1. Visão geral — por que estudar a estabilidade de movimento
O Cap. 3 do Santos terminou armando as derivadas hidrodinâmicas ($X_{u}$, $Y_{v}$, $Y_{r}$, $N_{v}$, $N_{r}$, com seus pares de aceleração $X_{\dot{u}}$, $Y_{\dot{v}}$, $Y_{\dot{r}}$, $N_{\dot{v}}$, $N_{\dot{r}}$). Este Cap. 4 usa esses coeficientes para responder a uma pergunta operacional muito simples: com o leme em zero, o navio segue em rumo? Ou ele acaba "caindo" para um lado e fazendo um giro permanente?
A resposta vem em quatro passos formais: (1) definir o que é estabilidade no sentido dinâmico (Lyapunov); (2) classificar os tipos de estabilidade possíveis (linha reta, direcional, posicional); (3) escrever a equação linear de movimento em torno do equilíbrio (rumo, velocidade constante); (4) extrair dela um polinômio característico de segundo grau em σ, cujo discriminante decide se o navio é estável ou não. O ponto-chave é que esse discriminante reduz-se a uma única condição prática — C > 0 — e que C depende, no fim das contas, dos sinais e magnitudes de quatro derivadas ($Y'_{v}$, $Y'_{r}$, $N'_{v}$, $N'_{r}$).
Os subitens do edital cobertos por este capítulo, na ordem do livro:
- 8.6.1 — Conceito de estabilidade (Lyapunov, controles fixos vs. móveis). Section 4.1.
- 8.6.2 — Quatro tipos de estabilidade (linha reta, direcional com índices complexos, direcional com índices reais, posicional). Section 4.2.
- 8.6.3 — Hierarquia da estabilidade. Section 4.3.
- 8.6.4 — Estabilidade em linha reta e derivadas hidrodinâmicas (equilíbrio + expansão Taylor). Section 4.4.
- 8.6.5 — Intensidade e tipo de estabilidade em linha reta (polinômio A·σ²+B·σ+C). Section 4.6, 4.7.
- 8.6.6 — Condições necessárias e suficientes (C/A > 0 e B/A > 0). Section 4.7.
- 8.6.7 — Componentes estabilizadores e desestabilizadores das derivadas (significado físico de A, B, C). Sections 4.7.1, 4.7.2, 4.7.3.
- 8.6.8 — Estabilidade dinâmica e condições operacionais (L/B, skegs, trim). Section 4.8.
- 8.6.9 — Curva espiral direta de Dieudonné (procedimentos). Section 4.9.
- 8.6.10 — Curva espiral de Bech (reversa). Section 4.11.
- 8.6.11 — Manobra de pull-out. Section 4.12.
- 8.6.12 e 8.6.13 — Padrões IMO para a curva espiral e curva espiral simplificada. Sections 4.13 e 4.14.
Fonte: SANTOS, Edson Mesquita dos. A Manobrabilidade do Navio no Século 21. Conapra, 2021. Cap. 4 — A Estabilidade de Movimento do Navio.
Edital: Anexo 2-A, área I (Manobrabilidade do Navio), item 8.6 (Estabilidade de movimento) — subitens 8.6.1 a 8.6.13. Cap. 4 inteiro prescrito no Anexo 2-B (item I, ref. 8 — Santos).
2. O conceito de estabilidade (4.1)
2.1 Definição operacional
A definição geral do livro é direta: estabilidade é "a capacidade de retornar a uma condição de equilíbrio assim que cesse a ação momentânea de uma força externa". Aplicada ao navio em movimento: um navio é estável em um estado particular de equilíbrio se, ao ser momentaneamente perturbado por uma força ou momento externo, tende a retornar — após a perturbação cessar — ao estado de equilíbrio anterior.
2.2 Controles fixos vs. controles móveis
A análise de estabilidade do navio em movimento divide-se em duas categorias fundamentais:
- Estabilidade com controles fixos — o navio mantém sua trajetória após a passagem de uma perturbação sem intervenção do timoneiro. O leme é mantido em condição neutra (zero). É o caso da estabilidade em linha reta e é a referência usual no estudo de manobra.
- Estabilidade com controles móveis — o navio só mantém a trajetória com atuação ativa do leme (ou de outro dispositivo de controle). Inclui as estabilidades direcionais (com índices complexos ou reais) e a estabilidade posicional.
2.3 Método de Lyapunov — análise direta sem integrar a equação
Existem dois caminhos para analisar estabilidade dinâmica:
- Pela solução das equações diferenciais não lineares de movimento (técnica precisa, sem restrição de modelo, mas computacionalmente cara).
- Pelo método direto de Lyapunov (1857–1918) — analisa os atributos de estado do sistema sem precisar resolver as equações. Um navio terá estabilidade (com controles fixos ou móveis) se, após cessada uma perturbação, mantiver o atributo do estado da condição de equilíbrio inicial.
2.4 Variáveis de estado
O estado de um sistema dinâmico é definido pelo conjunto de variáveis de estado — aquelas cujo conhecimento em um instante inicial t₀, juntamente com a entrada para t ≥ t₀, determina completamente o comportamento do sistema para qualquer t ≥ t₀. As variáveis de estado constituem o menor conjunto de variáveis que descrevem o sistema. Para o navio no plano horizontal, esse conjunto mínimo é tipicamente formado pela velocidade longitudinal u, pela velocidade lateral v e pela razão de guinada r — e cuja manutenção (ou não) entre o estado inicial e o final caracteriza o tipo de estabilidade alcançado.
3. Os tipos de estabilidade de movimento (4.2)
A classificação tradicional foi definida em 1961 pelo comandante E. S. Arentzen e pelo professor Philip Mandei no documento O projeto de submarinos sob o ponto de vista da arquitetura naval. Nesse trabalho, a estabilidade de movimento foi classificada em quatro tipos: (1) em linha reta, (2) direcional com índices complexos, (3) direcional com índices reais e (4) posicional. A classificação nasceu no estudo de submarinos, mas aplica-se universalmente a navios de superfície.
3.1 Estabilidade em linha reta (4.2.1)
Quando um navio que está em movimento retilíneo e uniforme, com o leme em condição neutra, é momentaneamente perturbado por uma força ou momento que gera uma pequena guinada, sua asa-casco passa a sofrer forças hidrodinâmicas que podem estabilizar ou desestabilizar o movimento.
