meio calado.

3.2 O ângulo de ataque hidrodinâmico β

O ângulo β (ângulo de deriva, ou ângulo de ataque hidrodinâmico) é o ângulo entre o eixo longitudinal do navio e o vetor velocidade resultante. β > 0 (mensurado de modo que coloque a proa "deslocada" de boreste em relação ao caminho) faz a asa-casco gerar sustentação lateral, força que tende a empurrar o navio para o lado e que, combinada à geometria do casco, gera o momento em yaw que produz a guinada. Sem β, não há sustentação lateral — só o arrasto longitudinal puro.

3.3 Distribuição da sustentação ao longo do comprimento

A força de sustentação não é uniforme. Em cada seção transversal x do casco, o ângulo de deriva local β(x) pode diferir do β global — por causa da componente da velocidade angular r que adiciona um ângulo de ataque local proporcional a r·d/u₀ (onde d é a distância da seção ao centro do navio). Cada seção tem então sua própria sustentação L(x) e seu próprio arrasto D(x). A força lateral total do casco é a integral dessas contribuições ao longo do comprimento. As componentes longitudinal $X_{D}$(x) / $X_{L}$(x) e lateral $Y_{D}$(x) / $Y_{L}$(x) — dadas pelas projeções de D e L em cada seção — são a base operacional da derivação das derivadas hidrodinâmicas em 3.4–3.6.

Conexão prática. A consequência operacional da "integração seção a seção" é que trim, calado variável ao longo do comprimento e apêndices localizados alteram a distribuição de L(x) e D(x) — e, portanto, as derivadas hidrodinâmicas do navio. Adicionar um skeg à popa ou aumentar o calado de ré desloca o centro de pressão para ré e aumenta a estabilidade direcional (a explicação física aparece em 3.5 e no Cap. 4).

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4. Força de arrasto e força de sustentação (3.2.1–3.2.2)

4.1 Os três componentes do arrasto

A força de arrasto se opõe ao movimento do navio e se decompõe em três elementos físicos distintos:

Componente	Origem física	Onde domina
Resistência friccional	Fluido viscoso interage com o casco na camada-limite (atrito superficial)	Sempre presente; domina em baixa velocidade e Froude baixo
Amortecimento potencial (arrasto de forma)	Pressão maior à frente do corpo, menor atrás (diferencial de pressão)	Corpo em fluido real; cresce com a velocidade
Descolamento de vórtices	Camada-limite descola em contornos íngremes; vorticidades geradas	Quinas, apêndices, popa de geometria abrupta

4.2 O modelo do corpo duplo (Froude, 1875) — baixa velocidade

Para avaliar o arrasto do casco em números de Froude abaixo de 0,25, a irradiação de ondas pelo casco pode ser desprezada e a superfície livre tratada como uma base plana sólida (groundboard) para o casco. O navio passa a ter razão de aspecto efetiva igual a 2·T/L (duas vezes o calado dividido pelo comprimento) — porque a "asa" se espelha na superfície livre. Esse é o modelo do corpo duplo, concebido por William Froude em 1875: ele propôs obter a resistência de ondas isolada subtraindo da resistência total a resistência medida se o navio se movesse sob uma lâmina de gelo rígido.

Fig. 18 Fig. 18 — Distribuição de velocidade e pressão em corpo 2D

Fig. 19 Fig. 19 — Casco espelhado (teoria do corpo duplo 2D)

Paradoxo de d'Alembert e sistema primário de pressões

Na teoria potencial, um corpo profundamente submerso teria resistência zero — o paradoxo de d'Alembert. O escoamento seria mais lento nas extremidades (estagnação) e mais rápido no meio. Em fluido real, a distribuição de pressões é alterada a ré por efeitos friccionais e descolamento da camada-limite — a Fig. 18 ilustra esse perfil. O sistema primário de pressões irradiado pelo corpo duplo gera um sistema primário de ondas de altura quadrática na velocidade; esse sistema relaciona-se ao arrasto de forma da asa-casco, não à resistência de ondas propriamente dita.

Modelo de baixa velocidade. O corpo duplo é também conhecido como "modelo de baixa velocidade": as forças das ondas irradiadas pelo casco na superfície livre seriam desprezíveis na geração das forças de arrasto da asa-casco. O livro Santos fixa o limite em Fr < 0,25 para a aplicabilidade do corpo duplo (3.2.1) e Fr < 0,1 para o regime de cross flow puro (3.8.3) — manobras de porto ficam folgadamente dentro do segundo regime.

4.3 Sustentação — teoria da circulação (plano horizontal!)

Atenção a um ponto que confunde quem vem da aeronáutica: a "sustentação" da asa-casco é no plano horizontal, não no vertical. Não é a força que impede o navio de afundar (essa é o empuxo, do volume submerso) — é a força lateral gerada pelo escoamento oblíquo (β ≠ 0) que faz o navio guinar.

A teoria empregada é a teoria da circulação. Em escoamento potencial, supõe-se que o escoamento tem circulação Γ em torno do casco; o casco é representado por uma condição de contorno dada pela imposição de vórtices livres. Essa circulação gera a sustentação L conforme a equação de Kutta-Joukowski:

L = ρ · Γ · v
onde ρ é a densidade do fluido, Γ a circulação imposta pelos vórtices livres, e v a velocidade do escoamento incidente.

Distribuição elíptica de Prandtl e lei de Biot-Savart

A Fig. 20 do livro ilustra a similaridade no desenvolvimento da força de sustentação em um avião e no casco de um navio, em função do ângulo de deriva β. Emprega-se a distribuição elíptica de sustentação de Prandtl — válida para uma asa sem perdas devido ao arrasto cruzado ou induzido (perfil 2D, condição satisfeita no navio pelo emprego da teoria do corpo duplo). A intensidade dos vórtices ortogonais que caracterizam o arrasto 2D é calculada pela lei de Biot-Savart (Fig. 21). Esta teoria, formalizada por Lanchester em 1908, permite que muitos movimentos em manobra do navio sejam explicados de forma racional.

Fig. 21 Fig. 21 — Vórtices ortogonais (distribuição elíptica)

A Fig. 22 do livro mostra como as linhas de vorticidade são definidas de forma análoga em uma asa de avião e em um casco de navio — este último tratado pela teoria do corpo duplo e desprezando, no estágio inicial, o escoamento cruzado e a separação. Essa equivalência geométrica foi consolidada por Lanchester (1908) e abre caminho para usar resultados experimentais com aerofólios no estudo da asa-casco — conexão que o livro desenvolve na seção 3.2.2 seguinte (NACA, "Fórmula de Jones").

4.4 Casco vs. leme: 100:1 em área — quem realmente gira o navio

Erro comum de intuição: achar que como o leme é uma "asa" de razão de aspecto muito maior que o casco (e portanto $C_{L}$ maior por unidade de área), o leme seja o protagonista da geração de força que faz o navio guinar. Errado. O leme tem apenas ~1% da área do casco. Mesmo com $C_{L}$ pequeno (razão de aspecto baixa), a área enorme do casco faz com que a força de sustentação lateral do casco seja muito maior do que a do leme. Por isso o livro afirma (3.2.2): "As forças de sustentação do casco criam forças e momentos muito maiores do que aqueles que podem gerar a força de controle de lemes." O leme é controle, não propulsão da guinada.

Referência NACA — fórmula de Jones (1952)

Para análise racional e sistemática das forças de arrasto e sustentação desenvolvidas pelo casco, seções de pá de propulsor, lemes, perfis de tubulões, utilizam-se universalmente os resultados de uma grande série de experimentos com aerofólios feita na década de 1930 pela NACA. No caso do navio, a referência inicial é "Características aerodinâmicas de três asas simétricas de baixa razão de aspecto com perfis retangulares" (George W. Jones Jr., 22/09/1952, Reynolds entre 0,4×10⁶ e 3,0×10⁶). As funções de dependência dos coeficientes da NACA adaptadas para a asa-casco passaram a ser conhecidas como "fórmula de Jones".

Pontos-chave — Arrasto e sustentação

Três componentes do arrasto: friccional (camada-limite), amortecimento potencial (pressão diferencial), descolamento de vórtices.
Corpo duplo (Froude, 1875) — superfície livre como plano rígido espelhado; razão de aspecto efetiva 2T/L; válido para Froude < 0,25.
Sustentação no plano horizontal — força lateral que faz o navio guinar, não vertical como em avião.
Kutta-Joukowski: L = ρ·Γ·v — circulação Γ gera sustentação L.
Casco × leme: ~100:1 em área — força de sustentação do casco é a que gera a guinada; o leme é controle (induz β inicial).
Fórmula de Jones (1952) — base experimental NACA para $C_{L}$ e $C_{D}$ da asa-casco; ponto de partida das derivadas práticas.
Paradoxo de d'Alembert — teoria potencial prevê arrasto zero em corpo submerso; o arrasto real vem de viscosidade e descolamento.

