MN Cap. 5 — Controle e Governo (Nomoto) (Santos)

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1. Visão geral — controle e governo do navio

O Cap. 4 do Santos resolveu o problema estático da estabilidade direcional: dado o casco com leme em zero, ele mantém rumo (C > 0) ou cai em curva permanente (C < 0)? Este Cap. 5 transita do binário estável/instável para a dinâmica de controle: quão rápido o navio responde ao leme e com que defasagem temporal. O paradigma muda do polinômio característico para os índices de Nomoto, que sintetizam as 10 derivadas hidrodinâmicas do Cap. 3 em apenas 2 parâmetros utilizáveis: o ganho de regime permanente K e a constante de tempo T.

A ferramenta experimental central deste capítulo é a curva de zigue-zague — manobra padrão IMO que mede o overshoot de aproamento e revela na prática os valores de K e T do navio. Os critérios IMO 137(76) (zigue-zague 10°/10° e 20°/20°) são alvos diretos de prova: o prático precisa conhecer os ângulos máximos de overshoot permitidos em função de L_PP/V.

Conceito-alvo de prova: o ponto pivô — posição no casco onde o ângulo de deriva local é zero. Posição variável: em regime estacionário fica próximo da proa; no transitório inicial fica próximo do centro. É o ponto em torno do qual o navio "gira" da perspectiva visual do prático.

Subitens do edital cobertos (Anexo 2-A, I.8.7):

8.7.1 Definições (5.1) — qualidade, governabilidade, manobrabilidade.
8.7.2 Controle do movimento (5.2) — sistema de controle em laço fechado.
8.7.3 Curva de zigue-zague (5.3) — procedimento experimental Kempf.
8.7.4 Medidas numéricas zigue-zague (5.4) — overshoot, tempos t_A, t_S.
8.7.5 Índices de Nomoto (5.5) — T_1, T_2, T_3, K e suas interpretações.
8.7.6 Sway + ponto pivô (5.7) — FOCO DE PROVA.
8.7.7 Modelo K-T (5.8) — equação simplificada T·$\dot{r}$ + r = K·δ_R.
8.7.8 Interpretação física (5.9) — K = ganho de regime; T = lentidão.
8.7.9 Boa manobrabilidade (5.10) — critérios qualitativos.

Subseções 5.11-5.15 (determinação experimental, zigue-zague com K/T, dados experimentais, projeto, critérios IMO numéricos) cobertas como apoio didático — não-explícitas em itens 8.7.x mas relevantes para prova.

Para o prático. Os índices K e T de Nomoto resumem em 2 números o caráter de manobra do navio: K alto = navio que "puxa rápido" em regime permanente; T alto = navio "preguiçoso" no início da guinada. A combinação K/T determina o ângulo de overshoot — daí o critério IMO 10°/10° (overshoot máximo permitido em manobra de 10° leme). Saber esses números antes de embarcar é saber o que esperar da resposta ao leme.

Fonte: SANTOS, Edson Mesquita dos. A Manobrabilidade do Navio no Século 21. Conapra, 2021. Cap. 5 — Análise da Habilidade de Controle e Governo do Navio.

Edital: Anexo 2-A, área I (Manobrabilidade), item 8.7 — subitens 8.7.1 a 8.7.9. Cap. 5 inteiro prescrito no Anexo 2-B (item I, ref. 8 — Santos).

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2. Definições (5.1)

A habilidade de controle e governo do navio é o conjunto de propriedades que permitem ao operador (timoneiro ou piloto automático) impor uma trajetória desejada ao navio mediante atuação do leme e, opcionalmente, de outros atuadores (propulsores azimutais, bow-thrusters). Diferencia-se da estabilidade direcional do Cap. 4: estabilidade responde "o navio mantém rumo sem leme?"; controle responde "com leme, quão bem o navio segue o comando?".

