MN Cap. 3 — Movimento do Navio em Ondas Regulares

O movimento do navio em ondas regulares

Este capítulo estuda como o navio responde às ondas — o problema de seakeeping. As ondas reais são irregulares, mas partir de um mar regular (ondas de altura e comprimento constantes) permite tratar o movimento como uma oscilação harmônica forçada e aplicar a mecânica clássica junto com a hidrodinâmica. Aqui adota-se a abordagem linear: as amplitudes de movimento e de onda, divididas pelo comprimento do navio, são pequenas, o que autoriza a teoria das pequenas perturbações.

O percurso vai do movimento em um único grau de liberdade até os seis graus de liberdade acoplados, com ênfase em heave, pitch e roll — os movimentos que mais afetam a operação. Para cada um: oscilação livre, com amortecimento, forçada pelas ondas, e a determinação de massa adicional e amortecimento.

Fonte: SANTOS, Edson Mesquita dos. Princípios de hidrodinâmica e ação das ondas sobre o movimento do navio. 1. ed. Rio de Janeiro: CONAPRA, 2021. Cap. 3 — O movimento do navio em ondas regulares.

Edital: Anexo 2-B, Área I (Manobrabilidade), item 9 — I.09 (SANTOS), Cap. 3 · cross-list Área V (Meteorologia, Oceanografia e Navegação), item 4.

1. O mar regular

No mar real as ondas são irregulares e mais ou menos aleatórias: alturas desiguais, velocidades e direções variadas. Ainda assim, o tipo de mar permite visualizar um movimento harmônico forçado, o que autoriza empregar a mecânica clássica em conjunto com a hidrodinâmica. O movimento em ondas regulares serve de base para validar resultados analíticos em tanques de provas. Mesmo regular, esse movimento é de solução difícil por causa das funções que definem as condições de contorno do casco e da superfície livre. Neste capítulo faz-se apenas a abordagem linear do problema.

Um mar regular pode ser gerado em tanque de provas ou criado analiticamente, com comprimento, altura e período constantes

O movimento do navio é descrito por três translações e três rotações em torno dos eixos dessas translações, referidas a um sistema de coordenadas centrado no navio ligado a um referencial externo fixo. Cada movimento recebe um índice

As forças externas que movem o navio dependem fortemente da geometria do casco. Num sistema centrado em referencial inercial, as funções dessas forças variam o tempo todo, porque a posição instantânea do casco muda de forma contínua. Para escapar dessa dificuldade adota-se um sistema solidário ao navio, e é em termos de seus eixos que se escreve a equação de movimento, dada pela segunda lei de Newton.

Assume-se também que o movimento é pequeno: as perturbações das ondas e as respostas do navio são reduzidas. Supõe-se que as amplitudes de movimento ($x, y, z, \theta, \phi, \psi$) divididas pelo comprimento $L$ do navio sejam pequenas, e que a amplitude da onda dividida por $L$ também o seja. Isso habilita a teoria matemática das pequenas perturbações para resolver um problema cheio de não linearidades. Toma-se como entrada primária o perfil de onda $\eta$; as respostas do navio no tempo terão uma fase em relação à ação da onda.

1.1 A frequência de encontro

Ao encontrar o navio, que pode navegar com aproamento e velocidade próprios, as ondas regulares dão origem ao conceito de frequência de encontro

A onda é definida por sua frequência (ou período), sua amplitude e seu número de onda, pelo perfil

Com o navio parado, um observador fixo vê uma crista passar a cada período $T$; a integração das pequenas pressões normais sobre o casco gera a força de excitação da onda, também oscilatória. Com o navio em seguimento, o sistema navio/onda passa a oscilar em outra frequência — a frequência de encontro. É o mesmo princípio do efeito Doppler: com velocidade $u$, o comprimento aparente da onda diminui e o observador vê mais cristas por unidade de tempo, num novo período de encontro.

