MMPH · Cap.3 Movimento do Navio em Ondas Regulares — Princípios de Hidrodinâmica (Santos)

ProblemaSeakeeping = resposta do navio às ondas. Mar real é irregular; parte-se do mar regular (altura, comprimento e período constantes) → trata-se como oscilação harmônica forçada.

Adota-se a abordagem linear: amplitudes de movimento e de onda divididas pelo comprimento L são pequenas → vale a teoria das pequenas perturbações.

Os 6 graus de liberdade

Índice	Movimento	Tipo
1 · 2 · 3	surge (x) · sway (y) · heave (z)	translações
4 · 5 · 6	roll (φ) · pitch (θ) · yaw (ψ)	rotações

Equação de movimento escrita nos eixos solidários ao navio (não inercial), via 2ª lei de Newton.

**Fig. 71** — Figura 71 — trem de ondas regulares (λ, altura H, celeridade C)

**Fig. 72** — Figura 72 — os 6 graus de liberdade do navio (surge/sway/heave, roll/pitch/yaw)

Frequência de encontro ω_e

OrigemMesmo princípio do efeito Doppler: com velocidade do navio, o comprimento aparente da onda muda e o navio "recebe" outra frequência.

ω_e = ω(1 − (ωV/g)·cosμ) › V = velocidade do navio › μ = aproamento relativo onda/navio

**Fig. 73** — Figura 73 — definições SNAME do navio em ondas regulares

Mar de través (μ = 90°): cosμ = 0 → ω_e = ω.
Mar de proa: cosμ negativo → ω_e sempre positiva.
Mar de popa (following seas): cosμ positivo → ω_e sobe, atinge máximo, cruza o zero e fica negativa.

**Fig. 74** — Figura 74 — ângulos de aproamento à onda (proa 180°, popa 0°, través 90°)

Em following seas uma mesma ω_e corresponde a duas frequências de onda distintas — não há solução única. ω_e positiva aí significa que as ondas ultrapassam o navio.

Ex. (Lloyd): navio a 20 nós (10,3 m/s), mar pela popa, |ω_e| = 0,2 rad/s → surgem três ondas fisicamente válidas com igual módulo de ω_e. Por alhetas (μ=45°), ondas de 50 a ~400 m têm ω_e quase igual (~0,3 rad/s).

Três tipos de movimento segundo a frequência

Tipo	Descrição
Na frequência da onda	excitação linear na faixa com energia; em navios cai em períodos de 6 a 20 s.
Deriva média	carregamento permanente de 2ª ordem; nula no plano vertical; no horizontal (surge/sway/yaw) o navio abate (sem restauração).
Deriva lenta	só em mar irregular; frequências muito baixas ligadas ao grupo de ondas; excursões lentas mas de grande amplitude.

Abordagem por um grau de liberdade

heave, pitch e roll são fortemente acoplados (roll→heave, pitch→heave); têm forças de restauração hidrostáticas.
surge, sway e yaw: não têm forças de restauração; pesam menos na oscilação; sway e yaw sofrem mais a deriva das ondas.
Simetria longitudinal desacopla: força em x não produz sway.

Broaching: com mar de ré + baixa frequência de encontro, embarcações de baixa altura metacêntrica podem ficar atravessadas às ondas — risco de emborcar.

Navio parado, forçado para baixo e solto: empuxo > peso → sobe; inércia → passa do equilíbrio; peso > empuxo → freia. Movimento harmônico simples (sem amortecimento).

Força de restauração hidrostática

c_r = ρg·A_wp › A_wp = L·B·C_wp (área de flutuação) › mesmo conceito do TPC (toneladas por centímetro de imersão)

Massa adicional & massa virtual

Massa adicional a₃₃Ao acelerar o navio acelera-se também fluido junto ao casco, que reage. NÃO é massa acrescentada — é uma força de resistência do fluido; se aceleração = 0, a₃₃ = 0.

Massa virtual = Δ + a₃₃ (massa do navio + massa adicional). a₃₃ é da mesma ordem de grandeza da massa do navio → determiná-la é decisivo.

Frequência e período naturais

ω_nz = √( ρg·A_wp / (Δ + a₃₃) ) › T_nz = 2π·√( (Δ+a₃₃) / ρg·A_wp )

**Fig. 81** — Figura 81 — movimento harmônico simples: fasor projetado na senoide

Menor área de flutuação → maior período natural. Por isso semissubmersíveis e navios Swath (small waterplane area twin hull) sofrem pouco a ressonância com as ondas dominantes.

Amortecimento	∝	Quando importa
Potencial (ondas irradiadas)	velocidade	domina em pequenos deslocamentos
Viscoso (camada-limite, vórtices)	velocidade²	só em grande amplitude (desprezível no heave linear)

O discriminante decide o regime

Discriminante	Raízes	Regime
< 0	complexas conjugadas	subamortecido (oscila)
= 0	reais iguais	crítico (não oscila)
> 0	reais distintas	superamortecido (não oscila)

No navio o amortecimento é sempre menor que a massa virtual → discriminante sempre < 0 → o movimento é sempre subamortecido (decaimento exponencial oscilatório).