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5. O momento de Munk (3.2.3) — o desestabilizador permanente

Outro conceito físico central importado da teoria de asas é o momento de Munk, observado pela primeira vez em 1922 por Max Munk. Em um fluido ideal, um corpo tridimensional alongado que se move com um ângulo de ataque experimenta um momento puro que tende a aumentar esse ângulo de ataque — devido à mudança na direção do fluido. Esse momento é composto de forças iguais e opostas: não há força resultante sobre o corpo. Qualquer forma tridimensional que não seja uma esfera gera momento em um meio invíscido. O paradoxo de d'Alembert prevê somatório de forças igual a zero, mas não necessariamente momento zero — Munk identificou exatamente essa lacuna.

"Sempre desestabilizador" — frase do livro. O momento de Munk age no sentido de girar o corpo perpendicularmente ao escoamento incidente. Em um navio, no plano horizontal, isso significa um momento desestabilizador para a manutenção do ângulo de aproamento ψ. É a principal razão pela qual cascos sem leme ativo ou sem skeg adequado são naturalmente instáveis em rumo — basta uma pequena perturbação (uma onda, uma rajada de vento, um sweep do leme) para iniciar uma divergência que cresce sozinha até estabilizar num giro permanente.

Fig. 23 Fig. 23 — Geração do momento de Munk em escoamento ideal

Fig. 24 Fig. 24 — Dependência angular: momento de Munk vs. momento viscoso

Fig. 25 Fig. 25 — Distribuição de forças laterais e momento resultante

5.1 Fluido real — Lamb e Faltilsen

Em fluido real existe geração de vorticidades que altera a distribuição de forças laterais ao longo do casco. A dependência angular entre o momento de Munk e o momento gerado pela viscosidade decorre, como verificado inicialmente pelo professor Horace Lamb (1849–1934, Cambridge), das funções aproximadas posteriormente pelo professor Odd Faltilsen (MIT, anos 1980). A Fig. 24 do livro mostra essa dependência angular; a Fig. 25 mostra a distribuição de forças laterais ao longo do casco e o momento resultante.

5.2 Aplicação no centro do navio — soma com o momento da sustentação

A resultante do momento de Munk é aplicada no centro do navio. Ela se soma à resultante do momento dado pela força de sustentação (produto da força de sustentação L pela distância entre o centro de pressão e o centro do navio). Os dois juntos governam o momento de yaw efetivo que faz o navio entrar em guinada — voltaremos a esse equilíbrio em 3.3 (Section 8) quando descrevermos a sequência completa da guinada.

Conexão com a estabilidade direcional (Cap. 4). O Cap. 4 do Santos vai derivar matematicamente em que condições a presença de $N_{v}$ (uma derivada estabilizadora ligada à sustentação lateral) supera o momento de Munk (desestabilizador). Quando supera → casco estável em rumo. Quando não supera → casco instável, exige leme ativo permanente. A diferença prática entre um navio "bicho-mole" no leme e um "duro de governar" mora largamente nesse balanço.

Pontos-chave — Momento de Munk

Momento puro, sem força resultante — surge de forças iguais e opostas; o paradoxo de d'Alembert (força nula) é compatível com momento não nulo.
Sempre desestabilizador — no plano horizontal, age para aumentar β; razão física pela qual cascos sem leme/skeg são naturalmente instáveis em rumo.
Aplicado no centro do navio — soma-se ao momento da sustentação (aplicado no centro de pressão); os dois juntos governam o início da guinada.
Fluido real — Horace Lamb (1849–1934, Cambridge) identificou a dependência angular entre Munk e a vorticidade viscosa; Odd Faltilsen (MIT, anos 1980) aproximou as funções dessa dependência.
Max Munk (1922) — primeiro a observar e quantificar em corpos alongados em fluido ideal.
Forma esférica é a única exceção — qualquer corpo 3D não-esférico em meio invíscido gera momento.

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6. Arrasto induzido e o princípio do arrasto cruzado (3.2.4)

Esta section introduz o conceito que volta com toda força em 3.8 (cross flow) — porém aqui já em forma geral. Há um regime particular em que as fórmulas de sustentação da asa-casco (Section 4) deixam de ser dominantes e o arrasto assume o protagonismo.

6.1 Quando o arrasto cruzado domina

Quando o navio está parado ou se movendo em velocidade muito baixa, ou quando o ângulo de deriva β não é pequeno, o efeito predominante das forças hidrodinâmicas sobre o casco passa a ser o da força de arrasto. O princípio usado para descrever as forças de manobra nessas condições é o do arrasto cruzado (cross flow drag).

6.2 Definição — arrasto como função da velocidade lateral

O princípio de arrasto cruzado assume que o arrasto é somente uma função da velocidade lateral do fluido (Fig. 26), e que os coeficientes de arrasto transversal do escoamento que atuam sobre o casco podem ser usados para calcular as forças de sway e yaw. A força lateral em cada seção transversal vem dos efeitos de separação na distribuição de pressões ao longo da seção — dois vórtices gerados na separação da camada-limite (Fig. 27) com coeficiente de forma próximo a 1.

Fig. 27 Fig. 27 — Vórtices de separação em seção transversal

6.3 Condição de validade

Condição: O princípio do arrasto cruzado é aplicado à manobra do navio desde que a velocidade lateral não esteja muito próxima da velocidade longitudinal. Isso significa: ou (a) v > u (cross flow dominante — manobras em porto, atracação), ou (b) β grande (geralmente > 25°). Nessa condição, a velocidade longitudinal não tem influência nas forças laterais em cada seção transversal — a força lateral é puramente devida à separação de pressões na seção.

6.4 Arrasto induzido e a perda de sustentação

Em asas de razão de aspecto finita, parte da sustentação se "perde" como arrasto adicional gerado pelos vórtices de ponta — fenômeno conhecido em aeronáutica como arrasto induzido. No casco do navio, esse efeito é fisicamente o "arrasto cruzado" — daí a importância da seção 3.6 mais adiante, que decompõe as componentes de arrasto em uma asa de baixa razão de aspecto.

Pontos-chave — Arrasto induzido/cruzado

Arrasto cruzado — governa manobra quando velocidade longitudinal é muito baixa ou ângulo de deriva é grande; arrasto é função apenas da velocidade lateral.
Distinção dos regimes: velocidade normal e β pequeno → sustentação domina (asa-casco, Section 4). Velocidade muito baixa ou β grande → arrasto cruzado domina (Section 6 + Section 15/cross flow).
Vórtices de separação — em cada seção transversal, dois vórtices gerados na separação da camada-limite são os responsáveis físicos pela força lateral no regime de arrasto cruzado.
Arrasto induzido — em asas de razão de aspecto finita, parte da sustentação vira arrasto pelos vórtices de ponta; no casco, esse efeito é o arrasto cruzado.

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7. O leme como flape da asa-casco (3.2.5)

O leme do navio é também uma asa — um dispositivo ou superfície de controle, como um flape. Modifica a curvatura efetiva da asa-casco, gera sustentação adicional e controla o momento de yaw. Mas — alerta importante — não é o leme que gira o navio; ele impõe o β inicial que faz a hidrodinâmica do casco fazer o navio guinar (voltamos a isso na Section 8).

7.1 As três componentes da força do leme

A força normal que define a força lateral de controle do leme ($Y_{\delta }$) pode ser obtida pela decomposição em três componentes (Fig. 28):

L — componente de sustentação, normal à direção do movimento.
D — componente de arrasto, paralela à direção do movimento.
Y_δ — componente de força normal na direção y, perpendicular ao eixo x do navio.

Fig. 29 Fig. 29 — Convenção de sinais para Y_δ, X_δ, N_δδ

Fig. 30 Fig. 30 — Ângulo de ataque do leme α e influência de endireitamento E

7.2 Força de controle $Y_{\delta}$ e momento de controle $N_{\delta\delta}$

Desprezando a interação entre o campo de pressão ao redor do leme e o campo de pressão adjacente ao navio e aos seus apêndices, a componente y é a força de controle $Y_{\delta}$, e o momento dessa componente sobre o eixo x do navio é o momento de controle $N_{\delta\delta}$.

Convenção de sinais (Fig. 29)

Os sinais de L, D e β' (ângulo de deriva do casco no bordo de ataque do leme) devem ser sempre positivos.
$x_{R}$ (posição longitudinal do leme em relação à origem) é negativo se o leme estiver a ré da origem e positivo se avante.
Se δ é negativo (leme a bombordo) → $Y_{\delta}$ é negativo.
Se δ é positivo (leme a boreste) → $Y_{\delta}$ é positivo.

