MMPH · Cap.4 Estabilidade de Movimento — A Manobrabilidade do Navio no Séc. XXI (Santos)

DefiniçãoEstabilidade = capacidade de retornar ao equilíbrio assim que cessa a ação momentânea de uma força externa. No navio: perturbado por força/momento, tende a voltar ao estado anterior depois que a perturbação cessa.

Rumo ≠ aproamento: rumo = caminho efetivamente percorrido; aproamento = direção para onde a proa aponta. Com deriva β ≠ 0 são vetores diferentes — a estabilidade de movimento analisa o rumo.

Controles fixos × móveis

Categoria	Como mantém a trajetória
Controles fixos	sem intervenção do timoneiro, leme em zero → é a estabilidade em linha reta
Controles móveis	só mantém com leme/atuador ativo → estabilidades direcionais e posicional

"Navio estável" sem qualificar = estabilidade em linha reta com controles fixos (meta usual de projeto).

Lyapunov e variáveis de estado

Lyapunov(1857–1918) método direto: julga a estabilidade pelos atributos de estado, sem resolver as equações diferenciais de movimento.

Variáveis de estadoMenor conjunto que descreve o sistema; no plano horizontal = u, v, r (surge, sway, yaw).

OrigemClassificação de Arentzen e Mandei (1961), no estudo de submarinos — vale para todo navio de superfície.

Tipo	Controle	Atributo mantido	Trajetória final
Linha reta	fixo (leme zero)	linha reta	reta, novo rumo (sentido pode mudar)
Direcional — índices complexos	leme ativo	reta + sentido	reta, sentido original, transitório oscilatório
Direcional — índices reais	azimutal	reta + sentido	reta, sentido original, transitório monotônico
Posicional	≥ 3 atuadores (DP)	reta + sentido + posição	idêntica à inicial (referencial inercial)

**Fig. 43** — Estabilidade vs instabilidade em linha reta com leme fixo — trajetorias

Em linha reta ≡ dinâmica ≡ direcional com controles fixos — três nomes, uma definição. Estável → segue em rumo novo; instável → gira em raio constante com leme em zero.

Posicional exige atuadores ≥ graus de liberdade: no plano horizontal são 3 (surge, sway, yaw) → mínimo de 3 atuadores. Navio de leme único nunca atinge estabilidade posicional, por mais automação que tenha. DP típico = 2 azimutais a ré + 1 bow-thruster a vante.

Hierarquia ascendente › linha reta › direcional complexos › direcional reais › posicional

**Fig. 47** — Instabilidade direcional com indices reais

**Fig. 44 e 45** — Estabilidade direcional com indices complexos: estavel (Fig.44) vs instavel (Fig.45) — painel duplo no PNG

**Fig. 46** — Estabilidade direcional com indices reais (com timoneiro/piloto)

Com controles fixos, a única estabilidade matematicamente possível num navio autopropelido é a de linha reta — o arrasto da empenagem (popa) contrabalança o momento de Munk.

**Fig. 48** — Estabilidade posicional — trajetoria igual a inicial

Método

Pequena perturbação: se decai → estável; se cresce → instável; se volta ao equilíbrio inicial → estabilidade assintótica.
Ferramenta: expansão em série de Taylor em torno do equilíbrio, só termos lineares → derivadas hidrodinâmicas avaliadas no ponto de equilíbrio.
Amortecimento natural = arrasto da popa (empenagem) — fonte física que torna o navio localmente estável.

Equilíbrio inicialMovimento retilíneo uniforme: v₀ = 0, r₀ = 0, u₀ ≠ 0.

Exceção — propulsor ímpar (ou vários girando no mesmo sentido): sempre existe pequeno ângulo de deriva natural → v₀ ≠ 0. Desloca a curva espiral lateralmente no gráfico r × δ.

Simetria xzZera as derivadas cruzadas → sistema reduzido a termos em v, r, v̇, ṙ (base das equações de 4.5).

Notação SNAMEPadronizada em 1952: X_u, Y_v, Y_r, N_v, N_r… — convenção internacional que permite comparar navios/modelos de origens diferentes.

HipóteseCentro de gravidade no plano de simetria (y_G = 0) → sistema acopla apenas sway (v) e yaw (r).