Razão de amortecimento ξ (adimensional)

ξ = b₃₃ / b_crit › b_crit = 2·√((Δ+a₃₃)·c₃₃) › reúne massa, amortecimento e restauração

Ordem de ξno navio, ~10⁻¹ em heave e ~10⁻² em roll.

RAOResponse Amplitude Operator = razão entre amplitude de resposta do navio e amplitude da força/onda (fator de amplificação dinâmica).

Amplitude z_nF₀ no numerador (maior força → maior movimento); amortecimento γ no denominador (maior amortecimento → menor amplitude).

As três regiões

Região	Frequência	Domina	Fase / movimento
1	baixa (λ > L)	restauração	em fase → navio sobe/desce com a onda
2	≈ natural (ressonância)	amortecimento	fase π/2; movimento máximo
3	alta (λ < L)	inércia + massa adicional	oposição (fase π); quase sem movimento

Na Região 3, com inércia dominando, quando a onda sobe o navio desce — risco por redução de borda livre. Períodos inferiores a 6 s não produzem movimento vertical no navio.

A Região 2 é a mais importante: em heave e roll o período natural fica entre 10 e 17 s — sem amortecimento a amplitude iria ao infinito.

Navio × rebocador: efeitos opostos

Período < 6 s: navio na Região 3 (calmo), rebocador na Região 1 → sobe/desce (crítico).
Período > 10 s: inverte — navio vai à Região 2 (crítica), rebocador fica na Região 1.

A frequência de amplitude máxima ω_máx fica um pouco abaixo de ω_ns; quanto maior o amortecimento, mais à esquerda da natural.

**Fig. 89** — Figura 89 — resposta em frequência R(ω) — amortecimento sub/crítico/supercrítico

Força	Origem	Chave
Froude-Krylov (F₁)	pressão da onda incidente	hipótese do navio "transparente"/"fantasma" (casco não perturba a onda)
Difração (F₀)	onda desviada pelo casco fixo (impenetrabilidade)	onda é difratada, não refletida
Radiação (F_R)	ondas que o casco irradia ao oscilar	F_R = −a·z̈ − b·ż (aceleração + velocidade)
Restauração (F_S)	variação da força hidrostática	F_S = −c₃₃·z

Histórico: Froude (1861) tratou do roll dos vapores; Krylov (1896), heave e pitch — ambos usando só a pressão do campo incidente não perturbado.

Força de excitação total = difração + Froude-Krylov: F_E = F₁ + F₀.

Armadilha: a força de restauração não é a hidrostática total — é a diferença deslocamento−empuxo instantânea. O coeficiente c₃₃ existe só para o heave.

Equação de movimento do heave (1 GdL)

(Δ + a_z)·z̈ + b_z·ż + c_z·z = F_E › forma massa-mola-amortecedor forçada

Reunindo as quatro forças: Δ·z̈ = F₁ + F₀ + F_R + F_S. Toda a dificuldade está em obter os termos hidrodinâmicos a, b e F_E. Num submarino totalmente submerso resta só a parcela proporcional à aceleração.

Depende dea₁ e b₁ não são constantes: dependem da frequência de encontro ω_e (logo de μ, ω e velocidade). Limite útil: quando ω → ∞ o corpo não irradia ondas e a massa adicional independe da frequência.

Conceito proposto por Du Buat (1786): pêndulo oscila mais devagar no fluido. Esfera exata: Poisson (1831), confirmada por Green (1833). Esfera: a_x = (2/3)·ρπR³. Termo só em velocidade dá zero → paradoxo de D'Alembert.

Teoria	Autor	Hipótese
Corpo fino	Michell (1898)	boca ≪ comprimento (ε=f(y)); serve à resistência, não à massa adicional
Corpo esbelto	Munk (1924)	calado ~ boca, ambos ≪ L (ε=f(y,z))
Coef. de Lewis	Lewis (1929)	vibração de alta frequência + mapeamento conforme de Joukowski; σ = A/(B·T)
Separação	Haskind (1946)	separou radiação, difração e incidência
Teoria das faixas	Ursell (1949)	divide o casco em ~20 seções 2D e integra ao longo de L

Strip theory: reduz o problema 3D a uma sucessão de problemas 2D. a₃₃ total = integral seccional de a₃₃^2D(x) ao longo do comprimento. Korvin-Kroukovsky & Jacobs (1957) incluíram velocidade e ω_e.

Ex. Bhattacharya: a₃₃ = 86% da massa do navio. De modo geral a₃₃ aumenta com o coeficiente de bloco C_B e com B/L.

**Fig. 99** — Figura 99 — integração seccional do casco

**Fig. 103** — Figura 103 — teoria das faixas (strip theory)

**Fig. 105** — Figura 105 — coeficiente de massa adicional C (formas de Grim) — família por B/T e βₙ (multipainel)

Limitações da strip theory: só corpos esbeltos (L/B > 3); despreza viscosidade; falha em baixas frequências com mar de ré (contornada forçando a excitação a zero); ignora ondas divergentes em Froude > 0,4.