- Navio estável em linha reta — assume nova trajetória em linha reta após a perturbação (o rumo muda, mas o movimento retilíneo é mantido).
- Navio instável em linha reta — não consegue manter trajetória reta final; termina por descrever uma grande curva com raio de giro constante, com o leme fixo em zero.
3.2 Estabilidade direcional (4.2.2)
Um navio com estabilidade direcional com controles móveis (leme ou outro atuador ativo) mantém na trajetória final, após cessada a perturbação, o atributo de estado do equilíbrio inicial e também o sentido original. Essa categoria pressupõe timoneiro ou piloto automático em atuação. Compreende duas subcategorias.
3.2.1 Estabilidade direcional com índices complexos (4.2.3)
O navio mantém o sentido da trajetória inicial, mas o perfil da resposta durante a correção é oscilatório — o navio oscila em torno da trajetória correta antes de se estabilizar (raízes complexas das equações de movimento, daí o nome).
3.2.2 Estabilidade direcional com índices reais (4.2.4)
Os atributos finais são os mesmos dos índices complexos (sentido e trajetória mantidos), mas o perfil de resposta não oscila — converge de forma monotônica. Nesse caso, a ação corretiva não vem do leme convencional (que induz oscilação), mas de um atuador sem oscilação de controle, tipicamente um propulsor azimutal, cuja força pode ser controlada tanto em intensidade quanto em direção.
3.3 Estabilidade de movimento posicional (4.2.5)
Categoria típica de sistemas de posicionamento dinâmico (DP), com controle automático ou manual. A trajetória final é igual à trajetória inicial, medida em relação a um referencial inercial — não apenas o sentido, mas a posição absoluta. É a categoria mais exigente dos quatro tipos.
3.4 Síntese — quadro comparativo
| Tipo | Controle | Atributo mantido | Trajetória final |
|---|---|---|---|
| Linha reta | Fixo (leme zero) | Linha reta | Reta, novo rumo (sentido pode mudar) |
| Direcional — índices complexos | Móvel (leme ativo) | Linha reta + sentido | Reta, sentido original, transitório oscilatório |
| Direcional — índices reais | Móvel (azimutal) | Linha reta + sentido | Reta, sentido original, transitório monotônico |
| Posicional | ≥3 atuadores (DP) | Linha reta + sentido + posição | Idêntica à inicial em referencial inercial |
4. A hierarquia da estabilidade de movimento (4.3)
Os quatro tipos formam uma escada hierárquica ascendente, do menos para o mais exigente:
| Nível | Tipo | Requisito mínimo | Aplicação típica |
|---|---|---|---|
| 1 (base) | Linha reta | Leme em zero (controles fixos) | Navio mercante convencional, mar aberto |
| 2 | Direcional — índices complexos | Timoneiro ou piloto automático | Navio governado por leme em rumo de viagem |
| 3 | Direcional — índices reais | Propulsor azimutal ou equivalente | Embarcações com propulsão azimutal |
| 4 (topo) | Posicional | ≥3 atuadores + DP | Plataformas de perfuração, pesquisa, mergulho |
4.1 A meta usual do projetista
Alcançar a estabilidade em linha reta é a meta usual do projetista para a maioria dos navios governados por controle manual. Os outros casos requerem vários graus de automação. No meio marítimo, quando se diz "estabilidade de movimento" sem qualificar, refere-se à estabilidade em linha reta (controles fixos).
4.2 A única estabilidade possível com controles fixos
Em mar aberto, um navio autopropelido com leme em zero não possui estabilidade posicional nem direcional — a única estabilidade possível com controles fixos é a estabilidade em linha reta. A pequena perturbação gerada no casco cria momentos hidrodinâmicos desestabilizadores, sendo o principal o momento de Munk. O arrasto gerado na "empenagem" do navio — isto é, na forma da popa com leme neutro — é o atuador passivo que gera a força hidrodinâmica de amortecimento direcional capaz de estabilizar o movimento em linha reta.
Santos, 4.3: "No meio marítimo, o emprego da expressão estabilidade de movimento geralmente também está relacionado a controles fixos, ou seja, à estabilidade em linha reta."
5. Estabilidade em linha reta e derivadas hidrodinâmicas (4.4)
A análise de estabilidade do navio segue o método clássico da teoria de controle: verifica-se se uma pequena perturbação cresce ou decai com o tempo. Se decai → o sistema é localmente estável; se cresce → instável. Se o sistema retorna ao equilíbrio inicial → estabilidade assintótica.
Fisicamente, um sistema localmente estável tem fontes naturais de amortecimento que dissipam a perturbação. No navio, essa fonte é o arrasto produzido na popa — o que reforça por que a "empenagem" é o atuador passivo central da estabilidade direcional.
5.1 Forças hidrodinâmicas como funções das variáveis de movimento
As forças hidrodinâmicas $X_{hid}$ (em surge), $Y_{hid}$ (em sway) e o momento $N_{hid}$ (em yaw) em um dado instante são funções das velocidades (u, v, r) e acelerações ($\dot{u}$, $\dot{v}$, $\dot{r}$) do navio. Os valores em equilíbrio são conhecidos.
5.2 Expansão em série de Taylor — só os termos lineares
O método central para a análise é a expansão em série de Taylor das funções $X_{hid}$, $Y_{hid}$ e $N_{hid}$ em torno da condição de equilíbrio, mantendo apenas os termos lineares:
- Cada força/momento é expandido como valor no equilíbrio + termos lineares das derivadas parciais em cada variável.
- O subscrito O refere-se aos valores das variáveis no equilíbrio inicial.
- As derivadas parciais resultantes são as derivadas hidrodinâmicas — avaliadas no ponto de equilíbrio.
5.3 Condição de equilíbrio inicial
O equilíbrio inicial é o movimento em linha reta com velocidade constante: v₀ = 0, r₀ = 0, u₀ ≠ 0. Para a maioria dos navios simétricos em torno do plano xz que navegam em linha reta com ângulo de ataque zero, vale a hipótese v₀ = 0.
5.4 Zeragem de derivadas por simetria xz
A simetria do casco em torno do plano longitudinal xz zera várias derivadas cruzadas, simplificando radicalmente as equações de movimento:
- $X_{hid}$ é função par de v → derivadas ímpares em v zeradas.
- $Y_{hid}$ e $N_{hid}$ são funções ímpares de v → o valor em v=0 e suas derivadas pares são zero.
- $Y_{hid}$ e $N_{hid}$ são funções pares de u (em torno de u=0).