2.1 Manobrabilidade × governabilidade × estabilidade direcional

Manobrabilidade (manoeuvrability) — capacidade do navio de mudar de rumo ou de trajetória sob comando. Engloba curva de giro (Cap. 6), zigue-zague (este Cap.), parada (Cap. 7).
Governabilidade (course-keeping ability) — capacidade do navio de manter um rumo desejado, com leme ativo. Quantificada pelos índices de Nomoto.
Estabilidade direcional (Cap. 4) — capacidade de retornar à linha reta após perturbação, com leme em zero (controles fixos).

Tensão estrutural. Os três conceitos têm relações não-lineares: navio com alta estabilidade direcional pode ter baixa manobrabilidade (Cap. 4, trade-off). Navio com instabilidade direcional moderada pode ter alta governabilidade se o controle (leme + timoneiro) for adequado — mas requer ação constante. A escolha de projeto naval consiste em achar o ponto ótimo desse equilíbrio.

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3. O controle do movimento do navio (5.2)

O movimento do navio é controlado em laço fechado (closed-loop): a saída do sistema (trajetória real) é comparada à referência (trajetória desejada); a diferença gera um erro que aciona o controlador (timoneiro ou piloto automático), que comanda o leme, que aplica força ao casco, que altera a trajetória — fechando o ciclo.

Fig. 75 Fig. 75 — Diagrama do sistema de controle (manual ou automático): laço fechado entre trajetória desejada → erro → controlador → leme → navio → trajetória

3.1 Componentes do laço de controle

Elemento	Função	Sinal de entrada	Sinal de saída
Trajetória desejada	Referência (rumo, posição)	—	ψ_ref
Erro de trajetória	Comparador (subtrator)	ψ_ref e ψ_atual	ε = ψ_ref − ψ_atual
Controle manual/automático	Timoneiro ou piloto automático	ε	Força/comando δ_c
Dispositivo de controle	Máquina do leme	δ_c (comando)	δ (ângulo real)
Máquina do leme + leme	Atuador físico	δ	Força e momento no casco
Navio	Planta (dinâmica do casco)	Força + momento + perturbações	Trajetória real (ψ, x, y)

O timoneiro também é um controlador. Em governo manual, o cérebro do timoneiro fecha o laço: olha o agulha (ψ_atual), compara com o rumo prescrito (ψ_ref) e atua no leme proporcionalmente ao erro percebido. Pilotos automáticos modernos implementam algoritmos PID (Proporcional-Integral-Derivativo) que reproduzem matematicamente esse comportamento — e o melhoram em precisão e consistência.

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4. Curva de zigue-zague — manobra definitiva de controle (5.3–5.4)

A curva de zigue-zague é a manobra definitiva que avalia, em conjunto, a estabilidade direcional E a habilidade de controle do navio. Idealizada por Kempf e padronizada pelo IMO na resolução 137(76), é o ensaio clássico para extrair os índices de Nomoto.

4.1 Procedimento experimental (Kempf, padrão IMO)

Estabilizar o navio em rumo reto com velocidade pré-selecionada por ~1 min.
Comandar leme a um ângulo δ (ex.: +10° para boreste) — primeira execução.
Aguardar o ângulo de aproamento ψ atingir o valor comandado ψ_c (ex.: 10°).
Reverter leme instantaneamente para −δ (ex.: −10° para bombordo) — segunda execução.
Aguardar ψ atingir −ψ_c (ex.: −10°).
Reverter novamente para +δ — terceira execução. Continuar pelo menos 4 execuções.