$X_{\delta}$ é SEMPRE negativo. Na expressão de $X_{\delta}$, o termo D·Cos β' é sempre maior que L·Sin β'; portanto a componente longitudinal da força do leme é sempre resistência ao avanço, independentemente do sentido do ângulo de leme. Em termos práticos: dar leme custa velocidade — fato operacional que se traduz na perda de velocidade durante a curva de giro (Cap. 6).

7.3 Limitações da teoria

A teoria apresentada não leva em consideração a direção da força causada pela separação da camada-limite quando um leme estola, que não pode ser precisamente prevista. Quando o leme está localizado bem perto da popa, os valores para estolamento, cavitação e aeração são desconhecidos sem instrumentação especial — o casco e os apêndices a frente do leme influenciam a direção e a velocidade do escoamento.

7.4 Influência de endireitamento E

Existe uma influência de endireitamento, E, que tende a aumentar o ângulo de ataque do leme. O ângulo de ataque do leme α é dado por expressão que inclui E (Fig. 30). A conclusão fundamental, transcrita do livro: "o ângulo de ataque do leme diminui assim que o navio começa a guinar, demonstrando mais uma vez que a força do leme é uma força de controle e não a força que gera a força para fazer o navio guinar."

7.5 Campo de velocidades no leme — esteira e propulsor

A velocidade do escoamento no leme é diferente da velocidade do navio porque a presença do navio reduz a velocidade do escoamento. A velocidade do leme será maior que a do navio quando o leme está na descarga do propulsor. O leme, por estar na região de esteira, recebe ao longo de sua altura um campo de velocidades diferente, tanto em magnitude quanto em direção — semelhante ao campo de velocidades do propulsor. Normalmente existe forte interação entre o leme e o casco; a força do leme é maior do que o valor dado pelas equações sem interação, levando o centro de pressões mais para vante, podendo inclusive não ficar sobre o leme.

Consequência operacional. Em manobra de baixa velocidade com toque de máquina à vante, o jato do propulsor passa pelo leme e o "ativa" mesmo quando a velocidade do navio é praticamente nula. Por isso o kick-ahead (tiro curto de máquina) é técnica padrão para reposicionar a proa: a água acelerada pelo propulsor energiza o leme sem dar deslocamento significativo ao navio.

Pontos-chave — Leme

Leme = flape da asa-casco — modifica a curvatura efetiva, gera sustentação adicional, controla o momento de yaw.
$X_{\delta}$ sempre negativo — componente longitudinal é sempre resistência; dar leme custa velocidade.
Força de controle, não motriz — o ângulo de ataque do leme diminui conforme o navio guina; quem faz o navio guinar é a hidrodinâmica do casco (asa-casco), não o leme.
Influência de endireitamento E — tende a aumentar o ângulo de ataque do leme; sem E, o leme perderia efetividade mais rapidamente durante a guinada.
Esteira + propulsor — velocidade não uniforme ao longo da altura do leme; velocidade maior na descarga do propulsor (base do kick-ahead); interação leme-casco desloca o centro de pressão para vante.

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8. Forças durante a guinada e o efeito do leme (3.3)

Equívoco frequente: "É um erro comum pensar que o momento gerado pela força do leme guina um navio." (Santos, 3.3, literal). O leme é análogo ao flape em uma asa de aeronave: faz o casco se orientar em um ângulo de ataque em relação ao seu movimento avante, exatamente como em um avião. É a hidrodinâmica do escoamento que passa pelo casco que faz o navio guinar — o efeito do leme na guinada é indireto.

8.1 Sequência causal da guinada — em 8 passos

A descrição completa de uma guinada típica, conforme Santos 3.3, encadeia:

O leme impõe um pequeno β inicial no casco (sustentação do leme = força de controle).
Com β > 0, surge o momento de Munk — desestabilizador — que tende a aumentar β.
β cresce. A razão de aspecto baixa do casco faz com que o momento de sustentação ainda seja pequeno nesse instante (centro de pressão próximo do centro do navio).
Conforme β aumenta, o momento dado pela força de sustentação começa a atuar — agora amplificando a guinada.
A razão de guinada r aumenta — proa e popa entram em regimes de ângulo de ataque opostos (Fig. 35 — Section 11).
A ação do leme diminui porque o ângulo de ataque do leme reduz à medida que o ângulo de deriva do casco aumenta (Section 7.4).
Em sentido contrário à guinada surgem dois momentos de resistência: o de inércia adicional (resistência à aceleração angular) e o devido à viscosidade (camada-limite + separação de vorticidades + forma 3D do casco).
Quando Munk + sustentação + leme se equilibram com a inércia adicional + os amortecimentos viscosos, a trajetória do navio é um círculo de giro constante — movimento circular uniforme.

Fig. 31 Fig. 31 — Sequência esquemática dos momentos durante a guinada

8.2 Os três tipos de arrasto que estabilizam o giro

A Fig. 32 representa as vorticidades geradas em um navio guinando para boreste — esses momentos, em conjunto com o momento de inércia adicional, opõem-se à guinada. Os momentos de arrasto em sequência na figura são, segundo o livro:

Tipo de arrasto	Origem física	Papel na estabilização do giro
Arrasto pela teoria da circulação	Vórtices livres impostos pelo escoamento potencial em torno do casco (Kutta-Joukowski + Prandtl)	Componente principal do amortecimento de yaw em regime de manobra de mar aberto
Arrasto cruzado nas pontas	Vórtices nas extremidades (proa e popa) — equivalente aos vórtices de ponta de asa aeronáutica	Amortecimento adicional, relevante em β grande
Arrasto cruzado nas seções transversais	Separação de pressões em cada seção transversal do casco (vórtices da camada-limite)	Componente que cresce com a velocidade lateral em cada seção; base do modelo de cross flow (Section 15)

8.3 Por que o leme perde efetividade durante a guinada

O ponto não-óbvio é a perda de efetividade do leme conforme o navio entra em giro: o ângulo de ataque do leme diminui à medida que o ângulo de deriva do casco aumenta. Por isso o sistema converge para um giro permanente: chega um momento em que o leme não consegue mais aumentar o ritmo, e o equilíbrio dinâmico se estabelece. Esse equilíbrio é o que dá o raio de giro permanente (estudado em detalhe no Cap. 6 do livro).

Anti-intuitivo, mas correto. Se você dá leme a 35° e mantém, o navio não acelera angularmente para sempre. Ele atinge uma razão de guinada constante r — porque os amortecimentos viscoso e de inércia adicional crescem com r até balancearem os momentos pró-giro (Munk + sustentação + leme). Esse é exatamente o regime onde se mede o "diâmetro tático" e o "advance" do navio.

Pontos-chave — Forças na guinada

Papel indireto do leme — impõe β inicial; quem guina o navio é a hidrodinâmica do casco, não o momento direto do leme.
Sequência causal — leme → β pequeno → Munk cresce → β aumenta → sustentação do casco cresce → r aumenta → leme perde efetividade → amortecimento + inércia adicional crescem → equilíbrio = giro constante.
Momento de inércia adicional — resiste à aceleração angular do casco; junto com o amortecimento viscoso, opõe-se à guinada desde o início.
Giro constante — equilíbrio entre momentos pró-giro (Munk + sustentação + leme) e momentos resistivos (viscosos + inércia adicional).
Três tipos de arrasto em guinada (Fig. 32) — circulação (Kutta-Joukowski), arrasto cruzado nas pontas, arrasto cruzado nas seções transversais.

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9. As derivadas hidrodinâmicas — expansão em série de Taylor (3.4)

9.1 Por que linearizar — o problema das forças multivariáveis

Em águas profundas e calmas, a equação de movimento do navio nos três graus de liberdade do plano horizontal (surge, sway, yaw) tem no lado esquerdo quatro tipos de forças:

Forças hidrodinâmicas sobre o casco e apêndices — função da velocidade, aceleração, deflexão do leme e rotação do propulsor.
Forças de reação inercial causadas pela aceleração do navio (já cobertas no Cap. 2).
Forças ambientais — vento, correntes, ondas (Cap. 8 do livro).
Forças externas — rebocadores, impelidores.