A frequência de encontro combina a componente da velocidade do navio na direção de propagação da onda com a celeridade da onda

Usando o período da onda $T = \lambda/c$ e, para águas profundas, a relação de dispersão $c = g/\omega$ e $\lambda = g\,\dfrac{2\pi}{\omega^2}$, o desenvolvimento algébrico conduz à forma-chave da frequência de encontro:

Há um corolário importante. Com mar de través ($\mu = 90^\circ$) tem-se $\omega_e = \omega$; com mar de proa $\cos\mu$ é negativo e a frequência de encontro é sempre positiva; com mar de popa $\cos\mu$ é positivo e o comportamento muda

O cruzamento pelo zero ($\omega_e = 0$) ocorre quando a frequência da onda vale $\omega = \dfrac{g}{V\cos\mu}$. O máximo de $\omega_e$ sai de $\dfrac{d\omega_e}{d\omega} = 0$:

ou seja, metade do valor da frequência que zera $\omega_e$; esse valor coincide com o da velocidade de grupo e só existe com mar vindo de ré (following seas). Quando as velocidades do navio e da onda de popa se igualam ($V_w - V\cos\mu = 0$) tem-se o caso semiestático; se $V_w > V\cos\mu$ a onda ultrapassa o navio, e se $V_w < V\cos\mu$ o navio ultrapassa a onda — e o observador a bordo julgará a onda como de proa, não de popa.

Com mar de ré não há solução única: uma mesma $\omega_e$ corresponde a duas frequências $\omega$ distintas (ondas mais longas/rápidas e mais curtas/lentas). A frequência de encontro fica negativa para $\omega$ altos — ondas curtas e lentas sendo ultrapassadas pelo navio; logo, $\omega_e$ positiva em mar de ré significa que as ondas ultrapassam o navio. Reescrevendo a equação, a frequência da onda para mar de ré é

A onda 1 é longa e muito rápida (ultrapassa o navio com ~47 nós relativos); a onda 2 é curta e lenta (ultrapassa com ~8,5 nós); a onda 3, curtíssima, é ultrapassada pelo navio, dando $\omega_e$ negativa. Também se pode relacionar a componente $V\cos\mu$ com a frequência de encontro e montar um diagrama que fornece o comprimento de onda para qualquer $\omega_e$

2. Tipos de movimento segundo a frequência

Há três possibilidades para o movimento do navio conforme a frequência envolvida.

1. Movimento na frequência da onda — movimento linearmente excitado na faixa de frequências de onda com energia significativa; em navios cai nos períodos de 6 a 20 s.

2. Movimento de deriva média — devido ao carregamento permanente de componentes de segunda ordem das ondas, mesmo em mar regular. No plano vertical a deriva média é nula; no plano horizontal (surge, sway e yaw), por não haver forças de restauração, o navio abate como sob corrente ou vento constante.

3. Movimento de deriva lenta — abatimentos no plano horizontal presenciados em mar irregular, em frequências muito baixas ligadas ao grupo de ondas, em que as forças geram excursões lentas mas de grande amplitude.

3. Movimento em um único grau de liberdade

O navio tem seis graus de liberdade, e para descrever seu movimento completo é preciso considerar todas as translações e rotações. Em geral esses movimentos são acoplados: roll leva a heave, pitch também leva a heave — heave, pitch e roll são fortemente acoplados. Alguns desacoplam por simetria: num navio simétrico em relação ao eixo longitudinal $x$, uma força em $x$ não produz sway.

Neste capítulo, por didatismo, faz-se primeiro a abordagem linear para um grau de liberdade, desprezando acoplamentos e lembrando que o movimento é muito pequeno em relação ao comprimento do navio. Em surge, sway e yaw o navio não tem forças de restauração; nos demais casos, forças hidrostáticas tendem a devolvê-lo à posição inicial. Do ponto de vista do movimento em ondas, surge, sway e yaw pesam menos na oscilação, e sway e yaw são mais afetados pela deriva devida às ondas.

4. Análise no plano vertical

Analisa-se primeiro o heave puro, que serve de base para pitch e roll. O movimento em qualquer grau de liberdade é modelado matematicamente por um sistema massa-mola com amortecimento submetido a uma força externa oscilatória, estudado por partes como nos cursos de vibração.