Fig. 76 Fig. 76 — Curva zigue-zague: primeiro e segundo overshoot do ângulo de aproamento (ψ vs t)

Fig. 77 Fig. 77 — Tempos característicos t_A (alcance) e t_S (sobrepasso) ao longo das execuções

Fig. 78 Fig. 78 — Detalhes do primeiro e segundo overshoot com velocidade angular do leme

Fig. 79 Fig. 79 — Sobrepasso da trajetória lateral do navio durante o zigue-zague

Fig. 80 Fig. 80 — Trajetória medida real em zigue-zague 10°/10° (avanço/L_PP vs afastamento/L_PP)

4.2 Convenção de nomenclatura — zigue-zague α/β

A manobra é nomeada como zigue-zague α/β onde:

α = ângulo de leme comandado (ex.: 10°)
β = ângulo de aproamento alvo para reversão (ex.: 10°)

Os dois mais usados em prova:

Zigue-zague 10°/10° — leme ±10°, reversão a ψ = ±10°. Padrão IMO para navios convencionais.
Zigue-zague 20°/20° — leme ±20°, reversão a ψ = ±20°. Padrão IMO para validar comportamento em manobras mais agressivas.

4.3 Medidas numéricas extraídas (5.4)

Medida	Definição	Significado físico
1º overshoot (α_1)	Diferença entre ψ máximo após primeira reversão e ψ_c	Quanto o navio "ultrapassa" o alvo na primeira inversão de leme
2º overshoot (α_2)	Análogo para a segunda reversão	Indicador de oscilação amortecida. α_2 < α_1 em navio bem amortecido (afirmação editorial; o livro não explicita essa relação como critério).
Tempo de alcance t_A	Tempo entre comando inicial e primeiro alcance de ψ_c	Lentidão de resposta inicial
Tempo de sobrepasso t_S	Tempo entre primeira reversão e início da inversão de $\dot{\psi}$	Inércia angular efetiva
Período T(s)	Tempo entre execuções alternadas estabilizadas	Constante de tempo do laço fechado

Reversão NO COMANDO, não no overshoot. Pegadinha clássica: a reversão do leme é feita quando ψ atinge ψ_c (o ALVO), não quando ψ atinge o pico de overshoot. O overshoot é uma consequência da inércia do casco após a reversão.

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5. Os índices de Nomoto (5.5)

Os índices de Nomoto resolvem um problema fundamental: como reduzir o sistema de equações lineares completo do Cap. 4 (sway-yaw acoplados, 10 derivadas hidrodinâmicas) a uma equação utilizável em projeto e simulação?

A resposta de Kensaku Nomoto (anos 1950, Japão) foi parametrizar a resposta $\dot{\psi}$(t) ao leme δ_R como função de apenas 4 índices: K (ganho), T_1, T_2 (constantes de tempo do sistema de 2ª ordem) e T_3 (zero do leme). Em forma simplificada (modelo de 1ª ordem), restam apenas 2: K e T.

Fig. 81 Fig. 81 — Equações características A·σ² + B·σ + C e k(E + D/σ) — k elevado vs k pequeno

Fig. 82 Fig. 82 — Interpretação gráfica de raízes Nomoto com k(E + D/σ)

Fig. 83 Fig. 83 — Variantes de k pequeno e k elevado (instabilidade)

5.1 Significado de T_1 e T_2 (5.5.1)

São as duas constantes de tempo do sistema de 2ª ordem completo. Cada uma corresponde a um modo de resposta dinâmica do par sway-yaw acoplado:

T_1 — constante de tempo dominante. Reflete a inércia virtual do navio e o acoplamento sway-yaw (Santos 5.5.1, md 3668). Tipicamente maior que T_2; geralmente apenas T_1 é empregado em projetos práticos.
T_2 — constante de tempo secundária. Reflete o acoplamento sway-yaw. Tipicamente menor.

5.2 Significado de K' (5.5.2)

O ganho de regime permanente K (forma adimensional K') é a razão entre a razão de guinada r em regime permanente e o ângulo de leme δ_R aplicado:

K' = r_∞ / δ_R

Fisicamente: para um leme fixo em δ_R, o navio estabiliza em uma razão de guinada r_∞ que é proporcional ao leme. K alto = navio que "puxa rápido" — pequena deflexão gera grande r. K baixo = navio "preguiçoso" — exige grande deflexão para girar.