Em navios de alta velocidade, o ângulo de adernamento lateral pode exigir um quarto grau de liberdade para representação correta. Na ausência de excitação externa, as únicas forças existentes são as hidrodinâmicas. Elas dependem da orientação e do movimento do navio em relação ao fluido — podem ser definidas por funções cujos parâmetros envolvem velocidades e acelerações nos eixos principais:

$X_{hid}$ = f(u, v, r, $\dot{u}$, $\dot{v}$, $\dot{r}$)
$Y_{hid}$ = f(u, v, r, $\dot{u}$, $\dot{v}$, $\dot{r}$)
$N_{hid}$ = f(u, v, r, $\dot{u}$, $\dot{v}$, $\dot{r}$)

9.2 As duas categorias de força hidrodinâmica

Categoria	Origem	Termos representativos
Forças de amortecimento	Nascem da velocidade do casco sobre a água	$X_{u}$, $Y_{v}$, $Y_{r}$, $N_{v}$, $N_{r}$
Forças de massa adicional	Nascem da aceleração do casco sobre a água	$X_{\dot{u}}$, $Y_{\dot{v}}$, $Y_{\dot{r}}$, $N_{\dot{v}}$, $N_{\dot{r}}$

9.3 A expansão em série de Taylor — a ferramenta

O uso da expansão em série de Taylor é atrativo porque essas funções são contínuas no tempo e seus valores em condição de equilíbrio (navio em rumo) são conhecidos. A série de Taylor expressa a função analítica f(x) na vizinhança de um ponto x = x₀ como a soma de termos envolvendo as derivadas de f naquele ponto. A condição é que a função e suas derivadas precisam ser contínuas e não tender ao infinito na região de operação — atendida para navios.

Notação padrão SNAME (1952)

A notação das derivadas hidrodinâmicas foi padronizada pela SNAME em 1952 e é a usada até hoje:

Notação	Significado
$\mathbf{X_{u}}$	Derivada da força X em relação à velocidade u (resistência longitudinal)
$\mathbf{X_{\dot{u}}}$ ("xis-u-ponto")	Derivada de X em relação à aceleração $\dot{u}$ (massa adicional longitudinal — sempre negativa)
$\mathbf{Y_{v}}$	Derivada de Y em relação à velocidade lateral v (sustentação lateral)
$\mathbf{Y_{\dot{r}}}$ ("ípsilon-erre-ponto")	Derivada de Y em relação à aceleração angular $\dot{r}$ (inércia adicional acoplada)
$\mathbf{N_{r}}$	Derivada de N em relação à razão de guinada r (amortecimento de guinada)
$\mathbf{N_{\dot{r}}}$	Derivada de N em relação à aceleração angular $\dot{r}$ (momento de inércia adicional)

Truncamento na terceira ordem

A expansão é truncada na terceira ordem para cascos com números de Froude abaixo de 0,3 — faixa que cobre a grande maioria das manobras de porto e mar aberto até velocidade de serviço. Termos de quarta ordem ou superiores ficam desprezíveis para essa faixa operacional.

Por que isso é poderoso. A série de Taylor transforma uma função complexa de 6 variáveis (u, v, r, $\dot{u}$, $\dot{v}$, $\dot{r}$) na soma de termos com coeficientes mensuráveis independentemente em tanque de prova, em CFD ou em prova de mar. Cada derivada tem significado físico claro (Section 12), pode ser obtida por ensaio, e alimenta diretamente o simulador da curva de giro, do zigue-zague, e do critério de estabilidade direcional.

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10. Derivadas da força longitudinal $X_{hid}$ (3.4.1)

A expansão em série de Taylor de $X_{hid}$ em terceira ordem gera inicialmente um grande número de termos. Três hipóteses simplificadoras reduzem drasticamente esse conjunto.

10.1 As três hipóteses

Hipótese	Conteúdo	Consequência
1. Segunda lei de Newton	Dependência da força é linear à aceleração	Termos de aceleração de 2ª e 3ª ordem são nulos
2. Sem acoplamento velocidade-aceleração	Termos que combinam uma aceleração com um termo de velocidade são nulos	Elimina todos os termos cruzados aceleração-velocidade
3. Simetria boreste-bombordo	O casco é simétrico em relação ao plano xz; a maioria dos navios navega em rumo com ângulo de ataque zero	Anula todos os termos ímpares em v e r

10.2 A consequência da simetria — "imagem espelhada"

Pela analogia da imagem espelhada (Fig. 33 do livro): o navio espelhado experimenta igual magnitude de força longitudinal, mas as componentes laterais invertem o sinal. Essa simetria leva a duas consequências:

Fig. 34 Fig. 34 — Curva X vs. v (três formas possíveis)

Fig. 35 Fig. 35 — Ângulo de ataque por seção longitudinal em guinada

Fig. 36 Fig. 36 — Três formas da função X vs. r

$X_{hid}$ é função PAR em v (quando v = 0): $X_{v}$, $X_{\dot{v}}$, $X_{uv}$, $X_{vu}$, $X_{\dot{uv}}$ e todos os termos acoplados pela simetria são nulos. Alterações lineares na velocidade ou aceleração laterais não produzem forças longitudinais em um navio simétrico em xz.
$X_{hid}$ é função PAR em r (quando r = 0): $X_{r}$, $X_{\dot{r}}$, $X_{ur}$, $X_{ru}$, $X_{uvr}$ e termos acoplados são nulos. Alterações lineares da razão de guinada ou aceleração de guinada não produzem forças longitudinais em navio simétrico.

A relação X(β) = X(−β) confirma que a força longitudinal é função par de v em sway. A dependência com v² é descrita como v·|v| para manter o comportamento de função ímpar em potência quadrática. A Fig. 34 mostra as três formas possíveis da curva X versus v. Para uma velocidade angular r com navio em u₀, cada seção longitudinal da asa-casco ganha um ângulo de ataque proporcional a r·d/u₀ (Fig. 35), e X versus r pode ter três formas dependendo da geometria (Fig. 36).

10.3 Termos finais de $X_{hid}$ (após aplicar as 3 hipóteses)

Derivada	Significado físico	Sinal típico
$\mathbf{X_{\dot{u}}}$	Massa adicional longitudinal — força que se opõe à aceleração em surge	Negativo (soma à massa real do navio em valor absoluto)
$X_{u}$, $X_{uu}$	Resistência do casco em velocidade constante (termos de resistência em linha reta)	$X_{u}$ < 0 (resistência se opõe ao movimento)
$\mathbf{X_{vv}}$	Variação de X com o quadrado da velocidade lateral — arrasto adicional gerado por β	Negativo (penaliza o avanço)
$\mathbf{X_{rr}}$	Variação de X com o quadrado da razão de guinada — arrasto adicional gerado pela guinada	Negativo (penaliza o avanço durante curva)
$\mathbf{X_{vr}}$	Termo cruzado entre velocidade lateral e razão de guinada	Varia conforme geometria

Tradução operacional. $X_{\dot{u}}$ é a "massa de água arrastada" pelo casco — amplifica a inércia efetiva do navio em surge; não é resistência viscosa. $X_{u}$ e $X_{uu}$ descrevem a curva clássica R×V do navio em linha reta. $X_{vv}$ e $X_{rr}$ aparecem somente quando o navio sai da linha reta — traduzem o custo energético da manobra na direção longitudinal (perda de velocidade durante a curva, parte do "dragout").

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11. Derivadas da força lateral $Y_{hid}$ e do momento $N_{hid}$ (3.4.2–3.4.3)

11.1 $Y_{hid}$ — função ímpar de v e r

A expansão em terceira ordem para $Y_{hid}$ aplica as mesmas hipóteses 1 e 2 (linearidade em aceleração; sem acoplamento velocidade-aceleração). O resultado essencial difere de $X_{hid}$: $Y_{hid}$ é uma função ÍMPAR de v e r — apenas os coeficientes de termos com potências ímpares dessas variáveis são diferentes de zero.

Uma asa com velocidade avante +u e velocidade lateral +v (para boreste) experimenta uma força Y oposta à da imagem com velocidade −v (para bombordo): Y(v) = −Y(−v), confirmando a natureza ímpar (Figs. 37–38). As derivadas $Y_{uu}$, $Y_{\dot{uu}}$, $Y_{uuu^3}$ e $Y_{\dot{uu^2}}$ são zeradas pela simetria no plano xz (Fig. 39).

Fig. 37 Fig. 37 — Força Y oposta para +v vs. −v

Fig. 39 Fig. 39 — Derivadas zeradas pela simetria xz

A Fig. 40 do livro (final da seção 3.5.2, transição para 3.5.3) decompõe espacialmente $Y_{hid}$ ao longo do casco: mostra as contribuições $(Y_v \cdot v)_{\text{Popa}}$ e $(Y_v \cdot v)_{\text{Proa}}$ atuando a ré e a vante do centro do navio. Como $Y_v$ é sempre negativa, ambos os vetores apontam em sentido oposto à velocidade lateral v (se v for para boreste, as forças apontam para bombordo). É a presença desses vetores em posições x diferentes — com braço de alavanca positivo a vante (proa) e negativo a ré (popa) — que, ao serem integrados como $N = \int Y \cdot x \, dx$, geram o momento de guinada $N_v \cdot v$ em torno do eixo z. Esse mecanismo fundamenta fisicamente o significado da derivada cruzada $N_v$.