Linearizar em torno de u₀, v = 0, r = 0 descarta termos não lineares (x_G·r², u·r, v·r).
Surge desacoplado — resolvido em separado. Sway e yaw ficam acoplados via Y_r·r e N_v·v.
Para navios usuais Y′_ṙ ≈ 0 e N′_v̇ ≈ 0 → equações desacopladas nos termos de aceleração; acoplamento persiste só na velocidade.

Princípio de D'Alembert → coloca o sistema na forma homogênea (lado direito = 0), pré-requisito da análise por autovalores.

Condição de ensaioSó reações à pequena perturbação em mar profundo e calmo; leme mantido em zero (δ_R = 0) durante toda a análise — é o que garante razão de guinada nula em rumo.

Limite de validade: a forma linear vale só para β pequeno (tipicamente β > 25° já invalida) e velocidade não muito baixa. Manobra de grande amplitude (giro, atracação) exige o modelo cross flow do Cap. 3.

SoluçãoForma exponencial v′(t) = v′₀·e^σt, onde σ são os índices de estabilidade.

Sinais de σ	Resultado
Ambos negativos	v′, r′ decaem → assume novo aproamento mas mantém reta → estável
Pelo menos um positivo	v′/r′ crescem → curva de giro constante com leme zero → instável

Matricial B·Ẋ + C·X = 0 › Cauchy Ẋ = A·X, com A = −B⁻¹·C › det(σI − A) = 0 › A·σ² + B·σ + C = 0

Cuidado de notação: as matrizes B, C das equações não são os escalares A, B, C do polinômio. No polinômio, A é escalar.

Surge (4.6.1): σ = X_u / (m − X_u̇). Como X_u < 0 sempre (resistência ao avanço), o surge é sempre estável — desde que haja velocidade avante u₀ > 0 suficiente.

Condição frequentemente esquecida: estabilidade completa exige C > 0 nos graus sway-yaw E u₀ > 0 (sem velocidade avante, β = −v/u₀ vai a infinito).

Critério formalambos σ negativos ⇔ C/A > 0 E B/A > 0 (item I.8.6.6 do edital).

A > 0 sempre (massas + massas adicionais, Y′_v̇ e N′_ṙ negativas).
B > 0 sempre (inércias virtuais × amortecimentos Y′_v, N′_r negativos).

Redução prática: como A e B são sempre positivos em navio convencional, tudo se reduz a C > 0 — C é o discriminante da estabilidade dinâmica.

Sinal de C	Comportamento com leme zero
C > 0	estável — mantém rumo
C < 0	instável — gira em raio constante
C = 0	fronteira de estabilidade (evitada no projeto)

Condição equivalenteN′_v·Y′_r < N′_r·Y′_v. Fisicamente: o momento estabilizador (vorticidades da popa / empenagem) supera o momento desestabilizador (momento de Munk).

Instabilidade ≠ falha de projeto: muitos petroleiros/graneleiros grandes são intencionalmente instáveis em linha reta para garantir manobrabilidade. Casco esbelto (L/B alto) tende a estável; casco achatado (B/T alto) tende a instável mas manobrável.

A — massas e inércias adicionais

A ≈ (Δ′ − Y′_v̇)·(I′_z − N′_ṙ)Y′_v̇ (massa adicional em sway) e N′_ṙ (inércia adicional em yaw) são sempre negativas (a massa adicional se opõe à aceleração) → A sempre positivo. Termos não dependem da viscosidade.

Massa adicional: observada por Dubuat (1776); expressão exata da esfera por Green (1833) e Stokes (1843).

**Fig. 52** — Fatores de forma f das derivadas de massa adicional em funcao de C_b e L/B (painel duplo no PNG)

**Fig. 54** — Coeficiente de massa adicional em funcao de C_b para diferentes L/B

**Fig. 50** — Casco navio em linha reta com angulo de ataque zero

B — derivadas de amortecimento

Y_v sempre negativa (força lateral oposta a v; proa e popa somam).

**Fig. 51** — Derivada Y_v sempre negativa — forca Y vs velocidade lateral v

N_r sempre negativo (momento oposto à rotação; proa e popa somam momentos negativos).
Y_r ambígua: proa e popa competem — proa domina → negativa; popa domina → positiva.