5.3 Significado de T_3 (5.5.3)

T_3 é o zero do leme — constante de tempo associada à velocidade do leme (δ̇). Conforme Santos (5.5.3, md 3689): "T_3' representa a contribuição dada pela velocidade do leme nas forças de casco ao iniciar ou quebrar uma guinada".

5.4 A equação completa de Nomoto (5.5)

T_1·T_2·ψ⃛ + (T_1 + T_2)·$\ddot{\psi}$ + $\dot{\psi}$ = K·(δ_R + T_3·δ̇_R)
Modelo de 2ª ordem com 4 índices: T_1, T_2, K, T_3.

Por que reduzir a 2 índices. Para navios convencionais em rumo de viagem, T_2 e T_3 são pequenos comparados a T_1. A equação simplificada (modelo de 1ª ordem) descarta T_2 e T_3 e fica: T·$\ddot{\psi}$ + $\dot{\psi}$ = K·δ_R, ou em notação compacta T·$\dot{r}$ + r = K·δ_R. Esse é o famoso "modelo K-T" da Section 8.

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6. Análise da estabilidade direcional via índices de Nomoto (5.6)

A estabilidade direcional do Cap. 4 (C > 0) tem expressão direta nos índices de Nomoto. A condição equivalente é:

T_1 > 0 E T_2 > 0 ⟺ navio estável direcionalmente
(equivalente a C > 0 nos coeficientes do Cap. 4)

Fig. 84 Fig. 84 — Equação característica com k pequeno e kE < 0 (zona de instabilidade)

Fig. 85 Fig. 85 — Raízes σ_1 e σ_2 da equação característica com k(E + D/σ)

Fig. 86 Fig. 86 — Comparação k_1 e k_2 com kE − D/(2A)

Vantagem prática. Diferente do critério C > 0 do Cap. 4 (que exige conhecer 10 derivadas hidrodinâmicas), o critério Nomoto exige apenas extrair T_1 e T_2 da curva de zigue-zague ou da curva espiral — medidas experimentais diretas, viáveis em prova de mar. Por isso o critério IMO 137(76) é baseado em Nomoto/zigue-zague, não nas derivadas hidrodinâmicas isoladas.

6.1 Casos de estabilidade pelos sinais de T_1, T_2

T_1	T_2	Comportamento
> 0	> 0	Estável: r decai a zero com leme em zero (após transitório)
< 0	> 0	Instável: r cresce exponencialmente — navio entra em curva permanente
> 0	< 0	Instável (caso simétrico)
complexos	complexos	Estabilidade oscilatória (com índices complexos do Cap. 4)

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★ 7. Sway e ponto pivô (5.7) — I.8.7.6

O ponto pivô (pivot point, P) é a posição ao longo do eixo longitudinal do casco onde a velocidade lateral local (v_local) é zero durante uma manobra de giro. Da perspectiva do observador (prático), o navio aparenta girar em torno desse ponto. É um dos conceitos mais cobrados em prova.

7.1 Definição matemática

Em qualquer ponto x do casco (medido do centro para a proa), a velocidade lateral local é: v_local(x) = v_G + x·r, onde v_G é a velocidade lateral no centro de gravidade e r é a razão de guinada. O ponto pivô x_P é onde v_local = 0, ou seja, x_P = −v_G / r. Formulação cinemática direta — derivação editorial; o Santos (5.7) emprega a razão Kv/K via função transferência.