Termos cruzados não-zerados. As derivadas com termos cruzados entre sway e yaw ($Y_{vr}$, $Y_{v|r|}$, $Y_{r|v|}$) NÃO são zeradas — porque a maioria dos navios não é simétrica no plano yz (proa e popa têm formas diferentes). Esse é um detalhe técnico importante: o "amortecimento cruzado" sway-yaw existe e contribui para a dinâmica em manobras complexas.

Termos finais de $Y_{hid}$

Derivada	Significado físico	Sinal típico
$\mathbf{Y_{\dot{v}}}$	Massa adicional lateral — resistência à aceleração em sway	Negativo (amplifica a inércia efetiva)
$\mathbf{Y_{\dot{r}}}$	Inércia adicional acoplada — aceleração angular de yaw gera força lateral	Varia
$\mathbf{Y_{v}}$	Derivada principal de sustentação lateral — cresce com β	Sempre negativa (velocidade lateral + → força lateral −)
$\mathbf{Y_{r}}$	Força lateral gerada pela razão de guinada	Varia conforme geometria
$Y_{vvv}$, $Y_{rrr}$	Não-linearidades cúbicas	Relevantes para grandes β/r
$Y_{vvr}$, $Y_{vrr}$	Termos cruzados de 3ª ordem	Relevantes em manobras de porto

11.2 $N_{hid}$ — função ímpar de v

A expansão em terceira ordem para $N_{hid}$ aplica as mesmas hipóteses 1 e 2. $N_{hid}$ também é função ímpar de v — N(v) = −N(−v) pela simetria BB-BE.

A análise do efeito de uma razão de guinada r sobre $N_{hid}$ emprega os pontos B (proa) e S (popa) da Fig. 35: com o navio avançando a u₀ e r positivo (guinando para boreste), o ponto B (proa) ganha ângulo de ataque por boreste (~ r·$d_{B}$/u₀), gerando força Y negativa e momento N negativo na proa; o ponto S (popa) ganha ângulo de ataque por bombordo, gerando Y positiva e momento N também negativo. Proa e popa, portanto, contribuem para um momento N total negativo quando r é positivo — resultado central para a compreensão da estabilidade direcional (Cap. 4).

Por que isso importa. O resultado N negativo para r positivo é a base física do amortecimento de guinada — $N_{r}$ < 0. Sem ele, o navio uma vez girando aceleraria indefinidamente. Com ele, atinge razão de guinada constante quando r·$N_{r}$ = momentos pró-giro (Munk + sustentação + leme).

Termos finais de $N_{hid}$

Derivada	Significado físico	Sinal típico / função
$\mathbf{N_{\dot{v}}}$	Momento de inércia adicional acoplado — aceleração lateral gera momento em yaw	Acoplamento (par com $Y_{\dot{r}}$)
$\mathbf{N_{\dot{r}}}$	Momento de inércia adicional principal — resistência à aceleração angular em yaw	Negativo (amplia $I_{z}$ do navio)
$\mathbf{N_{v}}$	Momento de yaw gerado pela velocidade lateral — derivada de estabilidade direcional	Crítica para Cap. 4 (estabilidade)
$\mathbf{N_{r}}$	Amortecimento de guinada	Sempre negativo (opõe-se à rotação)
$N_{vvv}$, $N_{rrr}$	Não-linearidades cúbicas	Manobras de grande amplitude
$N_{vvr}$, $N_{vrr}$	Termos cruzados de 3ª ordem	Manobras de porto

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12. O significado físico das derivadas (3.5)

As derivadas, depois de obtidas pela expansão de Taylor, podem ser lidas fisicamente. Cada uma corresponde a um fenômeno hidrodinâmico identificável.

12.1 Significado de $X_{\dot{u}}$ — massa adicional longitudinal

"A força necessária para acelerar um corpo em um meio fluido (mesmo quando considerado ideal) é sempre maior do que a massa do corpo vezes aceleração." O livro chama essa força extra de força de massa adicional — ela nasce da aceleração do corpo no fluido, não de arrasto viscoso. Quando somada à massa do navio, forma o coeficiente de massa virtual para movimento acelerado na direção longitudinal. Sempre se opõe ao movimento.

12.2 Significado de $X_{u}$ e $X_{uu}$ — resistência do casco em linha reta

São os termos tradicionais de resistência do casco movendo-se em linha reta. Com ângulo de deriva β = 0 e velocidade constante, $X_{hid}$ corresponde à força de resistência convencional, determinável pela curva do coeficiente de resistência total — que em baixos números de Froude tem relação linear com o número de Reynolds.

12.3 Significado de $X_{vv}$, $X_{rr}$, $X_{vr}$ — arrasto de asa

Correspondem ao arrasto de uma asa de baixa razão de aspecto movendo-se com ângulo de ataque β em meio fluido. São os termos que "penalizam" a força longitudinal quando o navio opera com deriva lateral ou razão de guinada. Tradução prática: quanto mais o navio fica de lado, mais arrasto longitudinal sofre — o que se traduz em perda de velocidade durante a curva.

12.4 Significado de $Y_{\dot{v}}$ e $Y_{\dot{r}}$ — massa e inércia adicional laterais

$\mathbf{Y_{\dot{v}}}$: resistência à aceleração em sway. Quando somado à massa do navio, forma o coeficiente de massa virtual para movimento acelerado (ou desacelerado) na direção lateral do casco. $\mathbf{Y_{\dot{r}}}$: termo acoplado de inércia adicional — a aceleração angular de yaw gera uma força lateral; e vice-versa ($Y_{\dot{r}}$ e $N_{\dot{v}}$ são o par de acoplamento inércia-força entre sway e yaw).

12.5 Significado de $Y_{v}$ — sustentação lateral

Sempre negativa. Descreve a influência da velocidade lateral na força de sustentação do casco. Essa força aumenta com o aumento do ângulo de ataque ou ângulo de deriva β. É o principal mecanismo que gera força lateral em manobra.

12.6 Significado de $Y_{r}$

Força lateral gerada pela razão de guinada r — analogamente ao mecanismo descrito para $X_{hid}$ com proa e popa em ângulos de ataque opostos.

12.7 Significado de $N_{\dot{r}}$ — momento de inércia adicional

Quando somado ao momento de inércia do navio $I_{z}$, forma o coeficiente de momento de inércia virtual para movimento acelerado (ou desacelerado) de rotação em torno do eixo z. É à inércia angular o que $Y_{\dot{v}}$ é à inércia linear lateral.

12.8 Significado de $N_{\dot{v}}$ — inércia adicional acoplada

Coeficiente acoplado: a aceleração lateral gera momento em yaw. Forma o par de acoplamento com $Y_{\dot{r}}$.

12.9 Significado de $N_{v}$ e $N_{r}$

Correspondem ao momento de yaw de uma asa de baixa razão de aspecto movendo-se com ângulo de ataque β. $N_{r}$ é o amortecimento de guinada (sempre negativo — se opõe à rotação). $\mathbf{N_{v}}$ é a derivada que determina, junto com $Y_{v}$, o critério de estabilidade direcional do Cap. 4.

Tabela síntese — significado físico

Derivada	Tipo	Significado físico	O que altera no navio real
$\mathbf{X_{\dot{u}}}$	Massa adicional	Inércia da água arrastada longitudinalmente	Aumenta com volume submerso; afeta resposta a mudança de velocidade
$X_{u}$, $X_{uu}$	Amortecimento	Resistência convencional do casco	Curva R×V (limpeza do casco, calado, trim)
$X_{vv}$, $X_{rr}$	Amortecimento	Custo longitudinal da manobra	Forma do casco em planta; lemes em ângulo
$\mathbf{Y_{\dot{v}}}$	Massa adicional	Inércia da água arrastada lateralmente	Maior em cascos cheios (graneleiros, tanques)
$Y_{\dot{r}}$, $N_{\dot{v}}$	Acoplamento	Inércia adicional cruzada sway-yaw	Assimetria proa-popa, posição do CG
$\mathbf{Y_{v}}$	Amortecimento	Sustentação lateral do casco	Calado (T), área do plano lateral; skeg aumenta \|$Y_{v}$\|
$\mathbf{Y_{r}}$	Amortecimento	Força lateral gerada pela guinada	Distribuição longitudinal da área lateral
$\mathbf{N_{\dot{r}}}$	Massa adicional	Momento de inércia adicional em yaw	Aumenta com comprimento ao quadrado
$\mathbf{N_{v}}$	Amortecimento	Momento de yaw por v — derivada de estabilidade	Posição relativa proa-popa do centro de pressão
$\mathbf{N_{r}}$	Amortecimento	Amortecimento de guinada	Calado e área lateral (skeg aumenta \|$N_{r}$\|)

Lição operacional. Skegs, calado de ré aumentado, trim por popa e limpeza do casco aumentam |$Y_{v}$| e |$N_{r}$|, melhorando a estabilidade direcional e o amortecimento de guinada. Um casco sujo (incrustação) pode mudar significativamente as derivadas — fenômeno conhecido empiricamente pelos práticos.