A primeira abordagem é a oscilação livre sem amortecimento, que evidencia a importância da restauração hidrostática e determina a frequência natural. A segunda inclui as forças de amortecimento (sempre ligadas à velocidade), realçando o amortecimento como dissipação de energia e a metodologia clássica de solução. A terceira trata do movimento oscilatório forçado e da determinação dos parâmetros hidrodinâmicos — massa adicional e amortecimento potencial: como as forças inerciais dominam, erros na inclusão dessas componentes são fatais para a precisão do movimento. A quarta (fora deste bloco) submete o navio à força incidente das ondas regulares que difratam no casco, atuando junto com a restauração hidrostática e a radiação de ondas.

5. Heave em oscilação livre

Suponha o navio parado e em equilíbrio, sem qualquer força ambiental, forçado para baixo e solto de repente. Como o empuxo excede o peso, ele sobe; ao passar pelo equilíbrio continua subindo por inércia, agora com o peso maior que o empuxo, o que o freia; no ponto mais alto desce de novo, e o ciclo se repetiria indefinidamente se não houvesse amortecimento. Esse movimento harmônico simples caracteriza a oscilação livre.

A distância entre a posição extrema e o equilíbrio é a amplitude do heave; o tempo de um ciclo é o período de heave. Sem amortecimento, o período independe da amplitude e é o período natural; seu recíproco é a frequência natural em heave.

5.1 A força de restauração hidrostática

A força de restauração é um empuxo adicional que atua no plano vertical e tende a reduzir a cota $z$

em que $A_{wp} = L B C_{wp}$ é a área de flutuação (com $C_{wp}$ o coeficiente da área de flutuação). O coeficiente de restauração é, então, uma constante de proporcionalidade diretamente ligada a essa área:

Conclui-se que quanto menor a área de flutuação, maior o período natural; quanto maior a área, menor o período.

5.2 Massa adicional e massa virtual

A equação do heave é a segunda lei de Newton, $\Delta\,\ddot z = -\rho g A_{wp}\,z$, com $\Delta$ a massa do navio. Adotando índices que preservem a origem dos coeficientes em movimentos acoplados, escreve-se a restauração como $F_3 = c_{33}\,z$ ($k$ indica o sentido da força e $j$ o do movimento).

Ao acelerar o navio, acelera-se também parte do fluido junto ao casco, que reage com uma força de desaceleração $a_{33}\,\ddot z$, sendo $a_{33}$ a massa adicional. A equação da oscilação livre passa a

A massa virtual $\Delta + a_{33}$ combina a massa do navio com a massa adicional. Cuidado com o nome: a massa adicional não é massa acrescentada, e sim uma força de resistência que o fluido opõe ao movimento — na teoria potencial só há força normal, que decai ao se afastar do corpo. Quando a aceleração do navio é zero, a massa adicional é zero.

5.3 Solução e frequência natural

A solução da equação diferencial, bem conhecida da oscilação mecânica, é

com $A$ e $B$ obtidos das condições iniciais. A frequência natural em heave é

e o período natural,

constante e independente da amplitude (válido só para movimentos pequenos ou moderados). Quanto menor o coeficiente da área de flutuação, maior o período natural: por isso plataformas semissubmersíveis e navios tipo Swath (small waterplane area twin hull) sofrem pouco a ressonância com as ondas dominantes.

Como a soma de um seno e um cosseno de mesma frequência é um único seno com fase

6. Heave livre com amortecimento

O passo seguinte acrescenta o termo de amortecimento, que mede a capacidade do sistema de dissipar energia. A força de amortecimento é proporcional à velocidade relativa entre as superfícies em movimento separadas por fluido. Para um corpo em heave junto à superfície livre há duas formas:

1. Amortecimento potencial — coeficientes proporcionais à velocidade; representa a energia levada para longe pelas ondas geradas pelo movimento do casco.

2. Amortecimento viscoso — coeficientes proporcionais ao quadrado da velocidade; importa quando a amplitude é grande, por camada-limite, vórtices e separação.