Após a zeragem, as funções lineares ficam reduzidas a termos contendo apenas derivadas em v, r, $\dot{v}$ e $\dot{r}$ — base das equações de movimento usadas em 4.5.
5.5 Notação SNAME
A SNAME (Society of Naval Architects and Marine Engineers) padronizou em 1952 a notação internacional das derivadas hidrodinâmicas — $X_{u}$, $X_{\dot{u}}$, $Y_{v}$, $Y_{\dot{v}}$, $Y_{r}$, $Y_{\dot{r}}$, $N_{v}$, $N_{\dot{v}}$, $N_{r}$, $N_{\dot{r}}$. Permite comparação direta entre navios e modelos de diferentes origens.
6. A equação linear de movimento (4.5)
Partindo das equações de Newton para o plano horizontal (Cap. 2), e com a hipótese de que o centro de gravidade está no plano longitudinal de simetria ($y_{G}$ = 0 — verdadeiro para a grande maioria dos navios em condição operacional), o sistema se reduz a uma forma simplificada acoplando apenas sway (v) e yaw (r).
6.1 Linearização — descarte de termos não lineares
A linearização em torno do equilíbrio (u = u₀, v = 0, r = 0) descarta termos quadráticos como $x_{G}$·r² e produtos cruzados u·r, v·r. O resultado é um sistema de três equações desacopladas/acopladas:
| Grau | Equação linear (forma compacta) | Acoplamento |
|---|---|---|
| Surge | (m − $X_{\dot{u}}$)·$\dot{u}$ = $X_{u}$·u | Desacoplado de sway e yaw — pode ser resolvido em separado |
| Sway | (m − $Y_{\dot{v}}$)·$\dot{v}$ − $Y_{\dot{r}}$·$\dot{r}$ = $Y_{v}$·v + $Y_{r}$·r | Acoplado a yaw via $Y_{v}$, $Y_{r}$, $Y_{\dot{v}}$, $Y_{\dot{r}}$ |
| Yaw | ($I_{z}$ − $N_{\dot{r}}$)·$\dot{r}$ − $N_{\dot{v}}$·$\dot{v}$ = $N_{v}$·v + $N_{r}$·r | Acoplado a sway via $N_{v}$, $N_{r}$, $N_{\dot{v}}$, $N_{\dot{r}}$ |
6.2 Princípio de D'Alembert — forma homogênea
Aplicando o princípio de D'Alembert (a soma das diferenças entre forças e derivadas no tempo das quantidades de movimento é zero), os termos são reorganizados de modo que o lado direito das equações de sway e yaw seja igualado a zero. Essa reorganização coloca o sistema na forma homogênea — pré-requisito para a análise de estabilidade por autovalores.
6.3 Adimensionalização
A forma adimensional é obtida dividindo cada equação por um fator de referência envolvendo a densidade ρ da água, o comprimento L do navio e a velocidade de referência U. Para navios usuais, as derivadas cruzadas de inércia adicional $Y_{\dot{r}}$ e $N_{\dot{v}}$ são aproximadamente zero ($Y'_{\dot{r}}$ ≈ 0 e $N'_{\dot{v}}$ ≈ 0). Com isso, as equações adimensionais de sway e yaw ficam desacopladas nos termos de aceleração — o acoplamento persiste apenas pelos termos de velocidade ($Y_{r}$·r e $N_{v}$·v).
7. Análise matemática — o polinômio característico (4.6)
O par sway-yaw forma um sistema acoplado de duas equações diferenciais de primeira ordem nas variáveis v' (velocidade lateral adimensional) e r' (razão de guinada adimensional). A solução desse sistema leva a uma equação diferencial de segunda ordem cuja estrutura traz o conceito formal de estabilidade em linha reta.
7.1 Solução exponencial e índices de estabilidade
A solução padrão tem a forma exponencial:
onde σ são os índices de estabilidade a determinar.
O significado de σ é direto:
- Se ambos os σ forem negativos → v' e r' decaem a zero com o tempo; o navio assume um novo aproamento mas mantém direção permanente em linha reta → estável em linha reta.
- Se pelo menos um σ for positivo → v' e/ou r' crescem com o tempo; o navio termina por descrever uma curva de giro constante com leme em zero → instável em linha reta.
7.2 Forma matricial e equação de Cauchy
O sistema é reorganizado em forma matricial compacta:
onde B é a matriz de coeficientes de aceleração (massas e inércias virtuais) e C é a matriz de coeficientes de velocidade (forças/momentos de amortecimento e restauração).
Para a forma de Cauchy (padrão para solução de EDOs), multiplica-se ambos os lados pela inversa B⁻¹:
7.3 Polinômio característico de segundo grau
Substituindo a solução exponencial Ẋ = $e^{\sigma t}$·$X_{0}$ e exigindo solução não nula (vetor zero), o determinante (σ·I − A) deve ser igual a zero. Essa é a condição que define o polinômio característico. Expandindo e operando algebricamente:
onde A, B, C são coeficientes escalares expressos em termos das derivadas hidrodinâmicas das matrizes B (massas/inércias) e C (amortecimentos).
As duas raízes $\sigma_{1}$ e $\sigma_{2}$ são os autovalores que definem o comportamento dinâmico do navio no plano horizontal. Pela fórmula quadrática:
7.4 Surge — uma equação separada (4.6.1)
O movimento em surge é tratado isoladamente. Aplicando a solução exponencial à equação de surge, obtém-se diretamente:
Como a derivada $X_{u}$ é a componente linear de resistência ao avanço, é sempre negativa (a resistência se opõe ao movimento). Portanto σ é negativo → o movimento em surge é sempre estável, desde que o navio tenha velocidade avante suficiente.
★ 8. A condição necessária e suficiente de estabilidade (I.8.6.6)
8.1 A regra única que decide tudo
Para que ambos os autovalores $\sigma_{1}$ e $\sigma_{2}$ sejam negativos (condição de estabilidade), o critério matemático é:
(condição necessária e suficiente — item I.8.6.6 do edital)
Como será demonstrado nas sections seguintes (4.7.1 e 4.7.2):
- A é SEMPRE positivo para qualquer navio convencional — porque A ≈ (Δ' − Y$'_{\dot{v}}$)·($I'_{z}$ − $N'_{\dot{r}}$) e tanto $Y'_{\dot{v}}$ quanto $N'_{\dot{r}}$ são sempre negativas (massa adicional sempre se opõe à aceleração).