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13. Componentes em asa de baixa razão de aspecto (3.6)

Esta section estabelece a conexão entre os termos da expansão em série de Taylor (Section 11) e as componentes físicas de arrasto e sustentação da asa-casco (Sections 4 e 6). Em outras palavras: mostra de onde vêm as derivadas, integrando ao longo do comprimento do casco.

13.1 Força de arrasto em cada seção

D = (1/2) · ρ · V² · S · $C_{D}$
onde D é a força de arrasto, ρ é a densidade da água, V é a velocidade incidente, S é a área característica, $C_{D}$ é o coeficiente de arrasto ao longo do comprimento do navio.

O ângulo de deriva β (Fig. 41) é definido como a relação entre a velocidade lateral e a velocidade incidente total — uma medida do ângulo de ataque hidrodinâmico da asa-casco.

Fig. 42 Fig. 42 — Parâmetros do escoamento cruzado

Três componentes do $C_{D}$ em cada seção x

Componente	Dependência	Origem física
c₀₀	Sem dependência de β	Arrasto em linha reta (β = 0)
$C_{Dpp}$ · sin²(β(x))	Quadrática em β	Arrasto induzido pelas distribuições elípticas de sustentação (Prandtl)
$c_{Dy}$(x)	Linear em Reynolds, linear em V	Correção do arrasto induzido parasita para asa 3D

Quando o navio se move com velocidade V e ângulo de ataque β, uma velocidade angular r gera, em cada seção longitudinal, um ângulo de ataque adicional da ordem de r·x/V. Essa é a contribuição da guinada para o ângulo de ataque local — base da derivação das derivadas em r ($X_{rr}$, $Y_{r}$, $N_{r}$).

13.2 Decomposição operacional (3.6.1)

3.6.1.1 — Componentes longitudinais de arrasto: a componente longitudinal da força de arrasto em cada seção é integrada ao longo do comprimento. Sob a hipótese u ≫ (v + x·r), os termos se simplificam — chegando às expressões para $X_{u}$, $X_{uu}$, $X_{vv}$, $X_{rr}$.
3.6.1.2 — Componentes laterais de arrasto: a componente lateral integrada ao longo do comprimento produz os termos de $\mathbf{Y_{D}}$ e suas derivadas — relacionados a $Y_{v|v|}$, $Y_{r|r|}$ e termos cruzados.
3.6.1.3 — Momento em yaw pelo arrasto lateral: o momento em yaw $N_{D}$ é dado pela soma dos momentos das forças laterais de arrasto ao longo da asa. As derivadas hidrodinâmicas de $N_{D}$ são escritas em termos de $\mathbf{x_{cp}}$ (distância do ponto de aplicação ao centro de pressões da asa).

13.3 Força de sustentação em cada seção (3.6.2)

L = (1/2) · ρ · V² · S · $C_{L}$
com $C_{L}$(x) = $c_{Ly}$(x) · sin(β(x)) — linear em sin(β).

Em cada seção a força de sustentação é proporcional a sin(β) — comportamento linear para pequenos ângulos (regime de operação normal). Decomposições análogas às do arrasto:

3.6.2.1 — Componente longitudinal da sustentação: integrada ao longo do comprimento, produz os termos $X_{L}$ que se somam aos $X_{D}$ — relacionados a $X_{vv}$ e $X_{rr}$.
3.6.2.2 — Componente lateral da sustentação: integrada → $Y_{L}$ com derivadas principalmente $Y_{v}$ e $Y_{r}$ — sendo $Y_{v}$ o coeficiente de sustentação lateral dominante, sempre negativo.
3.6.2.3 — Momento em yaw pela sustentação lateral: $N_{L}$ é dado pela ação das forças laterais de sustentação ao longo da asa. As derivadas de $N_{L}$ são expressas em termos de $N_{v}$ e $N_{r}$.

Princípio integrador. Cada derivada do casco é, no fim das contas, uma integral ao longo do comprimento de uma contribuição local de cada seção transversal — arrasto + sustentação, com fatores geométricos e angulares. Mudar a forma do casco em planta, deslocar o centro de pressão, adicionar skeg, alterar trim — tudo isso altera as integrais e, portanto, as derivadas.

Pontos-chave — Componentes em baixa razão de aspecto

Três componentes do $C_{D}$: arrasto em linha reta + induzido (quadrático em β) + correção viscosa linear em V.
Hipótese u ≫ (v + x·r) simplifica as integrações — válida para manobras com velocidade avante moderada.
$C_{L}$ linear em sin(β) — sustentação cresce linearmente com β para pequenos ângulos.
Integração ao longo do comprimento conecta a física de cada seção transversal às derivadas globais do navio.
$x_{cp}$ (centro de pressões) é essencial para determinar o momento em yaw — sua posição em relação ao centro do navio define estabilizador vs. desestabilizador.
$Y_{v}$ dominante e sempre negativa — principal mecanismo de geração de força lateral em manobra.

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14. Forças hidrodinâmicas resultantes totais (3.7)

Coletando todos os termos das sections anteriores e relacionando-os às derivadas hidrodinâmicas, chegam-se às três expressões resultantes que sintetizam o capítulo até este ponto. Cada expressão é a soma das contribuições de arrasto + sustentação + massa adicional + termos não-lineares e cruzados.

14.1 Força longitudinal total $X_{hid}$

$X_{hid}$ = $X_{\dot{u}}$·$\dot{u}$ + $X_{u}$·u + $X_{uu}$·u² + $X_{vv}$·v² + $X_{rr}$·r² (+ termos cruzados)
Definindo $X_{LD}$ = $X_{L}$ + $X_{D}$ (agrupamento das contribuições de sustentação e arrasto longitudinais).

14.2 Força lateral total $Y_{hid}$

$Y_{hid}$ = $Y_{\dot{v}}$·$\dot{v}$ + $Y_{\dot{r}}$·$\dot{r}$ + $Y_{v}$·v + $Y_{r}$·r + $Y_{LD}$·(termos não-lineares)
Definindo $Y_{LD}$ = $Y_{L}$ + $Y_{D}$ (força lateral resultante de sustentação + arrasto).

14.3 Momento em yaw total $N_{hid}$

$N_{hid}$ = $N_{\dot{v}}$·$\dot{v}$ + $N_{\dot{r}}$·$\dot{r}$ + $N_{v}$·v + $N_{r}$·r + $N_{LD}$·(termos não-lineares)
Definindo $N_{LD}$ = $N_{L}$ + $N_{D}$ (momento resultante por sustentação + arrasto).

14.4 Síntese do que acabamos de construir

Esta é a síntese que conecta a teoria de asas (Sections 4–7) com a forma prática das derivadas hidrodinâmicas (Sections 10–11). O livro apresenta explicitamente as equações finais de $X_{hid}$, $Y_{hid}$ e $N_{hid}$ como resultantes totais — preparando o terreno para as duas situações especiais que seguem: escoamento cruzado (Section 15) e equação de movimento completa (Section 16).

O que cada equação carrega. A força longitudinal X tem termos de resistência ($X_{u}$, $X_{uu}$) e penalidade por manobra ($X_{vv}$, $X_{rr}$). A força lateral Y combina inércia adicional ($Y_{\dot{v}}$, $Y_{\dot{r}}$), amortecimento ($Y_{v}$, $Y_{r}$) e não-linearidades. O momento N combina inércia adicional ($N_{\dot{v}}$, $N_{\dot{r}}$) e amortecimento ($N_{v}$, $N_{r}$). A decomposição $Y_{LD}$ = $Y_{L}$ + $Y_{D}$ mantém rastreável a origem física de cada componente — útil quando se quer modificar o casco e prever o impacto na manobra.

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15. ★ Escoamento cruzado (cross flow) — manobra em velocidades muito baixas (3.8)

DESTAQUE DO EDITAL. Esta section corresponde ao subitem 3.8 do Cap. 3 do Santos, explicitamente destacado no Anexo 2-B (item I, ref. 8) — "3.8. O escoamento cruzado (cross flow) e a manobra do navio quando em velocidades muito baixas". É também o item I.8.5.4 do Anexo 2-A. Tema crítico para o prático: descreve a hidrodinâmica das manobras em portos, com rebocadores, em atracação e desatracação — onde a velocidade longitudinal é pequena ou nula.

15.1 Quando o cross flow domina

O princípio do arrasto cruzado é aplicado à manobra do navio quando:

A velocidade lateral do navio é próxima da velocidade longitudinal, ou
O ângulo de deriva atinge valores altos, geralmente maiores do que 25°.

