MMPH · Cap.3 Asa-Casco e Derivadas Hidrodinâmicas — A Manobrabilidade do Navio no Séc. XXI (Santos)

A grande analogia do capítulo

Leitmotiv"O casco do navio é uma asa em movimento submetido a um ângulo de ataque (ângulo de deriva), e o leme é o seu flape." (Santos, p.~34)

Cap.2 montou o lado inercial (massas, momentos); Cap.3 monta as forças hidrodinâmicas sobre o casco em manobra.
Ferramenta matemática = expansão em série de Taylor em torno do equilíbrio (navio em rumo) → nascem as derivadas hidrodinâmicas (taxas de variação de cada força/momento com cada grau de liberdade).

O leme não gira o navio — apenas impõe o β inicial que faz a hidrodinâmica do casco girá-lo.

Marcos históricos

Ano	Pesquisador	Contribuição
1875	William Froude	Teoria do corpo duplo (modelo de baixa velocidade)
1911	George H. Bryan	1º a usar derivadas (aeronáuticas); equações em 6 GdL
1922	Max Munk	Momento puro em corpo alongado em fluido ideal
1937	Weinblum	1ª transposição das derivadas para a manobra naval
1952	Jones (NACA)	Fórmula de Jones: C_L/C_D de asas de baixa razão de aspecto
1964	Abkowitz (MIT)	Série de Taylor em 6 GdL → marco do tratamento não linear
1970	Norrbin	Teoria do quadrado absoluto (v\|v\|, r\|r\|)
~1980	Obokata	Casco como asa de baixa razão de aspecto (teoria de Jones aplicada)

A transferência de conhecimento inverteu: até os anos 1930 a arquitetura naval alimentava a aviação (Taylor, Hunsaker fundam o NACA); depois a física aeronáutica (Prandtl, Munk, Jones) passou a alimentar a hidrodinâmica do navio.

O navio é uma asa de área muito grande e razão de aspecto muito baixa (envergadura=calado, corda=comprimento).

	Asa de avião	Asa-casco
Razão de aspecto	6 a 12 (alta)	0,03 a 0,06 (calado/comprimento)
C_L por área	alto	baixo — mas área enorme → força lateral grande
Arrasto induzido	menor	muito mais relevante (vira "arrasto cruzado")

Ângulo de ataque β

β (deriva)Ângulo entre o eixo longitudinal e o vetor velocidade resultante. Gera a sustentação lateral.

Sem β, não há sustentação lateral — só arrasto longitudinal puro.

**Fig. 15** — , são a força de sustentação e a força de arrasto conjunta, como apresentado na figura 15.

Cada seção transversal x tem seu próprio β(x), L(x) e D(x); a força total é a integral ao longo do comprimento.
β(x) local difere do global por causa da guinada r (ângulo de ataque local ∝ r·d/u₀).

**Fig. 16** — cionada com o calado, e a corda com o comprimento do navio, como apresentado na figura 16.

Trim, calado variável e apêndices alteram L(x) e D(x) → alteram as derivadas. Skeg à popa desloca o centro de pressão para ré e aumenta a estabilidade direcional.

Três componentes do arrasto

Componente	Origem
Resistência friccional	Atrito na camada-limite; domina em baixa velocidade
Amortecimento potencial (arrasto de forma)	Diferencial de pressão frente↔ré; cresce com a velocidade
Descolamento de vórtices	Camada-limite descola em quinas/apêndices/popa abrupta

Corpo duploFroude (1875): para Fr < 0,25 despreza-se a irradiação de ondas; a superfície livre vira plano rígido espelhado → razão de aspecto efetiva = 2·T/L.

Paradoxo de d'Alembert: a teoria potencial prevê arrasto zero em corpo submerso; o arrasto real vem de viscosidade e descolamento.

**Fig. 19** — Casco do navio espelhado empregado na teoria do corpo duplo 2D

Sustentação — teoria da circulação

A sustentação da asa-casco é no plano horizontal, NÃO no vertical — é a força lateral (β≠0) que faz o navio guinar, não a que impede afundar (essa é o empuxo).

Kutta-Joukowski › L = ρ · Γ · v › circulação Γ (vórtices livres) gera sustentação L

**Fig. 18** — Distribuição de velocidade e pressão ao longo de um corpo 2D

Distribuição elíptica de Prandtl + lei de Biot-Savart; teoria consolidada por Lanchester (1908).