**Fig. 57** — Momento N — soma de proa e popa, sempre negativo para r positivo

**Fig. 58** — Forca Y vs razao de guinada r — popa vs proa dominante

**Fig. 55** — Derivada Y_v — diagrama asa-casco com angulo de deriva beta

**Fig. 56** — Diagrama pontos B (proa) e S (popa) com velocidade angular r

C — o parâmetro crítico N_v

N′_v = N′_v(Munk) + N′_v(L)desestabilizador + estabilizador.

Munk (potencial): N′_v(Munk) = −(k₂ − k₁)·Δ′. Lamb (Cambridge, 1849–1934) mostrou que k₂ > k₁ sempre → Munk sempre desestabilizador.
Sustentação (viscosa): N′_v(L) = Y′_v(L)·x_p/L. O centro de pressão lateral x_p é pequeno e negativo (≈ −0,1·L) em navio bem construído (skegs/leme a ré) → componente estabilizadora.

**Fig. 60** — Momento de Munk — forcas de pressao em corpo alongado (fluido ideal vs real)

**Fig. 61** — Coeficientes k1 e k2 de Lamb para elipsoides — base do sinal sempre negativo do Munk

Bulbo ou proa cheia desloca x_p para vante (positivo) → navio mais instável em linha reta, porém mais manobrável.

N_r é predominantemente viscoso, sempre grande e negativo; o peso x² na integração faz cada metro de skeg de popa multiplicar o amortecimento por fator quadrático. Y_v usa a fórmula de Jones (asas de baixa razão de aspecto, a < 0,2).

**Fig. 59** — Formula de Jones (Prandtl-Jones) para asas de baixa razao de aspecto

**Fig. 62** — Coeficiente de massa adicional 2D c_s de Prohaska

Derivada	Proa × popa	Sinal
Y′_v	somam	sempre negativa
N′_r	somam	sempre negativa
Y′_r	competem	± (geometria)
N′_v	Munk × empenagem	± — parâmetro mais crítico

Estabilidade alta ⇄ manobrabilidade baixa — não existe almoço grátis.

Meta de projeto (Santos)estabilidade moderada (positiva, próxima de zero); se não der, então pouca instabilidade — nunca estabilidade nem instabilidade altas.

Leme-skeg: com leme zero toda a área do leme atua como skeg; com leme ativo só a parte fixa. Design padrão moderno.

Para o prático: um VLCC ou Capesize tipicamente é instável em linha reta com leme fixo — projeto deliberado, não defeito. Navio que não exige correções frequentes de leme merece atenção em manobra restrita — raio de giro grande e guinada lenta.

Generalizações são tendências, não leis — "o que é verdade para uma forma de casco pode não ser para outra" (muitos fatores interagem).

Variável	Efeito na estabilidade direcional
L/B ↑ (mais esbelto)	estabilidade aumenta
B/T ↑ (mais raso)	estabilidade diminui, mas leme ganha autoridade relativa
Skegs na popa	aumentam a estabilidade
Bulbo de proa	diminui (desloca centro de pressões p/ vante)

Detalhe: N′_r é independente de B/T — varia só com L/B e área de skeg a ré.

Leme-skeg de grande área: caso raro de melhoria dual — melhora estabilidade de rumo E raio de giro ao mesmo tempo.

Trim (efeito oposto)

Trim	Estabilidade	Diâmetro de giro
pela popa	melhora	aumenta
pela proa	piora	diminui

Para o prático: navio em lastro (B/T grande) = menos estável com leme zero, mas leme mais "duro" (responde bem sob controle). Navio carregado (B/T baixo) = mais estável em rumo, leme "mole" (exige mais ângulo para iniciar a guinada).

**Fig. 63** — Leme com skeg fixo integrado — controles fixos vs moveis

O que éteste definitivo de estabilidade direcional: relação r × δ em regime permanente. Idealizada por Roy (França, 1931); primeiro braço giratório em 1938; publicada por Saunders (1952/1953) a partir dos relatórios de Dieudonné.

Sequência: estabilizar ~1 min › δ = +15° → +10° → +5° → +1° → 0° → −1° → … → −15° › repetir no sentido inverso (dois sentidos obrigatórios)

Manter o maquinário em regime permanente = propulsão constante, não velocidade constante. Os dois sentidos revelam eventual histerese.