Nesse regime, as derivadas lineares obtidas na expansão em série de Taylor (Sections 10–11) NÃO valem mais — as equações específicas do escoamento cruzado as substituem. Regime típico:

Manobras em portos — atracação, desatracação, troca de atracadouro.
Operações com rebocadores empurrando o navio lateralmente.
Manobrabilidade em baixíssima velocidade avante ou com máquina à ré.
Situações em que u é muito pequena ou nula.

15.2 Por que o cross flow domina em baixa velocidade

Quando u → 0 e v ≫ u, o navio passa a se comportar como um "corpo cego" exposto a um escoamento lateral. O mecanismo de sustentação da asa-casco (que depende de u para gerar circulação Γ) torna-se ineficaz; domina o arrasto viscoso cruzado, proporcional ao quadrado da velocidade lateral v. As derivadas lineares $Y_{v}$·v e $N_{v}$·v — válidas para pequenos ângulos de deriva — deixam de capturar o comportamento real. É necessário o modelo específico de cross flow.

15.3 Força lateral no cross flow (3.8.1)

A força lateral por seção transversal $Y_{CF}$(x) é dada por uma integral ao longo do comprimento envolvendo:

D(x) = $C_{D}$(x) · T(x)
onde $C_{D}$(x) é o coeficiente de arrasto cruzado de um cilindro infinitamente longo 2D (representando a seção transversal do navio em x), e T(x) é o calado do navio na seção x.

A velocidade lateral efetiva em cada seção é a componente perpendicular ao eixo longitudinal do navio: v + x·r (combinação de velocidade lateral v e contribuição tangencial da razão de guinada r na seção de posição x). Integrando ao longo do comprimento, obtém-se $Y_{CF}$.

Teoria do quadrado absoluto — Norrbin (1970)

Relacionando às derivadas hidrodinâmicas, o resultado contém termos do tipo:

$Y_{v|v|}$ · v|v| e $Y_{r|r|}$ · r|r|
— termos de "quadrado absoluto", em que a velocidade ao quadrado é tratada como o produto da velocidade com seu módulo, para que o resultado se comporte como função ímpar em potência quadrática.

Esta forma de tratar as derivadas hidrodinâmicas foi proposta pelo professor sueco Nils Norrbin (1926–2011), em 1970. O livro atribui explicitamente esta teoria a Norrbin: ele propôs que os termos de velocidade ao quadrado fossem considerados como o produto da velocidade com seu módulo — duas variáveis distintas — "para que o produto entre essas duas variáveis se comporte como uma função ímpar em termos de potência quadrática".

15.4 Momento em yaw no cross flow (3.8.2)

O momento em yaw $N_{CF}$ é dado pela soma de dois componentes:

Componente	Origem	Caráter
Momentos friccionais	Viscosos, integrados ao longo do comprimento	Amortecimento
Momento de Munk	Potencial (teoria do escoamento ideal, sem viscosidade)	Desestabilizador — alinha proa com escoamento

Integrando ao longo do comprimento, $N_{CF}$ contém termos do tipo $N_{v|v|}$, $N_{r|r|}$ e termos cruzados — novamente na forma de quadrado absoluto. A presença explícita do momento de Munk em $N_{CF}$ é um dos aspectos mais importantes desta seção.

Por que o momento de Munk reaparece aqui. Enquanto as forças laterais $Y_{CF}$ são predominantemente viscosas (arrasto cruzado 2D), o momento em yaw recebe uma contribuição potencial (Munk) — o mesmo descrito na section 5: forças iguais e opostas que tendem a girar o corpo perpendicularmente ao escoamento incidente, com efeito desestabilizador para a estabilidade direcional do navio sem leme ativo. Em baixa velocidade, a falta de efetividade do leme amplifica a importância do momento de Munk na equação de movimento.

15.5 Força longitudinal no cross flow (3.8.3)

A força longitudinal que atua sobre o casco no regime de escoamento cruzado é principalmente devida às forças friccionais. Para a resistência da água, assume-se que o número de Froude V/√(g·L) seja inferior a 0,1 — condição em que a resistência de ondas pode ser desprezada em relação à resistência friccional.

Fórmula ITTC-57

O coeficiente de resistência friccional empregado é dado pela fórmula ITTC-57:

$\mathbf{C_{F}}$ — coeficiente de resistência friccional de uma placa plana (ITTC-57).
k — coeficiente de forma (corrige a placa plana para a geometria 3D do casco).
μ — viscosidade cinemática da água.

A expressão para a força longitudinal por seção $X_{CF}$(x) é obtida em função de $C_{F}$, k e da velocidade efetiva em cada seção. Integrando ao longo do comprimento, obtém-se $X_{CF}$. Relacionando às derivadas hidrodinâmicas, o resultado produz os termos de $X_{hid}$ no regime de cross flow — que diferem dos termos para alta velocidade (onde arrasto de onda domina).

Santos, 3.8.3 (literal): "A força longitudinal que atua sobre o casco, empregando o princípio do escoamento cruzado, será principalmente devida às forças friccionais."

15.6 Implicações operacionais — o porto, os rebocadores, a baixa velocidade

Tradução prática. Tudo o que acontece em uma manobra de atracação ou desatracação está governado por este regime de cross flow. As leituras intuitivas que o prático faz — "o navio agarra na água lateralmente", "abaixo de tal velocidade só os rebocadores movem o navio", "o calado pesado dá 'mordida' lateral grande" — têm aqui sua tradução matemática: |$Y_{v|v|}$|·v² e $N_{v|v|}$·v|v| explicam a sensação de "aderência" lateral; a perda da contribuição linear $Y_{v}$·v e a falência da efetividade do leme explicam por que rebocadores e bow thrusters são indispensáveis abaixo de certa velocidade.

Pontos-chave — Cross flow ★

Regime de aplicação: v próximo de u, OU β > 25°, OU velocidade muito baixa (u → 0).
Derivadas lineares ($Y_{v}$·v, $N_{v}$·v) NÃO valem — substituídas por termos em v|v|, r|r| (cross flow).
$\mathbf{Y_{CF}}$: integral ao longo do comprimento de D(x) = $C_{D}$(x)·T(x); velocidade efetiva em cada seção = v + x·r.
Quadrado absoluto (Norrbin 1970): v² → v·|v| para preservar paridade ímpar.
$\mathbf{N_{CF}}$ = momentos friccionais + momento de Munk (potencial, desestabilizador).
$\mathbf{X_{CF}}$: para Fr < 0,1, resistência de ondas é desprezível — só friccional (ITTC-57 + fator k).
Justificativa hidrodinâmica para rebocadores: em baixa velocidade, leme perde efetividade e Munk amplifica — externamente, só rebocador/impelidor controla.
Subitem 3.8 destacado no Anexo 2-B — alta probabilidade de cobrança em prova.

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16. A equação de movimento completa (3.9)

A equação do movimento do navio, em função das derivadas hidrodinâmicas, em águas calmas e profundas é definida incorporando os resultados das seções anteriores. A equação completa apresenta, em cada um dos três graus de liberdade do plano horizontal (surge, sway, yaw), os termos de inércia do navio (Cap. 2) mais os termos de forças e momentos hidrodinâmicos expressos pelas derivadas (Cap. 3).

Marco do livro. Esta é a primeira vez no livro Santos em que a equação de movimento do Cap. 2 (forças de inércia) é combinada com as forças hidrodinâmicas do Cap. 3 — a equação fica COMPLETA. Tudo o que vem nos Caps. 4 a 7 (estabilidade, zigue-zague, curva de giro, parada) parte dessa equação.

16.1 Navio parado ou em velocidades muito baixas (3.9.1)

A equação do movimento empregando o princípio do escoamento cruzado é distinta daquela válida para velocidades moderadas. Nesse caso, os termos de derivadas lineares ($Y_{v}$·v, $N_{v}$·v) são substituídos pelos termos de cross flow ($Y_{CF}$, $N_{CF}$, $X_{CF}$) desenvolvidos em 3.8.

Esta forma é a adequada para simular:

Manobras de atracação e desatracação.
Operações com rebocadores em baixa velocidade.
Movimentos com empuxo lateral de impelidores transversais (bow thrusters).

Limite de validade. As equações lineares de deriva ($Y_{v}$·v, $N_{v}$·v) NÃO valem para navio parado ou para β > 25°. O simulador de manobra em porto utiliza necessariamente a versão de cross flow — diferente do simulador de manobrabilidade em mar aberto.

16.2 Adimensionalização dos termos (3.9.2)

A introdução de equações adimensionais é importante "pela facilidade de tratar diferentes navios de formas semelhantes". Os termos de massa, velocidades e acelerações são adimensionalizados por fatores envolvendo a densidade da água ρ, o comprimento do navio L, a velocidade de referência U e o deslocamento do navio.