- B é SEMPRE positivo para navios convencionais — porque B envolve produtos de inércias virtuais positivas com derivadas de amortecimento ($Y'_{v}$, $N'_{r}$) sempre negativas.
8.2 A redução prática — só C importa
Como A > 0 e B > 0 são automaticamente satisfeitos para qualquer navio convencional, a condição de estabilidade direcional reduz-se na prática a uma única exigência:
O coeficiente C é, portanto, o discriminante da estabilidade dinâmica do movimento do navio em linha reta. Seu sinal decide:
- C > 0 → navio estável em linha reta (mantém rumo com leme zero).
- C < 0 → navio instável (gira em raio constante com leme zero).
- C = 0 → fronteira de estabilidade (caso de projeto crítico, evitado na prática).
8.3 O que C contém — disputa de braços de alavanca
O coeficiente C envolve as derivadas de amortecimento ($Y'_{v}$, $N'_{r}$, $Y'_{r}$, $N'_{v}$) e pode ser interpretado como uma disputa entre forças estabilizadoras e desestabilizadoras. Com o termo pequeno Δ'·$x'_{G}$ desprezado (a origem pode ser tomada no centro de gravidade ou no centro do navio sem alterar o sinal de C), a condição C > 0 equivale a:
(ou, equivalentemente, $N'_{v}$ / $Y'_{v}$ < $N'_{r}$ / $Y'_{r}$)
8.4 Interpretação física da condição
Fisicamente, a condição C > 0 significa que:
- O momento estabilizador — gerado principalmente pela separação de vorticidades na popa do navio (análoga à "empenagem" de uma aeronave) — supera...
- ... o momento desestabilizador — dado principalmente pelo momento de Munk, que é potencial e age com pequenos ângulos de ataque.
Em termos de braços de alavanca (Santos, 4.7.3, md 2710): o centro de pressão das forças estabilizadoras deve estar à frente do centro de pressão das forças desestabilizadoras. Aqui é uma disputa entre o momento estabilizador gerado pela separação de vorticidades criadas na popa do navio (empenagem) versus os momentos desestabilizadores — dados principalmente pelo momento de Munk (potencial) — com pequenos ângulos de ataque ou deriva. Quando essa relação geométrica se inverte, o navio passa a ser instável.
9. Significado físico dos coeficientes A, B, C (4.7.1–4.7.3)
9.1 Coeficiente A — massas e inércias adicionais (4.7.1)
O coeficiente A da equação característica depende de duas derivadas: $\mathbf{Y'_{\dot{v}}}$ (massa adicional em sway) e $\mathbf{N'_{\dot{r}}}$ (momento de inércia adicional em yaw). Não dependem da viscosidade — são termos de reação potencial à aceleração.
Origem histórica
O acoplamento entre movimento do fluido e do corpo foi observado em 1776 por Chevalier Dubuat em pêndulo esférico imerso em vácuo, água, ar e hidrogênio. A expressão matemática exata para a massa adicional de uma esfera foi obtida por Green (1833) e Stokes (1843).
$Y'_{\dot{v}}$ — massa adicional em sway
Inclinação da função Y com a aceleração $\dot{v}$ positiva, medida no centro do navio (v = 0). Proa e popa experimentam igual aceleração $\dot{v}$ positiva; a reação inercial das forças de pressão da água é na direção negativa tanto na proa quanto na popa — os efeitos se somam para dar uma grande força Y negativa para $\dot{v}$ positivo. Portanto $Y_{\dot{v}}$ é sempre negativa.
Para corpos com forma de navio e grande L/B, |$Y_{\dot{v}}$| é da ordem do deslocamento Δ do navio. Geralmente expressa como $Y_{\dot{v}}$ = f · Δ, com f variando com o coeficiente de bloco e a razão L/B (fatores próximos a −0,9 para L/B = 5; −0,95 para L/B = 8,5; −1,0 para L/B infinito).
$N'_{\dot{r}}$ — momento de inércia adicional em yaw
Inclinação do momento N com a aceleração angular $\dot{r}$ positiva, em r = 0. Proa e popa também experimentam igual $\dot{r}$ positivo; as pressões de reação somam-se para dar um grande momento negativo N para $\dot{r}$ positivo. Portanto $N_{\dot{r}}$ é sempre negativo. Magnitude próxima ao momento de inércia $I_{z}$ do navio em torno do eixo z (f ≈ −0,7 a −1,0 conforme L/B).
$Y'_{\dot{r}}$ e $N'_{\dot{v}}$ — termos acoplados (pequenos)
Os termos cruzados de inércia adicional $Y_{\dot{r}}$ (força lateral devida à aceleração angular) e $N_{\dot{v}}$ (momento devido à aceleração lateral) são relativamente pequenos. Existe incerteza de sinal porque sua origem está próxima — mas não exatamente — no centro de meio-navio. Para navios convencionais, adota-se $Y'_{\dot{r}}$ ≈ 0 e $N'_{\dot{v}}$ ≈ 0.
Resultado — A sempre positivo
Como $Y_{\dot{v}}$ < 0 e $N_{\dot{r}}$ < 0, ambos os fatores são positivos → A é sempre substancialmente positivo em navio convencional.
9.2 Coeficiente B — derivadas de amortecimento (4.7.2)
B envolve as derivadas de amortecimento linear $Y_{v}$, $N_{r}$, $Y_{r}$, $N_{v}$ em produto com as inércias virtuais. As derivadas $Y_{v}$ e $N_{r}$ têm comportamento claro:
- $Y_{v}$ sempre negativa — força lateral oposta a v (mecanismo de sustentação da asa-casco). Centro de pressão da força resultante à frente do meio-navio (proa domina). Contribuições de proa e popa somam-se.
- $N_{r}$ sempre negativo — momento que se opõe à rotação r. Para r > 0: proa tem ângulo de ataque para boreste (gera força Y negativa e momento N negativo); popa tem ângulo de ataque para bombordo (Y positivo, mas N também negativo, pois braço inverte). Proa e popa somam momentos negativos.
$Y_{r}$ — caso especial (proa vs. popa competem)
A força $Y_{r}$ resulta de proa e popa se opondo entre si: contribuem para Y em sentidos opostos. A força Y resultante pode ser pequena, positiva ou negativa, dependendo da geometria:
- Se proa domina → $Y_{r}$ negativa.
- Se popa domina → $Y_{r}$ positiva.