**Fig. 21** — que gerem perda de sustentação, ou sustentação para baixo, como apresentado na figura 21. A intensidade desses vórtices

**Fig. 20** — Na figura 20, tem-se uma ilustração para apresentar a similaridade existente no desevolvimento da forç

Casco × leme — quem gira o navio

Razão de áreaO leme tem só ~1% da área do casco (~100:1). Mesmo com C_L maior por área, a força lateral do casco supera muito a do leme.

"As forças de sustentação do casco criam forças e momentos muito maiores do que a força de controle de lemes." O leme é controle, não motor da guinada.

Base experimental: série NACA de aerofólios (anos 1930) → Fórmula de Jones (22/09/1952, Reynolds entre 0,4×10⁶ e 3,0×10⁶).

DefiniçãoEm fluido ideal, corpo alongado com ângulo de ataque sofre um momento puro que tende a aumentar esse ângulo. Observado por Max Munk (1922).

Composto de forças iguais e opostas → não há força resultante, só momento.
d'Alembert (força nula) é compatível com momento não nulo — Munk identificou essa lacuna.
Qualquer forma 3D não-esférica em meio invíscido gera momento; a esfera é a única exceção.

**Fig. 23** — A geração do momento de Munk, em um escoamento ideal, é apresentada na figura 23.

Sempre desestabilizador — no plano horizontal age para aumentar β; é a razão física de cascos sem leme/skeg serem naturalmente instáveis em rumo.

AplicaçãoAplicado no centro do navio; soma-se ao momento da sustentação (aplicado no centro de pressão). Juntos governam o início da guinada.

Fluido real: Horace Lamb identificou a dependência angular entre Munk e a vorticidade viscosa; Odd Faltilsen (MIT, anos 1980) aproximou essas funções.

**Fig. 24** — Na figura 24 tem-se a representação gráfica da dependência angular entre o momento dado pela resistênc

**Fig. 25** — Na figura 25 tem-se a representação gráfica da distribuição de forças laterais em um casco e o momento

Conexão Cap.4: quando N_v (estabilizadora) supera Munk → casco estável; quando não supera → exige leme ativo permanente.

Arrasto cruzado (cross flow drag)

Quando dominaNavio parado / velocidade muito baixa, OU β grande. O arrasto passa a protagonizar as forças.

Princípio: o arrasto é função apenas da velocidade lateral do fluido.
Força lateral por seção = dois vórtices de separação da camada-limite (coeficiente de forma ~1).
Válido enquanto v não esteja muito próxima de u — ou v > u, ou β > 25°.

**Fig. 26** — rasto é somente uma função da velocidade lateral do fluido, como apresentado na figura 26, e que os coeficientes de arra

Arrasto induzido (perda de sustentação pelos vórtices de ponta, na aeronáutica) = fisicamente o arrasto cruzado no casco.

O leme como flape

O que fazModifica a curvatura efetiva da asa-casco, gera sustentação adicional e controla o momento de yaw. Força normal decomposta em L, D e Y_δ.

X_δ é SEMPRE negativo: D·cos β' > L·sin β' → a componente longitudinal do leme é sempre resistência. Dar leme custa velocidade.

"O ângulo de ataque do leme diminui assim que o navio começa a guinar" → a força do leme é de controle, não a que gera a guinada.

Influência de endireitamento E — tende a aumentar o ângulo de ataque do leme.
Leme na descarga do propulsor: velocidade maior que a do navio → base do kick-ahead (energiza o leme sem deslocar o navio).
Interação leme-casco desloca o centro de pressão para vante.

**Fig. 27** — ção na distribuição de pressões ao longo de cada seção transversal do navio. Na figura 27 tem-se uma representação ilust

**Fig. 28** — A força normal, apresentada na figura 28 e que define a força lateral de controle do leme, Y/S, pode ser obtida em funçã

**Fig. 29** — De acordo com a figura 29, a componente Y/5 da força total do leme, X/S de arrasto total do leme em relação ao navi

**Fig. 30** — É importante verificar que o ângulo de ataque do leme, a, apresentado na figura 30, é dado por

"É um erro comum pensar que o momento gerado pela força do leme guina um navio." (Santos, 3.3) — o efeito do leme é indireto.

Sequência causal da guinada

Leme impõe β inicial › surge momento de Munk (aumenta β) › sustentação do casco cresce e amplifica › razão de guinada r aumenta › leme perde efetividade › inércia adicional + amortecimento viscoso crescem › giro constante

O navio não acelera angularmente para sempre: os amortecimentos crescem com r até equilibrarem os momentos pró-giro (Munk + sustentação + leme) → razão de guinada constante = movimento circular uniforme.