Grupos de coeficientes adimensionais

Força/Momento	Derivadas adimensionais (notação com prime)
$\mathbf{X_{hid}}$	$X'_{\dot{u}}$, $X'_{u}$, $X'_{uu}$, $X'_{vv}$, $X'_{rr}$
$\mathbf{Y_{hid}}$	$Y'_{\dot{v}}$, $Y'_{\dot{r}}$, $Y'_{v}$, $Y'_{r}$, $Y'_{vvv}$, $Y'_{rrr}$, $Y'_{vvr}$, $Y'_{vrr}$
$\mathbf{N_{hid}}$	$N'_{\dot{v}}$, $N'_{\dot{r}}$, $N'_{v}$, $N'_{r}$, $N'_{vvv}$, $N'_{rrr}$, $N'_{vvr}$, $N'_{vrr}$

Os coeficientes adimensionais (indicados por prime) permitem comparar navios de tamanhos diferentes e realizar simulações independentes da escala — fundamental para transferência de resultados de modelos de tanque para navios reais. O momento de inércia adimensional em yaw ($I'_{z}$) inclui o fator de giração κ = $k_{zz}$/L — razão entre o raio de giração e o comprimento do navio.

Por que isso é prático. Os coeficientes adimensionais (com prime) são os que aparecem em bancos de dados de manobra IMO, ITTC e fabricantes de simuladores. A forma adimensional permite estimar as derivadas de um navio novo a partir de dados de navios semelhantes já ensaiados — base dos métodos de previsão usados na fase de projeto e na configuração inicial de simuladores de ponte.

16.3 As equações lineares de movimento (3.9.3)

O emprego de uma aproximação linear das equações de manobra é "muito útil para fins da avaliação das características inerentes principais tanto da hidrodinâmica da asa-casco do navio como dos seus dispositivos de controle."

A linearização da equação em águas profundas e calmas retém apenas os termos de primeira ordem das derivadas ($X_{\dot{u}}$, $Y_{\dot{v}}$, $Y_{\dot{r}}$, $N_{\dot{v}}$, $N_{\dot{r}}$, $Y_{v}$, $Y_{r}$, $N_{v}$, $N_{r}$) e descarta os termos cúbicos e cruzados. O resultado é um sistema linear de equações diferenciais ordinárias.

Princípio de D'Alembert

Aplicando o princípio de D'Alembert — em que a soma das diferenças entre as forças agindo em um sistema e as derivadas no tempo das quantidades de movimento do sistema é zero — obtém-se a forma final das equações lineares de movimento. Essa forma é a base formal da:

Análise de estabilidade direcional (Cap. 4 — curva espiral, critério C).
Índices de Nomoto (Cap. 5 — zigue-zague).
Modelos de curva de giro (Cap. 6).

Limites da linearização. Válida apenas para pequenas perturbações em torno da condição de equilíbrio (navio em rumo com velocidade u₀ constante). As equações lineares descartam os termos cúbicos ($Y_{vvv}$, $N_{rrr}$) e os termos de cross flow — são formalmente inválidas para β > ~15–20° ou velocidades muito baixas. Para manobras de grande amplitude ou baixa velocidade, é obrigatório o modelo não-linear (com cross flow).

Pontos-chave — Equação completa

Equação completa = inércia (Cap. 2) + forças hidrodinâmicas das derivadas (Cap. 3).
Termos de massa adicional ($X_{\dot{u}}$, $Y_{\dot{v}}$, $Y_{\dot{r}}$, $N_{\dot{v}}$, $N_{\dot{r}}$) somam-se às massas/inércias reais → "massas virtuais".
Para navio parado / baixa velocidade: derivadas lineares substituídas por termos de cross flow.
Adimensionalização (notação com prime) com ρ, L, U → permite comparar navios diferentes; padrão SNAME / IMO / ITTC.
Princípio de D'Alembert: F − dp/dt = 0 → equações lineares de movimento.
Linearização vale para pequenas perturbações; β grande ou baixa velocidade exigem modelo não-linear (cross flow).
Esta equação é o ponto de partida dos Caps. 4 a 7 do livro.

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17. O emprego das derivadas na avaliação da manobra (3.10)

Santos, 3.10 (literal): "As derivadas hidrodinâmicas não são meros coeficientes empregados na simulação numérica do movimento do navio. Elas, quando devidamente relacionadas com a física da situação, apresentam de forma clara e objetiva o porquê do comportamento do navio."

Para demonstrar o emprego das derivadas hidrodinâmicas, os Capítulos 4 a 7 do livro apresentam seus modos de atuação nas manobras definitivas: curva espiral, zigue-zague e curva de giro.

17.1 O sentido de "manobra definitiva"

O termo "definitivo", empregado para essas manobras, significa que elas foram idealizadas para obter medidas quantitativas: "mediante a execução das manobras [obtêm-se] resultados numéricos que permitam medir as características de manobra 'inerentes' ou próprias de cada navio, gerando índices que viabilizem a especificação de vários tipos de navios" (Santos, 3.10). Manobras definitivas têm protocolo padronizado (IMO, ITTC) que garante comparabilidade entre navios.

17.2 Conexão derivadas → manobras → capítulos do livro

Manobra	Cap. Santos	Derivadas dominantes	O que mede
Curva espiral (Dieudonné / Bech)	4	$N_{v}$, $Y_{v}$, $N_{r}$	Estabilidade direcional do navio em rumo (estável ou instável)
Zigue-zague	5	$Y_{r}$, $N_{r}$, $Y_{v}$, $N_{v}$ (combinados nos índices K e T de Nomoto)	Ganho de guinada (K), constante de tempo (T), overshoot
Curva de giro	6	$Y_{v}$, $N_{v}$, $Y_{r}$, $N_{r}$ + efeito do leme ($Y_{\delta }$, $N_{\delta \delta }$)	Diâmetro tático, advance, transfer, raio de giro permanente, ponto pivô
Parada e marcha à ré	7	$X_{u}$, $X_{\dot{u}}$, $X_{vv}$	Distâncias e tempos de parada (head-reach), comportamento à ré

17.3 Lição transversal para o prático

O prático precisa compreender: cada índice de manobra do navio (Pilot Card, Wheelhouse Poster, Manoeuvring Booklet — Resolução IMO A.601(15)) é consequência direta de um conjunto específico de derivadas hidrodinâmicas. Alterar o navio — carga, trim, calado, apêndices, limpeza do casco, profundidade da água sob a quilha — altera as derivadas e, portanto, o comportamento em manobra. Os índices da Pilot Card são válidos para as condições em que foram medidos; ao receber um navio em outras condições, o prático precisa raciocinar quais derivadas mudaram para antecipar o desvio do comportamento previsto.Os instrumentos de bordo Pilot Card, Wheelhouse Poster e Manoeuvring Booklet (Res. IMO A.601(15)) não constam literalmente no Cap. 3 do Santos; entram aqui como ponte editorial com a aplicação operacional do prático.

Exemplos de raciocínio operacional via derivadas

Águas rasas (h/T pequeno) → $Y_{v}$ e $N_{r}$ aumentam em módulo; raio de giro aumenta; navio fica mais "estável" e mais difícil de iniciar guinada. (Detalhe técnico no Cap. 9 do livro.)
Calado de ré aumentado (trim por popa) → centro de pressão desloca para ré; $N_{v}$ mais estabilizador; navio mais firme em rumo, raio de giro maior.
Casco sujo (incrustação) → $X_{u}$ mais negativo (mais resistência); efetividade do leme reduzida ($Y_{\delta }$); distâncias de parada aumentam.
Bow thruster ativo → adiciona $Y_{ext}$ e $N_{ext}$ à equação (força/momento externos); abaixo de ~2–4 nós a contribuição supera a do leme.
Skeg de popa → aumenta |$Y_{v}$| e |$N_{r}$|; melhora a estabilidade direcional; ligeiramente piora a manobra de giro.

Pontos-chave — Emprego das derivadas

Derivadas hidrodinâmicas são ferramenta de leitura do comportamento — não apenas parâmetros de simulação.
"Manobras definitivas" (espiral, zigue-zague, giro): protocolo padronizado IMO/ITTC para gerar índices comparáveis entre navios.
Curva espiral avalia estabilidade direcional (Cap. 4) — dominada por $N_{v}$ e $Y_{v}$.
Zigue-zague avalia ganho de guinada e overshoot (Cap. 5) — dominado pelos índices de Nomoto ($Y_{r}$, $N_{r}$, $Y_{v}$, $N_{v}$).
Curva de giro avalia raio de giro e ponto pivô (Cap. 6) — $Y_{v}$, $N_{v}$, $Y_{r}$, $N_{r}$ + efeito do leme.
Parada e marcha à ré (Cap. 7) — derivadas longitudinais $X_{u}$, $X_{\dot{u}}$, $X_{vv}$.
Cada índice da Pilot Card é consequência direta de um conjunto específico de derivadas; alterar o navio (carga, trim, apêndices) altera as derivadas e, portanto, o comportamento.