7.2 Posição variável — regime permanente vs transitório

O ponto pivô NÃO é fixo no casco. Sua posição varia conforme a fase da manobra:

Regime permanente (giro estabilizado): x_P fica à frente do centro de gravidade, tipicamente entre 0,30 e 0,40 do comprimento à frente do CG (Santos 5.7, md 3891). A proa "puxa para fora" da curva enquanto a popa "varre" para dentro.
Transitório inicial (logo após carregar leme): x_P fica próximo do centro de gravidade. À medida que a guinada se desenvolve, x_P migra para frente até a posição estacionária. ✎ Derivação editorial — não consta explicitamente no Cap. 5 do Santos.
Curva de giro a vante: x_P entre a meia-nau e a proa. ✎ Consistente com o item anterior em regime permanente.
Marcha à ré com governo do leme: x_P pode passar para atrás do centro (perto da popa) — o navio "gira em torno da popa" do ponto de vista visual. ✎ Conhecimento geral de manobrabilidade; o Cap. 5 do Santos não aborda marcha à ré.

7.3 Implicações práticas para o prático

Como o prático "vê" o ponto pivô. Quando o navio começa a guinar para boreste em regime estacionário, a proa varre o setor de boreste enquanto a popa varre o setor de bombordo — e o "centro" aparente do giro é o ponto pivô (próximo da proa). Isso explica por que: (1) atracar/desatracar exige consciência de qual extremidade do navio se desloca mais; (2) rebocadores são posicionados pensando no ponto pivô (rebocador na popa tem mais alavanca quando P está perto da proa); (3) o navio com headway tende a girar "puxado pela proa", enquanto sternway inverte o sentido — o navio gira "puxado pela popa".

Não confundir com centro de pressão (x_p, do Cap. 4). O x_P deste capítulo (ponto pivô, cinemático) é diferente do x_p do Cap. 4 (centro de pressão lateral das forças hidrodinâmicas). Embora ambos sejam pontos sobre o eixo longitudinal, têm naturezas e localizações distintas: x_p (centro de pressão) é negativo (atrás do centro, ~−0,1·L); x_P (ponto pivô) em regime de giro é positivo (à frente do centro).

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★ 8. Modelo K-T de Nomoto (5.8) — I.8.7.7

O modelo K-T é a equação simplificada de Nomoto, derivada do modelo completo (Section 5) descartando T_2 e T_3 (pequenos em navios convencionais em rumo de viagem). É o modelo dinâmico mais usado em simuladores de ponte, projetos de piloto automático e análises de manobrabilidade.

8.1 A equação K-T

T·$\dot{r}$ + r = K·δ_R
onde:
r = razão de guinada (rad/s ou °/s)
$\dot{r}$ = aceleração angular (derivada de r no tempo)
δ_R = ângulo de leme (rad ou °)
K = ganho de Nomoto (1/s)
T = constante de tempo de Nomoto (s)

Fig. 88 Fig. 88 — Resposta ψ(t) ao degrau de leme: regime permanente $\dot{\psi}$ = K·δ_R + atraso temporal

8.2 Solução para degrau de leme (resposta canônica)

Para um leme aplicado em t = 0 com magnitude δ_R constante, a solução de r(t) é:

r(t) = K·δ_R · (1 − $e^{−t/T}$)

Interpretação:

Em t = 0: r = 0 (navio em rumo).
Em t → ∞: r → K·δ_R (regime permanente).
Em t = T: r ≈ 63% do valor de regime — definição da "constante de tempo".
Em t = 3T: r ≈ 95% do regime — considera-se equilíbrio prático.

8.3 Qualidade de governo e os índices K, T (5.8.1)

Fig. 89 Fig. 89 — Qualidade de governo: K grande/T pequeno vs K pequeno/T grande

K	T	Caráter do navio
Grande	Pequeno	Navio dócil e rápido: leme produz grande r em pouco tempo. Boa manobrabilidade. Típico de fragatas, rebocadores.
Grande	Grande	Navio gira muito mas com atraso. Característica de cargueiros grandes com leme grande.
Pequeno	Pequeno	Resposta rápida mas curta amplitude. Pouco comum.
Pequeno	Grande	Navio "duro" e lento: leme produz pouco e demora. Típico de VLCC, graneleiros muito grandes.