Três arrastos que estabilizam o giro

Arrasto pela teoria da circulação — vórtices livres (Kutta-Joukowski); principal amortecimento de yaw em mar aberto.
Arrasto cruzado nas pontas — vórtices de proa/popa (equivalem aos vórtices de ponta de asa); relevante em β grande.
Arrasto cruzado nas seções transversais — separação de pressões; base do modelo de cross flow.

**Fig. 31** — A figura 31 apresenta uma sequência esquemática do desenvolvimento dos momentos desde o acionamento d

**Fig. 32** — Na figura 32 tem-se a representação das vorticidades geradas em navio guinando para boreste, que compõ

O leme perde efetividade porque seu ângulo de ataque diminui à medida que o ângulo de deriva do casco aumenta — por isso o sistema converge para o raio de giro permanente.

O problemaSem excitação externa, as forças hidrodinâmicas dependem de 6 variáveis do plano horizontal — velocidades (u, v, r) e acelerações (u̇, v̇, ṙ).

X_hid, Y_hid, N_hid › = f(u, v, r, u̇, v̇, ṙ)

A série de Taylor transforma essa função multivariável na soma de termos com coeficientes — as derivadas hidrodinâmicas — mensuráveis independentemente (tanque, CFD, prova de mar).

Duas categorias

Categoria	Nasce de	Exemplos
Amortecimento	velocidade do casco	X_u, Y_v, Y_r, N_v, N_r
Massa adicional	aceleração do casco	X_u̇, Y_v̇, Y_ṙ, N_v̇, N_ṙ

NotaçãoPadronizada pela SNAME (1952) — usada até hoje. Ex.: X_u = derivada de X em relação a u.

Truncamento na 3ª ordem — válido para Fr < 0,3, faixa que cobre a maioria das manobras. Condição: função e derivadas contínuas e não tendem ao infinito.

Três hipóteses simplificadoras (X)

2ª lei de Newton → força linear na aceleração; anula termos de aceleração de 2ª/3ª ordem.
Sem acoplamento velocidade-aceleração → elimina os termos cruzados.
Simetria boreste-bombordo (plano xz) → anula todos os termos ímpares em v e r.

**Fig. 33** — Forças e momento no corpo e na sua "imagem espelhada'"

X é função PAR de v e de r (X(β)=X(−β)); Y e N são funções ÍMPAR (Y(v)=−Y(−v)). Dependência quadrática escrita como v·|v| para manter paridade.

Derivada	Significado	Sinal
X_u̇	Massa adicional longitudinal (único termo de aceleração que sobra em X)	Negativo
X_u, X_uu	Resistência em linha reta (curva R×V)	X_u < 0
X_vv, X_rr	Arrasto adicional por β ou r → perda de velocidade na curva	Negativo
Y_v	Sustentação lateral — cresce com β	Sempre negativa
Y_v̇, Y_ṙ	Massa/inércia adicional lateral	Negativo/varia
N_v	Momento de yaw por v — derivada de estabilidade direcional	Crítica (Cap.4)
N_r	Amortecimento de guinada	Sempre negativa

**Fig. 34** — X em relação a v 2 é dada por v I v 1, resultando nas possíveis curvas 1 e 3 da figura 34, a curva 2 correspondendo ao c

Resultado N negativo para r positivo (proa e popa somam momentos negativos) é a base física do amortecimento de guinada — sem N_r<0, o navio girando aceleraria indefinidamente.

**Fig. 35** — ocidade u 0, sendo forçado a girar em torno do centro O, como pode ser visto na figura 35.

Termos cruzados sway-yaw (Y_vr, Y_v|r|) não se anulam — a maioria dos navios não é simétrica no plano yz (proa ≠ popa).

**Fig. 37** — velocidade avante+ u e com velocidade lateral + v, para BE, como apresentado na figura 37, experimentaria uma força hidr

**Fig. 38** — Na figura 38 há um exemplo da dependência da função Y hi

**Fig. 39** — Yuuuu 3 e \uu 2 são zeradas devido à simetria no plano xz, como apresentado na figura 39.

As derivadas não são meros coeficientes — cada uma corresponde a um fenômeno hidrodinâmico identificável.