Com os dois termos, a equação diferencial é

Em pequenos deslocamentos domina o amortecimento por ondas irradiadas, e o termo viscoso é desprezível, restando a forma canônica $m\ddot z + b\dot z + cz = 0$:

6.1 Equação característica e regimes

Com a hipótese clássica $z(t) = z_0 e^{\lambda t}$, chega-se à equação característica $(\Delta + a_{33})\lambda^2 + b_{33}\lambda + c_{33} = 0$, cujas raízes são

O sinal do discriminante $b_{33}^2 - 4(\Delta + a_{33})c_{33}$ decide o regime

6.2 Constante e razão de amortecimento

Reescrevendo o discriminante define-se a constante de amortecimento $\gamma$:

Com $\omega_{ns} = \sqrt{c_{33}/(\Delta + a_{33})}$, o discriminante vira $\sqrt{\gamma^2 - \omega_{ns}^2}$, que define a frequência natural amortecida e o período correspondente:

No navio, $\gamma$ é sempre menor que $\omega_{ns}$. Como a força de amortecimento pode ser grande para um sistema e pequena para outro conforme massas e restaurações, define-se ainda uma grandeza adimensional, a razão de amortecimento $\xi$, que mede diretamente o quanto o sistema está sendo amortecido — a razão entre $\gamma$ e o coeficiente de amortecimento crítico.

O coeficiente de amortecimento crítico sai da condição de discriminante nulo:

Como $b_{33} = 2\gamma(\Delta + a_{33})$, a razão de amortecimento é

Daí $b_{33} = 2\xi(\Delta + a_{33})\,\omega_{\text{cr}}$ e a frequência natural amortecida também se escreve $\omega_d = \omega_{\text{cr}}\sqrt{\xi^2 - 1}$. Exemplos de valores de $\xi$ para os três regimes aparecem no gráfico

Dividindo a equação diferencial pela massa virtual e substituindo os coeficientes por $\omega_{\text{cr}}$ e $\xi$, chega-se à forma clássica usada em controle:

A solução geral soma uma parcela transiente (decai com o tempo, ligada ao decaimento exponencial) a uma parcela permanente:

com $A_0 = \sqrt{A^2 + B^2}$, $\delta_t = \tan^{-1}(B/A)$ e as incógnitas fixadas pelas condições iniciais.

7. Heave forçado

Para o movimento em ondas supõe-se a força de excitação senoidal, $F_0\cos(\omega_n t)$, com $F_0$ a intensidade e $\omega_n$ a frequência de excitação. Ensaios de oscilação forçada com modelos em escala fornecem os coeficientes das equações de movimento e validam cálculos teóricos das forças hidrodinâmicas.

Deles saem três resultados principais: os coeficientes de massa adicional e de amortecimento em várias frequências; a razão entre a amplitude de resposta do navio e a amplitude da força, o fator de amplificação dinâmica ou RAO (response amplitude operator); e as fases entre força e movimento. O primeiro ensaio forçado com modelo de navio foi de Haskind & Rieman (1946), na União Soviética — mostrou que o amortecimento depende de frequência e amplitude (some em altas e baixas frequências) e que a massa adicional depende da frequência, com não linearidades pequenas; confirmado por Gerritsma e Beukelman em Delft (1967).

7.1 Solução da oscilação forçada

Buscam-se duas incógnitas: a amplitude do movimento e a fase. A equação de movimento é

A solução é a soma da homogênea com a particular, $z(t) = z_{\text{hom}} + z_{\text{part}}$. A parcela homogênea reproduz um dos regimes do movimento livre com amortecimento e desaparece com o tempo — é a solução transiente. Interessa a solução permanente $z_{\text{part}}$, que não evanesce.

Adota-se por tentativa (Ansatz) $z_{\text{part}}(t) = C_1\sin(\omega_n t) + C_2\cos(\omega_n t)$. Substituindo na equação e separando os termos em seno e cosseno, com $\omega_{ns} = \sqrt{c_{33}/(\Delta + a_{33})}$ e $\gamma = b_{33}/[2(\Delta + a_{33})]$, resolve-se o sistema e obtém-se a forma compacta $z_{\text{part}}(t) = z_n\cos(\omega_n t + \delta_1)$, com amplitude e fase:

Essa solução permanente independe das condições iniciais. No numerador de $z_n$ está $F_0$: quanto maior a força da onda, maior o movimento. O amortecimento $\gamma$ está no denominador: quanto maior o amortecimento, menor a amplitude.