Resultado — B sempre positivo
9.3 Coeficiente C — o discriminante (4.7.3)
Como A > 0 e B > 0 sempre, C é o único coeficiente que pode mudar de sinal — confirma o papel de discriminante da estabilidade dinâmica.
Fisicamente, C é uma disputa de braços de alavanca entre:
- Momento estabilizador: gerado principalmente pela separação de vorticidades na popa (empenagem) — depende de $N_{r}$ · $Y_{v}$.
- Momento desestabilizador: dado principalmente pelo momento de Munk (potencial), via componente desestabilizadora de $N_{v}$.
A linha de raciocínio que segue, atribuída à pesquisadora Winnifred R. Jacobs do David Taylor Research Center (DTRC, anos 1960), parte das expressões de Y e N em função do ângulo de ataque β: Y = L·cos β + D·sin β e N = Y · $x_{p}$, onde $x_{p}$ é a distância do centro de pressão ao centro do navio. A esses termos acrescenta-se o momento de Munk (potencial, separado).
10. Derivadas $Y_{v}$, $N_{v}$, $Y_{r}$, $N_{r}$ em detalhe (4.7.3.1–4.7.3.5)
10.1 $Y_{v}$ — derivada da força lateral em v (4.7.3.1)
$Y_{v}$ é a dependência da força lateral Y em uma pequena velocidade lateral v. Como β ≈ −v/u₀ para pequenos β, derivar Y em β é o mesmo que derivar em v (a menos do sinal). Para asas de baixa razão de aspecto como o casco do navio (a raramente supera 0,2), a SNAME e o ITTC recomendam a fórmula de Jones (também chamada Prandtl-Jones) para o coeficiente de sustentação $c_{L}$, proposta por Robert Thomas Jones (1910–1999), um dos maiores engenheiros aeronáuticos do século XX.
10.2 $N_{v}$ — derivada do momento em v (4.7.3.2)
$N_{v}$ é função de dois momentos totalmente independentes:
- $N_{v}$(L) — momento dado pela força de sustentação no centro de pressão lateral $x_{p}$ (componente viscosa).
- $N_{v}$(Munk) — momento de Munk (componente potencial, sempre desestabilizadora).
10.2.1 Componente estabilizadora $N'_{v}$(L)
O momento em yaw dado pela força de sustentação é o produto da derivada $Y'_{v}$(L) pelo centro de pressão lateral $x_{p}$:
O centro de pressão lateral $x_{p}$ — também chamado centro de resistência lateral — é a posição da força lateral resultante considerando fluido real, incluindo a contribuição dos estabilizadores (empenagem do navio). Não deve ser confundido com o centro de pressão da asa-casco no escoamento 2D.
$x_{p}$ é contado a partir do centro do navio, positivo no sentido da proa. Como nos navios os estabilizadores (skegs, leme) estão a ré, $x_{p}$ em um navio bem construído é sempre pequeno e negativo, da ordem de −0,1·L.
Como $Y'_{v}$(L) é negativo e $x_{p}$ é negativo em navio bem construído, o produto $N'_{v}$(L) = $Y'_{v}$(L) · $x_{p}$ é positivo → $N_{v}$(L) é componente estabilizadora.
10.2.2 Componente desestabilizadora $N'_{v}$(Munk)
O momento de Munk surge porque em fluido ideal um corpo alongado sob ângulo de ataque experimenta forças de pressão iguais e opostas (soma de forças = 0; soma de momentos ≠ 0). O professor Sir Horace Lamb (Cambridge, 1849–1934) demonstrou que para elipsoides:
onde $k_{1}$ e $k_{2}$ são coeficientes adimensionais de massa adicional nas direções x e y.
Como $k_{2}$ > $k_{1}$ sempre (a massa adicional lateral é maior que a longitudinal em corpos alongados), tem-se $N'_{v}$(Munk) sempre negativo → o momento de Munk é sempre desestabilizador.
10.2.3 $N_{v}$ resultante
(soma da componente desestabilizadora com a estabilizadora)
O primeiro termo é sempre negativo (Munk). O segundo é positivo em navio bem construído (empenagem a ré). Para que $N'_{v}$ seja o mais próximo possível de zero ou positivo (favorável à estabilidade), é necessário que $x_{p}$ seja negativo — ou seja, a empenagem esteja a ré.
10.3 $Y_{r}$ — força lateral em r (4.7.3.3)
$Y_{r}$ tem estrutura análoga a $N_{v}$: soma de componente potencial e viscosa.
- Componente potencial: −$k_{1}$·Δ' — força centrífuga exercida pelo fluido em um corpo com movimento rotativo. Mas $k_{1}$ é muito pequeno para corpos com forma de navio → componente potencial praticamente desprezível.
- Componente viscosa: idêntica em forma a $N'_{v}$(L), expressa em função de $x_{p}$.
O sinal final de $Y'_{r}$ depende do sinal de $x_{p}$ e da magnitude relativa dos termos — pode ser positivo ou negativo conforme a geometria.
10.4 $N_{r}$ — momento em r (4.7.3.4)
Soma de termos potenciais (pequenos) e viscosos (dominantes). Segundo a expressão de Winnifred R. Jacobs, a parte viscosa envolve a integração ao longo do comprimento de termos x²·T·$c_{s}$, onde $c_{s}$ é o coeficiente de massa adicional 2D de Prohaska (em função de calado/boca e área seccional/calado), calculado seção a seção.
O parâmetro $x_{0}$ (≈ metade do coeficiente prismático, sempre positivo) é o termo dominante. Como $Y_{v}$ < 0 sempre, $N_{r}$ é sempre grande e negativo.
10.5 $Y_{\dot{r}}$ e $N_{\dot{v}}$ — termos cruzados pequenos (4.7.3.5)
São os termos de massa e momento de inércia adicionais acoplados, exclusivamente potenciais. $Y_{\dot{r}}$ tem magnitude ≈ −(1/2)·Δ' (metade do deslocamento adimensional); $N_{\dot{v}}$ tem expressão análoga. Em navios convencionais ambos são muito pequenos e adota-se $Y_{\dot{r}}$ ≈ 0 e $N_{\dot{v}}$ ≈ 0. Por isso as equações adimensionais de sway e yaw ficam desacopladas nos termos de aceleração — o acoplamento persiste apenas nos termos de velocidade.