**Fig. 64** — Curva espiral em navio estavel — sigmoide sem loop

Resultado	Diagnóstico
Curva monotônica (sem loop)	estável (σ negativos); inclinação na origem = intensidade
Loop de histerese	instável (σ positivos); altura/largura do loop = grau de instabilidade

**Fig. 65** — Histerese magnetica H vs B — analogia para curva espiral

Principal fonte de erro: tempo de espera insuficiente entre deflexões classifica navio estável como instável (Strom-Tejsen: 60 s → falso loop; sem limite → revela-se estável). Índices independem da velocidade (baixa/moderada).

**Fig. 68** — Strom-Tejsen — falsa impressao de instabilidade com 60s entre deflexoes consecutivas

Analogia de Abkowitz (MIT, 1964)

Estabilidade em linha reta e estabilidade transversal estática seguem os mesmos princípios: ψ̇ × δ_R ↔ M_adriçamento × φ. GM positivo ↔ estável (uma posição de equilíbrio); GM negativo ↔ instável (múltiplas, com saltos abruptos).

Navio instável guina contra o próprio leme até certo ângulo, depois salta bruscamente para o sentido oposto.

**Fig. 66** — Loop de histerese na curva espiral (indices 1 a 14)

**Fig. 69** — Analogia Abkowitz — espiral (yaw vs leme) e estabilidade transversal (adricamento vs banda)

Espiral reversa de Bech (1968)

Teste	Controla	Mede
Dieudonné (direta)	ângulo de leme δ	razão de guinada r
Bech (reversa)	razão de guinada r (ex.: 0,5°/s)	ângulo de leme δ necessário

Vantagens: mais rápida, cabe em espaços confinados, pontos em qualquer ordem temporal.
Estável → resultados iguais a Dieudonné. Instável → mostra o loop, mas não explora o interior (não é mais "controles fixos").

**Fig. 70 (cond. B)** — Espiral reversa de Bech — Navio A em condicao de carregamento B (T_A=4,95m / T_F=4,75m)

Bech dá a forma do loop; Dieudonné dá a resposta com controles fixos — para o grau quantitativo de instabilidade, a espiral direta continua sendo a referência.

Plotagem conforme resolução IMO 137(76) (mesma formatação da direta).

**Fig. 71** — Setup do piloto automatico para espiral reversa + grafico Bech

**Fig. 72** — Espiral reversa de Bech — altura e largura do loop como medidas de instabilidade

Manobra de pull-out (4.12)

O que éManobra mais simples: regime permanente → leme a zero → medir r ao longo do tempo (nos dois bordos). Indica só se é estável/instável, não o grau.

r final	Diagnóstico
r → 0, curvas dos dois bordos convergem	estável
r residual ≠ 0, curvas não convergem	instável

Integrado ao final da curva de giro padrão — sem manobra dedicada nem custo extra.

**Fig. 73** — Manobra pull-out — navio estavel vs instavel (4 paineis psi-ponto vs delta e vs t)

AplicabilidadeTodo navio > 100 m de L_PP + todos os gaseiros/químicos, independentemente do comprimento.

Largura máxima do loop de histerese

L_PP/V (s)	Largura máxima do loop
< 9 s	0° (navio deve ser estável)
9 a 45 s	3° a 12° (interpolação linear)
> 45 s	12°

L_PP/V = tempo característico de resposta (tempo para o navio percorrer o próprio comprimento). Menos tempo de reação → navio precisa ser mais estável; mais tempo → mais histerese tolerada.

Espiral simplificada (4.14)

Ponto 1: r em regime com leme máximo (da própria curva de giro).
Ponto 2: leme a zero; se r → 0 o navio é estável e encerra (equivale ao pull-out).
Ponto 3 (só se instável): leme no sentido oposto, ângulo = metade da largura do loop permitido (item 4.13).

Navio com loop largo demais é reprovado nos padrões IMO — inviável de controlar manualmente por um timoneiro mediano. Só dá classificação estável/instável; grau quantitativo exige Dieudonné completa.

**Fig. 74** — Criterio IMO — margens aceitaveis da largura do loop de histerese vs L_PP/V