7.2 Casos-limite e as três regiões

Nos extremos de frequência o comportamento se simplifica

$\omega_n \to 0$ (onda muito longa frente ao navio): $z_n = \dfrac{F_0}{c_{33}}$, com fase $\delta_1 \to 0$. Massa adicional e amortecimento são desprezíveis, o navio quase não irradia ondas e só a restauração hidrostática se opõe à excitação — o movimento fica em fase com a onda (a embarcação sobe e desce com ela). Como $T_e \to \infty$, com período de encontro de 10 minutos e 1 m de amplitude, o observador tem a falsa impressão de que não há heave.

$\omega_n \to \infty$ (onda curta e rápida): $z_n = -\dfrac{F_0}{(\Delta + a_{33})\,\omega_n^2}$. O sinal negativo indica inversão de fase ($\delta_1 = \pi$) e $z_n \to 0$. Inércia e massa adicional dominam, o amortecimento pouco importa, e o movimento do navio fica em oposição ao da onda.

$\omega_n \to \omega_{ns}$ (ressonância): como no navio $\xi < 1$, a amplitude cresce por um fator de amplificação dinâmica $\mu$ inversamente proporcional a $\xi$, com fase $\delta = \pi/2$:

Definem-se assim três regiões

7.3 Navio e rebocador: efeitos opostos

Numa operação portuária, uma mesma onda pode afetar de forma oposta navio e rebocador

7.4 Amplitude máxima

A frequência de amplitude máxima $\omega_{\max}$ não ocorre exatamente em $\omega_e = \omega_{ns}$, mas um pouco abaixo. De $\dfrac{d z_n}{d\omega_e} = 0$:

Quanto maior o fator de amplificação $\mu$, mais $\omega_{\max}$ se aproxima de $\omega_{ns}$. A amplitude máxima é um pouco maior que $F_0/c_{33}\cdot\mu$:

Quanto maior o amortecimento, mais à esquerda da frequência natural fica $\omega_{\max}$

8. As forças de excitação devidas às ondas

As forças que o mar impõe ao navio têm duas origens: as ondas do próprio mar e as ondas que o casco irradia ao oscilar. O livro organiza tudo isso em quatro componentes básicas: a força de pressão da onda incidente (Froude-Krylov), a força de difração, a força de radiação e a força de restauração. Cada uma responde por um pedaço distinto da interação navio-fluido, e a soma delas alimenta a equação de movimento.

8.1. A força de Froude-Krylov

É a força de pressão que a onda do mar incidente exerce sobre o casco. A ideia nasce dos primeiros estudos de movimento em ondas: Froude (1861) tratou do roll dos vapores, que já não contavam com o efeito amortecedor das velas, e Krylov (1896) investigou heave e pitch. Ambos, de forma independente, calcularam a excitação considerando apenas a pressão do campo de ondas incidente não perturbado pela presença do navio.

A hipótese central é a do navio “transparente” ou “fantasma”: o casco não perturba o fluido e o perfil da onda não se altera por sua presença. Conhecendo a posição de cada elemento de área molhada $ds$, a velocidade do navio e a celeridade da onda, determina-se o campo potencial e a pressão em cada $ds$. Integrando a pressão normal em toda a área molhada obtém-se a força de Froude-Krylov $F_1$.

8.2. A força de difração de ondas

A segunda força surge justamente porque o navio não é invisível: a água não pode atravessá-lo (impenetrabilidade). Ela é avaliada com o navio fixo, sem movimento. A onda incidente, ao encontrar o casco, não o ultrapassa e sofre desvio de trajetória — é difratada, não simplesmente refletida. Junto ao corpo, as componentes normais de velocidade das partículas devem ser nulas, e para satisfazer essa condição nascem ondas que se propagam para o fluido e interagem com a incidente.

O efeito é que a energia que viajava na direção da onda incidente se espalha em outras direções, modificando a força de pressão sobre o casco. Essa componente é abreviada por $F_0$. É comum reunir difração e incidência numa única força de excitação da onda $F_E$.

8.3. A força de radiação de ondas

A terceira força é a que um casco em oscilação exerce sobre um mar calmo. Ao oscilar, o navio irradia um novo sistema de ondas e, por estar acelerando o escoamento em fase com ele, provoca (pela terceira lei de Newton) uma reação de igual intensidade e sentido contrário. Essa é a força de radiação $F_R$.