★ 11. O trade-off estabilidade × manobrabilidade (4.7.4)
11.1 As quatro derivadas que governam C
O critério de estabilidade C > 0 envolve quatro derivadas: $Y'_{r}$, $Y'_{v}$, $N'_{r}$ e $N'_{v}$. A análise hidrodinâmica do Cap. 4 resume seus comportamentos assim:
| Derivada | Comportamento proa-popa | Sinal usual |
|---|---|---|
| $\mathbf{Y'_{r}}$ | Proa e popa competem entre si | Pode ser ±, depende da geometria |
| $\mathbf{Y'_{v}}$ | Proa e popa somam em sentidos coerentes | Sempre negativa |
| $\mathbf{N'_{r}}$ | Proa e popa somam momentos negativos | Sempre negativa |
| $\mathbf{N'_{v}}$ | Proa e popa competem (Munk vs. empenagem) | Pode ser ±, parâmetro mais crítico |
11.2 O trade-off enunciado
Em uma análise preliminar, poder-se-ia pensar em projetar um navio com $N'_{v}$ positivo para garantir alta estabilidade em linha reta. Mas o navio deve ser governado pelo leme, que também produz forças e momentos. Um navio muito estável compromete sua manobrabilidade.
Santos, 4.7.4 (literal): "O ideal é que o navio seja projetado visando a uma estabilidade moderada para poder ficar em linha reta, não comprometendo sua manobrabilidade. Caso isto não seja possível, que tenha então pouca instabilidade em linha reta."
11.3 Influências geométricas sobre cada derivada
| Variável | Efeito em $N'_{v}$ | Efeito em $Y'_{v}$ | Efeito em $N'_{r}$ |
|---|---|---|---|
| Aumentar L/B (mais esbelto) | Diminui efeito desestabilizador → mais estável | Aumenta |$Y'_{v}$| (razão de aspecto sobe) | Torna menos negativo → menos estabilizador rotacional |
| Aumentar B/T (mais raso) | Aumenta efeito (instabilizante) | Aumenta |$Y'_{v}$| (efeito pequeno) | Praticamente sem efeito |
| Skegs na popa | Aumenta $x_{p}$ negativo → mais estabilizante | Aumenta |$Y'_{v}$| → mais estabilidade | Mais negativo → mais estabilidade rotacional |
| Bulbo de proa | Desloca $x_{p}$ para vante → diminui estabilidade (funciona como skeg de proa) | Pouco efeito direto | Pouco efeito |
11.4 O leme como parte da empenagem
Para o cálculo de razão de aspecto, razão de espessura de corda e razão de afilamento, toda a área do leme deve ser calculada como se a parte fixa fosse parte integrante do leme:
- Com controles fixos (leme em zero) → toda a área do leme constitui um skeg.
- Com controles móveis (leme ativo) → somente a parte fixa é considerada skeg; a parte móvel atua como controle.
A adição de um leme na popa aumenta a contribuição da popa em |$Y_{v}$·v$|_{popa}$, diminuindo a magnitude negativa de $N_{v}$ — efeito favorável à estabilidade direcional. Essa é uma das razões pelas quais a maioria dos navios modernos possui um leme-skeg (parcial ou inteiro) formando parte de sua estrutura.
11.5 Conexão com a prática portuária
12. Condições operacionais (4.8)
Santos abre esta section com um alerta metodológico estruturante:
Santos, 4.8: "É difícil generalizar o efeito de mudanças na geometria do navio ou nas suas condições operacionais quando relacionando com suas qualidades de manobra, porque existem muitos fatores que interagem. O que é verdade para uma forma de casco pode não ser verdade para outra."
As regras a seguir são tendências gerais suportadas pela teoria das derivadas hidrodinâmicas e por dados experimentais — não leis absolutas.
12.1 Razão de esbeltez L/B
A estabilidade direcional aumenta com o aumento de L/B. Mecanismo: ao subir L/B, o efeito da rotação em yaw na força lateral ($Y_{r}$) torna-se "menos negativo ou mais positivo", e o momento $N_{v}$ cresce em magnitude estabilizadora. Tradução prática:
- Navios esbeltos (destróieres, fragatas, contêineros longos) → mais estáveis direcionalmente.
- Navios "achatados" (balsas, dragas, ferries de borda larga) → mais instáveis em rumo.
12.2 Razão B/T (boca/calado)
A estabilidade diminui com B/T crescente. Um detalhe técnico importante (Santos, 4.8, md 2959): $N'_{r}$ é independente de B/T — varia apenas com L/B e com a área de skeg na popa. O efeito de B/T sobre a estabilidade direcional vem principalmente pela mudança em |$Y'_{v}$| e na autoridade relativa do leme. Mas há um efeito secundário interessante: uma redução do calado T pode ter consequências opostas:
- Aumenta a razão de guinada (raio de giro pior).
- Melhora a estabilidade direcional em linha reta (leme mais dominante).
Santos sugere que esse aparente paradoxo "talvez se deva ao fato de o leme se tornar mais dominante em relação à diminuição da inércia virtual do casco". Com menor calado, a área do leme representa maior proporção da área molhada do casco — o leme ganha autoridade relativa.
12.3 Skegs e configuração de leme
- Skegs na popa aumentam a estabilidade direcional em linha reta.
- Apêndices na proa (como bulbos de proa) diminuem a estabilidade — deslocam o centro de pressões para vante, reduzindo o braço estabilizador.
Um grande leme na popa — geralmente do tipo leme-skeg — com maior proporção em relação à área molhada do casco, pode melhorar a estabilidade direcional e ao mesmo tempo proporcionar um giro menor.
12.4 Trim — efeito assimétrico
O trim tem efeito diretamente oposto sobre estabilidade e diâmetro de giro:
| Condição | Estabilidade em linha reta | Diâmetro de giro | Mecanismo |
|---|---|---|---|
| Trim pela popa (calado de ré > calado de vante) |
Melhora | Aumenta | Centro de pressão desloca para ré → maior braço estabilizador → mais firme em rumo, mais difícil iniciar guinada |
| Trim pela proa (calado de vante > calado de ré) |
Piora | Diminui | Centro de pressão desloca para vante → menor braço estabilizador → mais fácil iniciar guinada, menos firme em rumo |
Essa relação de compromisso reaparece codificada nos padrões IMO de manobrabilidade (Section 17).
13. A curva espiral direta de Dieudonné (4.9)
13.1 O teste definitivo de estabilidade direcional
Santos, 4.9: "A manobra em espiral direta, ou de Dieudonné, é um teste de manobra definitivo, pelo qual se identificam características de estabilidade direcional em linha reta do navio."