8.4 Obtenção experimental de K e T (5.8.2)

Método clássico: curva até razão de guinada constante. O navio é estabilizado em rumo, o leme é carregado a um ângulo δ_R fixo (ex.: 15°) e aguarda-se r atingir regime permanente. Os índices são extraídos por:

K = r_∞ / δ_R — diretamente da razão de guinada estabilizada (Santos 5.8.2, md 4216).
T — obtido por integração de $\dot{\psi}$(t): o tempo t_P em que a integral cruza ψ(t) = 0 corresponde ao atraso T (Santos 5.11, md 4250–4254). Esse "tempo de atraso" é o intervalo entre o comando do leme e o instante em que a razão de guinada começa a crescer perceptivelmente.

Fig. 90 Fig. 90 — Trajetórias de giro com K=0,15 fixo e T variando — espirais de avanço/transferência

8.5 Rapidez de resposta — alcance e atraso (5.8.3)

Dois parâmetros adicionais capturam a "agilidade" do navio:

Alcance (advance) — distância percorrida pela proa entre o comando inicial do leme e o instante em que r atinge regime permanente. Cresce com T·u_0 (T·velocidade avante).
Atraso (lag) — tempo entre o comando do leme e o início perceptível da guinada. Diretamente proporcional a T.

Fig. 91 Fig. 91 — Rapidez de resposta do casco: atraso T+t_1/2 para atingir razão de guinada final

Para o prático. Navio com T grande significa que após dar leme você AINDA terá que esperar antes de ver a proa começar a girar. Em águas restritas, isso muda drasticamente o ponto onde se deve iniciar a guinada — antecipação obrigatória. Navios VLCC famosos exigem antecipação de 1-2 comprimentos do casco antes do ponto desejado.

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9. Interpretação física de K e T (5.9)

Esta section conecta os índices abstratos K e T às derivadas hidrodinâmicas do Cap. 3 e à física da manobra.

9.1 O que K significa fisicamente

Em termos das derivadas hidrodinâmicas, K é aproximadamente:

K = N_δ / N_r
onde N_δ é o momento de yaw gerado pelo leme (por unidade de δ) e N_r é o amortecimento de yaw (sempre negativo).

Significado: K grande = leme produz muito momento (N_δ alto) ou amortecimento é fraco (|N_r| baixo). Em ambos os casos, o navio gira muito por unidade de leme.

9.2 O que T significa fisicamente

T' = Coeficiente do momento de inércia virtual / Coeficiente do momento de amortecimento em yaw
(Santos 5.9, md 4148). A "inércia virtual" inclui I_z + |N_$\dot{r}$| MAIS a contribuição do acoplamento sway-yaw (md 4134) — não é apenas a inércia rotacional pura.

Significado: T grande = inércia virtual alta ou amortecimento fraco (|N_r| baixo). Em ambos os casos, o navio resiste a iniciar a guinada.

Compromisso K-T. Numerador e denominador de K e T têm fatores comuns. Aumentar a área do leme aumenta |N_δ| e |N_r| simultaneamente — pode aumentar K mas diminuir T (efeito favorável). Mas aumentar a área de skeg na popa aumenta |N_r| significativamente — diminui T mas também diminui K (compromisso entre estabilidade e ganho).

9.3 Sinais de K e T

Em navio direcionalmente estável: K > 0 E T > 0.
Em navio direcionalmente instável: T < 0 (a definição matemática implica que o termo dominante muda de sinal). Significa que a resposta cresce exponencialmente — navio não atinge regime permanente sem controle ativo.