Origem físicaDissipação de energia pelas ondas irradiadas; força ∝ velocidade vertical (F = b_ij·ż). O valor sai da conservação de energia: trabalho do casco = energia carregada pelas ondas irradiadas.

**Fig. 108** — Figura 108 — massa adicional adimensional Ā — família por B/T e βₙ (multipainel)

No plano horizontal de navios mercantes o amortecimento dominante é viscoso (ausente na teoria potencial); o amortecimento por ondas só pesa aí para Froude > 0,30.

b_ij tende a zero nos dois extremos de frequência: oscilação muito lenta quase não irradia onda; muito rápida gera ondas desprezíveis. É decisivo na ressonância (limita a amplitude); longe dela governa a fase.

Conclusões de testes

Amortecimento em heave ∝ ao quadrado da área do plano de flutuação.
Seções em V amortecem mais que seções em U para igual área de flutuação.
Quanto maior a velocidade de avanço, menor o amortecimento em heave (figuras 110 e 111).

**Fig. 110** — Figura 110 — amortecimento de arfagem vs frequência (L/B, B/T, C_B)

Efeito SmithFator exponencial de decaimento com a profundidade, e^−kT: a pressão da onda sobre o casco diminui à medida que o calado T aumenta. Documentado por W. E. Smith (1883).

RAOFunção de transferência = razão entre amplitude do movimento e amplitude da onda (com o fator e^−kT).

Comportamento típico (3 regimes)

Frequência	RAO	Resposta
→ 0 (ondas longas)	RAO = 1	navio acompanha a onda em heave
≈ natural	máximo	movimento máximo
alta (ondas curtas)	→ 0	quase não responde

Maior amplitude de resposta com mar pelo través (todo o navio acompanha a onda; resposta pode superar a própria onda); menor resposta com mar de vante. Pico um pouco antes da frequência natural.

Notação complexa (z = ẑ·e^−iωt): cada derivação temporal vira apenas um fator → a equação diferencial vira produto algébrico. O movimento do navio fica sempre atrasado em relação à onda e à força.

Definiçãopitch θ(t) = rotação em torno do eixo y; movimento com restauração (momento que se opõe ao afastamento, linear para pequenos ângulos).

c₅₅ = −Δg·GM_L › raio de giração k_yy = 0,24L a 0,26L › momento de inércia virtual = I_yy + a₅₅

Momento adicional a₅₅ é da mesma ordem do próprio (c_y ≈ 1) — constatado por Gerritsma. Período natural: navio de 300 m ≈ 12 s; de 200 m ≈ 10 s.

Com mar de través (μ→π/2) o pitch é nulo em qualquer frequência. A excitação se anula em razões L/λ ≈ 1,5; 2,5; 3,5 (cristas e cavados equilibrados, sem trim) e tem pico em L/λ ≈ 0,5.

Amortecimento vem sobretudo da irradiação de ondas; b₅₅ via teoria das faixas. Resposta máxima com mar de proa.

Definiçãoroll φ(t) = rotação em torno do eixo x; restauração linear via GM_T.

Roll produz poucas ondas e dissipa pouca energia → amortecimento potencial é insuficiente. É obrigatório incluir amortecimento viscoso (efeitos não lineares + apêndices como quilhas de balanço). A teoria do potencial, boa para heave e pitch, falha no roll.

Raio de giração k_xx = 0,4B; momento de inércia I_xx ≈ 0,16·ρ∇B².
Momento adicional em roll é pequeno: 10 a 20% do natural → adota-se a₄₄ = 0,15·I_xx.
Projeto (Japão): GM_T = C₁·B/25, com C₁ = 1.

Embarcação	Período natural de roll
Navios mercantes	10 a 17 s
Rebocadores / offshore	5 a 7 s

Precisão do período de roll depende essencialmente da estimativa de GM_T. Momento de excitação obtido pela relação de Haskind (evita resolver a difração explicitamente).

**Fig. 129** — Figura 129 — amplitude do momento de excitação |F₀| vs frequência (fases μ)

surge, sway e yaw: não possuem restauração — as equações reaproveitam as formulações anteriores retirando os termos de restauração. Coeficientes corrigidos para ω_e combinando valores do navio parado com termos em V.

Heave–pitch acoplado

AutoresFormulado em 1957 por Korvin-Kroukovsky & Winnifred R. Jacobs (Stevens Institute). Duas equações que trocam energia por coeficientes cruzados dos índices 3 (heave) e 5 (pitch).

Sway–roll–yaw acoplado

Sistema 3×3Índices 2 (sway), 4 (roll) e 6 (yaw), ligados pelo produto Δz_g (CG acima da linha das forças hidrodinâmicas).

No sistema sway–roll–yaw, só o roll (índice 4) tem restauração (via c₄₄·φ). Solução por autovalores ou pelos agrupamentos P…X do determinante.