Os dados gerados apresentam a relação entre o ângulo do leme e a razão de guinada do navio em regime permanente. É a manobra-padrão para classificar o navio como estável ou instável em rumo.
13.2 Contexto histórico
A idealização do teste surgiu na França em 1931, a partir de resultados de Maurice Roy avaliando estabilidade de aviões sob rajadas de vento. Em 1938 foi construído no laboratório de hidrodinâmica da Marinha francesa o primeiro braço giratório do mundo — equipamento inovador para medir derivadas hidrodinâmicas de modelos de navios.
Em 1939, o laboratório foi destruído na Segunda Guerra; em 1945, reconstruído. O teste mais famoso foi coordenado pelo arquiteto naval Jean Dieudonné (1900–1972). Em 1952, os relatórios internos de Dieudonné foram coletados e traduzidos para o inglês pelo Comandante Harold E. Saunders do David Taylor Model Basin, tornando-se públicos para a comunidade marítima em 1953.
13.3 Procedimento — sequência completa (4.9.1)
A sequência recomendada por Santos (com os ângulos como exemplos comumente empregados):
- Estabilizar o navio em rumo reto em velocidade pré-selecionada por cerca de 1 minuto.
- Manter o maquinário em regime permanente até o fim — a condição de ensaio é de propulsão constante, não de velocidade constante.
- Carregar o leme a δ = +15° (boreste). Aguardar até a razão de guinada atingir valor constante por ~1 min; gravar (r, δ).
- Aliviar para δ = +10°; aguardar novo regime; gravar.
- Δ = +5°; aguardar; gravar.
- Δ = +1°; aguardar; gravar.
- Δ = 0° (a meio); aguardar; gravar.
- Δ = −1° (bombordo); aguardar; gravar.
- Δ = −5°; aguardar; gravar.
- Δ = −10°; aguardar; gravar.
- Δ = −15°; aguardar; gravar.
- Repetir no sentido inverso (de −15° até +15°) — completando dois sentidos em sequência.
13.4 Interpretação dos resultados
Navio estável — curva monotônica
Se a curva r vs. δ é uma única linha indo de boreste para bombordo, o navio possui estabilidade em linha reta — índices de estabilidade negativos. Para cada ângulo de leme existe uma única razão de guinada em regime permanente. A inclinação da curva medida na deflexão neutra define a intensidade da estabilidade: inclinação alta = navio muito estável (resposta lenta ao leme); inclinação baixa = estabilidade fraca.
Navio instável — loop de histerese
Para navios instáveis, observa-se um ciclo de histerese. Santos recorre à analogia com a histerese magnética (primeiro verificada por Michael Faraday, 1791–1867) para explicar o fenômeno: histerese é "a capacidade de preservar uma deformação efetuada por uma perturbação" — do grego "atraso".
A altura e a largura do loop são as medidas numéricas para o grau de instabilidade. Quanto maior o loop, mais instável o navio. Índices de estabilidade positivos.
13.5 Independência da velocidade e efeitos de assimetria
- Independência da velocidade: os índices de estabilidade com controles fixos são independentes da velocidade (baixa a moderada) no plano horizontal. Resultados em uma faixa de velocidade não diferem significativamente de outra.
- Simetria geométrica/dinâmica: navios simétricos têm curva centrada (zero do leme coincide com zero da razão de guinada).
- Assimetria por propulsor: rotação ímpar ou unidirecional desloca a curva lateralmente. O ângulo neutro passa a corresponder ao ângulo de leme que garante r = 0; em navio instável, ao meio da largura do loop.
13.6 Cuidado crítico — tempo de espera
- 60 segundos: loop de "histerese" aparente — falsa impressão de instabilidade.
- 120 segundos: loop ainda visível, menor.
- Sem limite de tempo: o navio se revela bastante estável.
14. Analogia linha reta ↔ estabilidade transversal (4.10)
14.1 A aula de Abkowitz na Dinamarca (1964)
Em 1964, o professor Martin Abkowitz, do MIT, realizou um ano sabático na Universidade Técnica da Dinamarca. De suas várias aulas, a mais marcante (segundo Santos) foi aquela em que fez uma analogia entre estabilidade em linha reta e estabilidade transversal estática do navio.
Santos, 4.10: "A escola tradicional marítima conhecia bem os princípios da estabilidade transversal, mas tinha dificuldade em entender os princípios da estabilidade em linha reta. O professor Abkowitz demonstrou que os princípios de estabilidade e instabilidade são idênticos."
14.2 A analogia formal
Abkowitz emparelhou:
- Estabilidade em linha reta: razão de guinada $\dot{\psi}$ vs. ângulo de leme $\delta_{R}$ (do teste de espiral).
- Estabilidade transversal estática: momento de adriçamento vs. ângulo de banda φ.
Para a comparação, teve que inverter os eixos apresentados originalmente por Dieudonné. A correspondência das curvas vira clara visualmente.
14.3 Navio estável A (em ambos os planos)
- Plano da espiral: inclinação positiva de $\dot{\psi}$ vs. $\delta_{R}$ na origem; uma única r para cada δ.
- Plano da estabilidade transversal: inclinação positiva de $M_{adriçamento}$ vs. φ na origem; uma única posição de equilíbrio (φ=0).
14.4 Navio instável B — o "salto" entre ramos
Para o navio instável B em teste de espiral conduzido de BE a BB:
- Começa com r no ponto (d) (leme em BE).
- Ao reduzir o leme, a velocidade angular segue a curva B; ao chegar à deflexão zero, obtém-se r no ponto (c) — ainda guinando para BE com leme zero.
- Continuando para BB, o navio ainda continua a guinar para BE — contra a direção do leme — até o ponto (a).
- Qualquer aumento do leme além de (a) faz o navio de repente assumir grande velocidade angular para BB indicada por (a').
Repetindo de BB para BE, aparece o "salto" simétrico do ponto (b) para (b'). Conclusão: um navio instável pode guinar contra seu leme até certo ângulo, então saltar bruscamente para o sentido oposto.
14.5 No plano transversal — o adernamento "saltado"
O navio B instável transversalmente não pode permanecer adriçado mesmo sem momento externo — vai inclinar para BB ou BE no ângulo (c) ou (c'), suas posições de equilíbrio reais. Ao aplicar um momento para BB no navio adernado para BE no ponto (c), o adernamento diminui mas permanece para BE até atingir (a) — então salta bruscamente para grande adernamento BB (a').