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10. Conceito de navio com boa manobrabilidade (5.10)

O Santos resume os atributos que caracterizam um navio com "boa manobrabilidade" do ponto de vista do prático e do operador:

Estabilidade direcional — mantém rumo com pouca correção de leme em viagem.
Resposta ágil ao leme — T pequeno: pouco atraso entre comando e início da guinada.
Razão de guinada de regime alta o suficiente — K adequado para a missão; rebocadores e navios em águas restritas precisam K alto; cargueiros oceânicos podem ter K menor.
Overshoot moderado — α_1 dentro dos critérios IMO; não há "sobrepasso" exagerado que dificulta o controle pelo timoneiro.
Raio de giro consistente — diâmetro tático conhecido e repetível, sem assimetrias graves entre bordos.
Distância de parada (head-reach) razoável — capacidade de parar em distância previsível (tema do Cap. 7).

Santos (5.10, p. 118): "Quanto maior a razão K'/T', melhor será a manobrabilidade do navio". Essa razão é exatamente o parâmetro de Norrbin P (Section 12.2) — síntese numérica direta do compromisso entre ganho de guinada e lentidão de resposta.

Trade-off K' × T' (Santos 5.10, p. 119). O aumento de T' produz aumento da estabilidade em linha reta mas redução da estabilidade direcional (capacidade de governo) — o navio fica mais "duro" e mais resistente a correções. Inversamente, T' baixo melhora a resposta ao controle mas reduz a estabilidade passiva. O projetista busca o ponto ótimo desse trade-off.

Não existe "navio universalmente bom". Boa manobrabilidade depende do contexto operacional. Petroleiros e graneleiros grandes têm T' alto (resposta lenta) — adequados a viagem oceânica mas exigem antecipação em portos confinados. Por isso o projeto naval moderno usa simuladores de manobra portuária para validar índices K-T contra a operação esperada.

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11. Determinação experimental de K e T (5.11)

Vários métodos extraem K e T de ensaios de mar:

Curva de giro até regime permanente — método 5.8.2: aplica leme fixo, mede r_∞ e a inclinação inicial.
Análise da curva de zigue-zague — relaciona K e T ao ângulo de overshoot e ao período. Método mais usado em provas de mar IMO.
Análise de resposta a entradas senoidais — em modelos em tanque, aplica-se δ_R(t) senoidal e analisa a resposta no domínio da frequência.
Identificação de sistemas (system identification) — método estatístico moderno: aplica perturbações pseudo-aleatórias e ajusta parâmetros K, T a um modelo ARMA.

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12. Zigue-zague e índices K/T + Parâmetro de Norrbin (5.12)

12.1 Ângulo de overshoot e os índices K e T (5.12.1)

Para a manobra de zigue-zague α/α (mesmo ângulo de leme e de inversão), o primeiro ângulo de overshoot α_1 tem expressão analítica em função de K, T, α e da velocidade U:

O comportamento qualitativo é claro:

α_1 cresce com K — navio "mais agressivo" gera mais overshoot.
α_1 cresce com T — navio "preguiçoso" demora a reagir à reversão de leme, daí maior overshoot.
α_1 cresce com U — em alta velocidade, mais sobrepasso (mais espaço percorrido antes da reversão fazer efeito).

Fig. 92 Fig. 92 — Resposta a degrau de leme: ψ(t) com K·δ·T como overshoot + tempos t_1 e T

Fig. 93 Fig. 93 — Curva zigue-zague completa: 8 fases com δ_1...δ_4 + ψ_e e ψ_e² nos picos de overshoot

12.2 Parâmetro de Norrbin (5.12.2)

O parâmetro de Norrbin P é uma medida adimensional do ganho de manobra obtida pela substituição de t' = 1 na equação de primeira ordem de Nomoto. A definição do Santos (5.12.2, md 4411):

P = K' / T'
(razão entre o ganho de guinada adimensional K' e a constante de tempo adimensional T')

Significado físico: P pequeno = navio responde pouco ao leme (T' alto domina = navio "preguiçoso"); P grande = navio responde fortemente (K' alto domina = navio "ágil"). A tabela de Clarke apresentada por Santos (5.12.2 / 5.13) mostra valores medidos de P entre 0,33 e 7,87 para diferentes classes de navios.