Classicamente ela se divide em dois termos: um proporcional à aceleração e outro à velocidade do navio, sendo $z$ o ponto onde se avalia a pressão na superfície do corpo.

8.4. A força de restauração

A quarta força vem da variação da força hidrostática quando o navio oscila. Ao afundar, o calado aumenta e com ele a pressão; essa diferença de força hidrostática é a força de restauração $F_S$. Ela é linearmente dependente do deslocamento e, no heave, guarda semelhança com o conceito de toneladas por centímetro de imersão (TPC), sendo proporcional ao calado.

Atenção a uma armadilha: a força de restauração não é a hidrostática total, mas a diferença entre deslocamento e empuxo num dado instante, dependente da geometria do casco. Em heave, $F_S = -c_{33}z$. O coeficiente $c_{33}$ existe apenas para o heave; para um navio simétrico BE/BB com origem no centro de flutuação, a matriz de restauração assume forma esparsa.

9. A equação de movimento para heave

Reunindo as quatro forças, a mecânica newtoniana escreve o movimento vertical (um grau de liberdade) como $\Delta\ddot{z} = F_1 + F_0 + F_R + F_S$. Substituindo a radiação $F_R = -a_z\ddot z - b_z\dot z$, a restauração $F_S = -c_z z$ e agrupando $F_E = F_1 + F_0$, chega-se à equação canônica de um sistema massa-mola amortecido sob excitação externa.

Três termos merecem nome próprio: $a_z$ é a massa adicional; $b$ é o amortecimento devido à irradiação de ondas; e a soma $\Delta + a_z$ é a massa virtual. A estrutura da equação já é conhecida (oscilação forçada), de modo que toda a dificuldade se concentra em obter os termos hidrodinâmicos $a$, $b$ e $F_E$.

Incorporando a frequência de encontro $\omega_e$, a mesma equação reaparece com a excitação harmônica explícita, em que $\delta_1$ é a fase que depende de como o movimento foi iniciado. Aqui $a_{33}$ é a massa adicional em heave, $b_{33}$ seu amortecimento e $c_{33}$ a restauração.

Com $c_{33}$ já conhecido, ele governa a força de restauração ($c_{33}z$), a frequência natural e o período natural de oscilação.

10. A determinação da massa adicional

Os parâmetros da força de irradiação — massa adicional $a_1$ e amortecimento $b_1$ — não são constantes: dependem da frequência de encontro $\omega_e$, que por sua vez é função do ângulo de aproamento $\mu$, da frequência da onda $\omega$ e da velocidade $u$. A massa adicional relaciona a aceleração do corpo imerso com a força de inércia fluida, de modo análogo à segunda lei de Newton: multiplicá-la pela aceleração dá a força de inércia do fluido.

O conceito foi proposto por Chevalier Du Buat na França em 1786, ao notar que um pêndulo oscilava mais devagar dentro de um fluido do que no vácuo — sinal de uma resistência inercial extra. A expressão exata para a esfera veio com Poisson (1831), confirmada por George Green (1833) para o elipsoide, sob escoamento potencial e pequenas oscilações.

Para corpos flutuantes ou próximos à superfície, a massa adicional depende da frequência de oscilação. Há um limite útil: quando $\omega_d \rightarrow \infty$ o corpo não irradia ondas e a massa adicional passa a ser independente da frequência — fato que Lewis explorará adiante. Para um submarino distante da superfície, ela é constante, função apenas da forma e de corpos vizinhos.

Demonstra-se o cálculo para uma esfera de raio $R$ em escoamento potencial, integrando a pressão normal em cada elemento infinitesimal de área.