Santos, 4.10: "O comportamento de um navio instável em um teste de inclinação é completamente análogo ao de um navio instável em seu teste de espiral."
14.6 Por que a analogia é importante
15. A curva espiral de Bech ou espiral reversa (4.11)
15.1 Origem
Em 1968, o dinamarquês Mogens Bech desenvolveu uma manobra alternativa à espiral direta de Dieudonné. Conhecida atualmente como espiral reversa ou curva espiral de Bech, permite obter os índices de estabilidade do navio de forma mais rápida, pode ser conduzida em espaços mais confinados e não exige sequência temporal ordenada.
15.2 Princípio operacional — variável de controle invertida
A diferença fundamental em relação à espiral direta:
| Teste | Operador controla | Operador mede |
|---|---|---|
| Dieudonné (direta) | Ângulo de leme δ (mantido constante) | Razão de guinada r (aguardar regime) |
| Bech (reversa) | Razão de guinada r (mantida constante) | Ângulo de leme δ necessário |
No teste de Bech, o navio é conduzido a uma razão de guinada constante (por exemplo, 0,5 graus por segundo), e o ângulo de leme médio necessário para manter essa r é medido. O ângulo médio é obtido pela leitura das pequenas oscilações para BE/BB no leme.
O procedimento é repetido para um intervalo de razões de guinada (ex.: −0,5°/s a +0,5°/s) até que uma relação completa r vs. δ seja estabelecida.
15.3 Resultados e limitações
Para navios direcionalmente estáveis, os resultados são semelhantes aos da espiral direta. Para navios instáveis, um loop de histerese é identificável — mas o detalhamento sobre o grau de instabilidade só é possível dentro do loop, porque a condição do teste não é mais do tipo controles fixos (o operador controla r ativamente).
15.4 Instrumentação
É necessário: medidor de razão de guinada devidamente calibrado + indicador preciso de ângulo de leme. Em certos casos, o teste pode ser realizado com dispositivos de piloto automático disponíveis a bordo. Se governo manual, o indicador de razão de guinada em tempo real deve ser exibido visualmente para o timoneiro (registrador ou indicador de velocidade angular).
15.5 Plotagem padronizada
Usando a técnica de espiral reversa, os pontos podem ser tomados em qualquer ordem temporal — vantagem operacional crítica. Atualmente a curva de Bech é plotada na mesma formatação da curva espiral direta, seguindo a recomendação da resolução IMO 137(76).
16. A manobra de pull-out (4.12)
16.1 Definição
A manobra de pull-out, ou de alívio do leme, é descrita por Santos como "uma manobra simples que indica se o navio é estável em linha reta ou não". Esta manobra não informa o grau de estabilidade — o grau é dado apenas pelas curvas espirais (Dieudonné e Bech).
16.2 Procedimento
- Levar o navio a regime permanente em uma razão de guinada — tipicamente integrado ao final de uma curva de giro.
- Retornar o leme à posição neutra (δ = 0).
- Medir o estado final da razão de guinada ao longo do tempo.
- Repetir para o bordo oposto (verificar assimetria).
16.3 Critério de interpretação
- Navio estável: com a progressão do tempo, a razão de guinada decai a zero (ou à condição neutra do leme) para o teste em ambos os bordos. As curvas de BB e BE convergem ao final. Em navios com assimetria (ex.: propulsor único), a r final não é zero, mas é única (mesmo valor nos dois testes).
- Navio instável: com a progressão do tempo, resta uma razão de guinada residual diferente para os dois bordos — as curvas não convergem. Essa r residual ≠ 0 é o sinal diagnóstico de instabilidade direcional.
16.4 Aplicação operacional
17. Padrões IMO para a curva espiral (4.13–4.14)
17.1 Aplicabilidade do critério IMO
A IMO definiu critérios de manobrabilidade aplicáveis a:
- Todo navio maior que 100 m de $L_{PP}$.
- Todo navio gaseiro ou químico, independentemente do comprimento.
17.2 Critério da largura máxima do loop de histerese (4.13)
A IMO define a largura máxima do loop de histerese tolerável em função da razão $L_{PP}$/V (comprimento entre perpendiculares dividido pela velocidade em m/s — dimensão de tempo, em segundos):
| $L_{PP}$/V (segundos) | Largura máxima permitida do loop |
|---|---|
| $L_{PP}$/V < 9 s | 0° (navio deve ser estável — sem loop) |
| 9 ≤ $L_{PP}$/V ≤ 45 s | 3° a 12° (interpolação linear na faixa) |
| $L_{PP}$/V > 45 s | 12° |
17.3 Significado da razão $L_{PP}$/V
A razão $L_{PP}$/V representa essencialmente o período de resposta característico do navio: tempo que o navio leva para percorrer seu próprio comprimento.
- $L_{PP}$/V pequeno (navio rápido em relação ao comprimento) → o timoneiro tem pouco tempo de reação → o navio precisa ser essencialmente estável (loop tendendo a zero).
- $L_{PP}$/V grande (navio lento ou muito longo) → o timoneiro tem mais tempo de reação → maior largura de histerese tolerada.
17.4 Curva espiral simplificada IMO (4.14)
A espiral simplificada reduz a complexidade da manobra completa de Dieudonné, medindo três pontos que podem ser facilmente obtidos ao final de um teste de curva de giro:
- Ponto 1: r em regime estacionário com leme máximo — obtido diretamente da curva de giro padrão.
- Ponto 2: leme retornado à posição neutra; r medida em regime. Se r → 0, o navio é estável e a manobra encerra (equivalente abreviado do pull-out).
- Ponto 3 (apenas se o navio for instável): leme colocado no sentido oposto ao ponto 2, com ângulo igual à metade da largura do loop de histerese permitido conforme item 4.13. Medir r em regime.
17.5 Conexão com o trade-off estabilidade × manobrabilidade
O critério IMO codifica explicitamente o compromisso entre estabilidade e manobrabilidade: navios curtos/rápidos (alta manobrabilidade desejada por outras razões — operações em águas restritas) devem ser essencialmente estáveis; navios longos/lentos podem ser moderadamente instáveis, com a expectativa de controle manual viável. A largura aceitável do loop é uma função monotônica crescente de $L_{PP}$/V — ou seja, tolerância proporcional ao tempo de reação disponível.