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13. Dados experimentais + Aplicação ao projeto (5.13–5.14)

13.1 Dados experimentais (5.13)

O Santos apresenta tabelas com valores individuais de K' e T' (Nomoto 5.8.2; Clarke 5.12.2 / 5.13). Os valores típicos abaixo são faixas síntese editorial a partir desses dados:

Síntese editorial — faixas de K' e T' por classe. A tabela original de Nomoto traz navios individuais com valores pontuais; esta é uma síntese agregada por classe. Use os valores apenas como ordem de grandeza orientativa.

Classe	K' (adim)	T (s)
Cargueiros médios (handysize, supramax)	0,5 a 1,5	20 a 80
Petroleiros e graneleiros grandes (VLCC, Capesize)	1,5 a 3,0	80 a 300
Navios contêineros	0,8 a 2,0	30 a 100
Fragatas, rebocadores (alta manobrabilidade)	0,3 a 0,8	5 a 30

Tendências: navios maiores → T maior (mais inércia, mais lentos). Navios mais finos (L/B grande) → K' menor (mais estáveis, menos manobráveis).

13.2 Aplicação ao projeto (5.14)

Na fase de projeto, K e T são preditos a partir de:

Geometria do casco (L/B, B/T, C_b, área de skeg) → derivadas Y_v, N_r, N_v.
Geometria do leme (área, razão de aspecto, posição) → N_δ.
Configuração propulsiva (1 ou 2 hélices, azimutal, etc.).

Métodos: regressões empíricas (Inoue, Kijima), CFD, ou simulação em tanque com modelo de escala.

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★ 14. Critérios IMO 137(76) (5.15)

A Resolução IMO 137(76) — Standards for Ship Manoeuvrability — estabelece critérios numéricos para validar a manobrabilidade de navios novos. Aplica-se a navios com L_PP > 100 m e a todos os gaseiros/químicos independente do comprimento.

14.1 Critério para a curva de zigue-zague 10°/10°

O 1º ângulo de overshoot α_1 deve atender:

Condição	α_1 máximo permitido
L_PP/U < 10 s	10°
10 s ≤ L_PP/U ≤ 30 s	(5 + 1/2 · L_PP/U)° (interpolação)
L_PP/U > 30 s	20°

O 2º ângulo de overshoot α_2 deve atender:

Condição	α_2 máximo permitido
L_PP/U < 10 s	25°
10 s ≤ L_PP/U ≤ 30 s	(17,5 + 0,75 · L_PP/U)°
L_PP/U > 30 s	40°

14.2 Critério para a curva de zigue-zague 20°/20°

O 2º ângulo de overshoot não deve exceder 25° (limite fixo, independente de L_PP/U). Santos (5.15, md 4540).

Por que duas manobras (10°/10° e 20°/20°)? A 10°/10° avalia comportamento em manobras suaves, típicas de correções de rumo em mar aberto. A 20°/20° avalia manobras agressivas, típicas de evasão (collision avoidance) ou início de curva fechada. Um navio precisa atender AMBOS os critérios.

14.3 Critério para a estabilidade direcional (curva espiral)

O critério da largura máxima do loop de histerese é definido no Cap. 4 do Santos (Resolução IMO 137(76) parte espiral) — varia de 0° (navios rápidos com L_PP/V baixo) a 12° (navios lentos com L_PP/V alto). Para detalhes numéricos, consultar Cap. 4 (Section 17 do WAL Cap.4).

Tradução prática. Os critérios IMO são desenhados para garantir que um timoneiro mediano consiga controlar o navio manualmente em situações de emergência. Navios que falham em 137(76) precisam de piloto automático sofisticado, restrições operacionais (sem manobra em águas confinadas sem rebocador), ou modificações de casco/leme.