No mesmo cálculo, o termo dependente apenas da velocidade dá zero: é o paradoxo de D’Alembert — num escoamento permanente, potencial e sem circulação, a força resultante sobre o obstáculo é nula. De modo geral, a massa adicional é função da geometria, $a_i = \pi\,f(\text{geometria})$. Brennen (Caltech) tabela valores para formas simples:

Forma	Massa adicional	Figura
Cilindro infinito	$a_{11}=a_{22}=\rho\pi a^2$
Quadrado infinito	$a_{11}=a_{22}=4{,}754\,\rho\pi a^2$
Placa plana	$a_{11}=0,\;\; a_{22}=\rho\pi a^2$
Elipsoide	$a_{11}=\rho\pi a^2,\;\; a_{22}=\rho\pi b^2$

No índice $a_{ij}$, o primeiro índice indica a direção do movimento e o segundo a direção da aceleração. O problema é que a carena de um navio é muito mais complexa que essas formas. Por isso surgiram teorias que aproximam a geometria do casco por condições de contorno mais simples. Essas condições, não lineares, são hoje chamadas de Neumann-Stokes: a de Stokes descreve a superfície livre; a de Neumann, o contorno do corpo imerso.

A ferramenta comum é a teoria das pequenas perturbações, com um parâmetro $\varepsilon$. Quando $\varepsilon$ depende só de $y$, configura-se a condição de contorno da teoria do corpo fino; quando depende de $y$ e $z$, tem-se o parâmetro de esbeltez da teoria do corpo esbelto.

10.1. A teoria do corpo fino

O primeiro tratamento analítico da resistência total de um navio foi de John Henry Michell (1898), que trabalhou com escoamento potencial ($\nabla^2\phi = 0$) e linearizou as condições de contorno. Sua hipótese: a boca é muito pequena frente ao comprimento e ao calado ($\varepsilon = f(y)$), de modo que a condição de contorno é aplicada na linha do eixo longitudinal — como se o navio fosse uma placa plana vertical se movendo longitudinalmente, representada por fontes de Kelvin distribuídas.

O trabalho de Michell ficou esquecido até Sir Havelock redescobri-lo e aperfeiçoá-lo em 1929, já com a teoria do corpo esbelto, que a aeronáutica usava com sucesso.

10.2. A teoria do corpo esbelto

As formas dos navios não são finas, mas esbeltas: o calado é da mesma ordem da boca, e ambos são pequenos frente ao comprimento ($\varepsilon = f(y,z)$). A teoria foi desenvolvida por Munk (1924) para forças em aviões a baixa velocidade. Na superfície livre, sua hipótese-chave é que o comprimento da onda irradiada pelo navio é da ordem do comprimento do navio, o que simplifica muito a condição de contorno: o casco reduz-se a uma “linha” de singularidades.

10.3. Os coeficientes de massa adicional de Lewis

Em 1929, Lewis teve a ideia de medir a massa adicional pela vibração de alta frequência do casco de um navio parado, aproveitando que em $\omega_d \rightarrow \infty$ não há irradiação de ondas e a massa adicional independe da frequência. Para ligar a geometria conhecida do cilindro 2D à seção transversal real do navio, ele recorreu ao mapeamento conforme de Joukowski, que transforma uma seção arbitrária num semicírculo equivalente em outro plano complexo.

Lewis demonstrou que a massa adicional em heave para frequência muito alta depende de $B/2T$ e do fator $\sigma = A/(BT)$, com $B$ a boca, $T$ o calado e $A$ a área da seção. Como as ordenadas usam metade do calado e metade da área, o valor $a_{33}^{2D}$ é o dobro do lido no gráfico.

O método de Lewis deu resultados satisfatórios numa época sem computadores. Restava, porém, um problema: incluir a perturbação do escoamento pela presença do navio, ou seja, determinar o amortecimento na frequência das ondas do mar.

10.4. A proposta de Haskind

Em 1946, Haskind foi o primeiro a separar o potencial de velocidades não permanente em contribuições de radiação, difração e incidência. Estudando heave e pitch, aplicou pela primeira vez o teorema de Green para o potencial dos movimentos oscilatórios, com uma função de Green representando uma fonte oscilatória próxima à superfície livre, e usou as simplificações do corpo fino para resolver a equação integral.

10.5. A teoria das faixas

Em 1949, Ursell aplicou o método das faixas ao navio oscilando na superfície livre. A ideia é dividir o casco em fatias (faixas), avaliar as forças hidrodinâmicas em cada uma e integrá-las ao longo do comprimento — reduzindo o problema 3D a uma sucessão de problemas 2D. Ursell resolveu o escoamento oscilatório em torno de uma seção semicircular em heave, representando o potencial por uma soma de singularidades que satisfaziam as condições de superfície livre e radiação.