Derivada	Tipo	Significado físico
X_u̇, Y_v̇, N_ṙ	Massa/inércia adicional	Água arrastada → amplia a inércia efetiva (massa/momento virtual); não é arrasto
Y_v	Amortecimento	Sustentação lateral; principal mecanismo de força em manobra
Y_ṙ & N_v̇	Acoplamento	Par de inércia adicional cruzada sway↔yaw
N_r < 0	Amortecimento	Amortecimento de guinada — equilíbrio do giro permanente

Skeg, calado de ré, trim por popa e limpeza do casco aumentam |Y_v| e |N_r| → melhoram estabilidade direcional. Casco sujo muda as derivadas — fato empírico conhecido pelos práticos.

Componentes em asa de baixa razão de aspecto (3.6)

Arrasto › D = ½·ρ·V²·S·C_D › Sustentação › L = ½·ρ·V²·S·C_L

**Fig. 41** — O ângulo de deriva, �, como observado na figura 41, pode ser definido por

C_D em cada seção = 3 partes: linha reta (β=0) + induzido quadrático em β + correção viscosa linear em V.
C_L é linear em sin(β) — sustentação cresce linearmente com β para pequenos ângulos.
x_cp (centro de pressões) define o momento em yaw: estabilizador vs. desestabilizador.

Forças resultantes totais (3.7)

Cada derivada é uma integral ao longo do comprimento das contribuições de arrasto + sustentação de cada seção. Decomposição Y_LD = Y_L + Y_D mantém rastreável a origem física.

DESTAQUE DO EDITAL (Anexo 2-B, item I, ref.8 · Anexo 2-A I.8.5.4). Hidrodinâmica das manobras de porto, com rebocadores, atracação e desatracação — onde a velocidade avante é pequena ou nula.

**Fig. 42** — Na figura 42, é apresentada uma visão geral dos parâmetros envolvidos na função que define a força par

Quando o cross flow domina

Velocidade lateral próxima da longitudinal (v ≈ u), OU
Ângulo de deriva β > 25°, OU velocidade muito baixa (u → 0).

As derivadas lineares (Y_v·v, N_v·v) da série de Taylor NÃO valem mais — substituídas pelos termos de cross flow. Com u→0, a circulação Γ some e domina o arrasto viscoso cruzado (∝ v²).

As três forças no cross flow

Grandeza	Composição
Y_CF (lateral)	Integral de D(x)=C_D(x)·T(x); velocidade efetiva por seção = v + x·r
N_CF (yaw)	Momentos friccionais (amortecimento) + momento de Munk (potencial, desestabilizador)
X_CF (longitudinal)	Principalmente friccional; para Fr < 0,1 despreza-se resistência de ondas (ITTC-57 + fator de forma k)

Quadrado absoluto (Norrbin, 1970): v² → v·|v| e r² → r·|r|, para preservar a paridade ímpar em potência quadrática.

Justificativa dos rebocadores: em baixa velocidade o leme perde efetividade e o momento de Munk amplifica → só rebocador/impelidor transversal (bow thruster) controla o navio.

Equação de movimento COMPLETA = inércia (Cap.2) + forças hidrodinâmicas das derivadas (Cap.3). 1ª vez no livro em que as duas se combinam — base dos Caps. 4 a 7.

Massa adicional (X_u̇, Y_v̇, Y_ṙ, N_v̇, N_ṙ) soma-se às massas/inércias reais → massas virtuais.
Navio parado / baixa velocidade: derivadas lineares substituídas pelos termos de cross flow (simulador de porto ≠ simulador de mar aberto).
Adimensionalização (notação prime, com ρ, L, U) → compara navios de tamanhos diferentes; padrão SNAME/IMO/ITTC.

Princípio de D'Alembert › F − dp/dt = 0 › equações lineares de movimento

A linearização vale só para pequenas perturbações; é inválida para β > ~15–20° ou baixa velocidade → obrigatório o modelo não-linear (cross flow).

Emprego: manobras definitivas (3.10)

"As derivadas hidrodinâmicas não são meros coeficientes... apresentam o porquê do comportamento do navio." (Santos, 3.10)

Manobra	Cap.	Derivadas dominantes
Curva espiral	4	N_v, Y_v, N_r → estabilidade direcional
Zigue-zague	5	Índices K e T de Nomoto → overshoot
Curva de giro	6	Y_v, N_v, Y_r, N_r + leme → diâmetro tático, ponto pivô
Parada / à ré	7	X_u, X_u̇, X_vv → head-reach

Cada índice da Pilot Card (Res. IMO A.601(15)) é consequência de um conjunto de derivadas. Alterar carga, trim, calado, apêndices ou profundidade muda as derivadas → o prático precisa antecipar o desvio do comportamento previsto.