A strip theory assume que o escoamento de cada seção tem apenas as direções vertical e transversal — as ondas geradas propagam-se perpendicularmente ao eixo longitudinal. Isso exige navio esbelto, velocidade pequena e ondas de comprimento pequeno frente ao navio. O casco é dividido tipicamente em cerca de 20 seções, cada uma tratada como um semicilindro de comprimento infinito (método 2D).

Calculada a massa adicional 2D por seção, $a_{33}^{2D}(x)$, a massa adicional total do navio é a integral ao longo do comprimento.

Em 1957, Korvin-Kroukovsky e Winnifred R. Jacobs foram os primeiros a incluir o efeito da velocidade e da frequência de encontro nos resultados 2D, descrevendo adequadamente heave e pitch em mar de vante com velocidade avante — apesar de o modelo ter sido, a princípio, montado por intuição. Tasai (1959), Grim (1960) e Porter (1960) combinaram a transformação conforme de Lewis com o método de Ursell.

Grim, sabendo que a massa adicional do cilindro 2D vale metade da do cilindro, relacionou as seções esbeltas por um coeficiente de ajuste $C$, função da razão calado/boca, do coeficiente de área seccional e da frequência.

$$a_{33}^{2D} = C\,\frac{\rho\pi B_n^2}{8}$$ — método de Grim: $B_n$ é o diâmetro equivalente e $C$ o coeficiente geométrico lido nas formas de Grim.

Fazendo $B_n = 2\gamma(x)$, com $\gamma(x)$ a meia-boca no plano de linha d’água, a massa adicional 3D fica $a_{33} = \int C\,\gamma^2(x)\,dx$. Um exemplo clássico é o de Rameswar Bhattacharya (Annapolis), que calcula $a_{33}$ de um modelo em 14 passos usando as formas de Grim e integração de Simpson.

Exemplo Bhattacharya: para o modelo (L = 5,85216 m; B = 0,7900416 m; T = 0,3486912 m; $\Delta$ = 1287,0048 N·s²/m; $\omega_w$ = 3,245 rad/s; $\omega_e$ = 4,811 rad/s), a integração de Simpson dá $a_{33} = \tfrac{1}{3}\times 1{,}46304 \times 2264{,}81 = 1104{,}50$ N·s²/m — ou seja, a massa adicional em heave vale 86% da massa do navio.

A evolução seguiu: Frank (1967) generalizou as forças 2D de seções arbitrárias com fontes pulsantes de Green (sem transformação conforme, mas sujeito a frequências irregulares); Ogilvie e Tuck (1969) formularam a teoria racional das faixas com os termos $m_j$; Salvensen, Tuck e Faltinsen (1970) produziram a versão mais bem fundamentada e hoje mais popular, com cinco graus de liberdade e efeito de velocidade por pós-processamento, base de programas como MAXSURF e SEAWAY; Keil (1974) tratou águas rasas; Ikeda, Himeno e Tanaka (1978) acrescentaram amortecimento viscoso ao roll; e Newman (1985) originou o código WAMIT.

As limitações da teoria das faixas: vale só para corpos esbeltos ($L/B > 3$); despreza efeitos viscosos (potencial), tratando o roll por definições empíricas; falha em baixas frequências com mar de ré (contornada forçando a excitação a zero); ignora ondas divergentes em alta velocidade (Froude > 0,4); é linear e supõe movimentos verticais pequenos; e só considera efeitos abaixo da linha d’água, sem distinguir formas de casco acima dela.

De modo geral, o coeficiente de massa adicional em heave aumenta com o coeficiente de bloco $c_B$ e com a razão boca/comprimento $B/L$. Embora aqui só se tenha calculado $a_{33}$, toda embarcação tem 18 valores de massa adicional, dispostos numa matriz simétrica; com simetria BE/BB e origem no centro de flutuação, ela se torna esparsa.

11. O coeficiente de amortecimento

O coeficiente de amortecimento hidrodinâmico $b_{ij}$ está associado à dissipação de energia pelas ondas irradiadas, e a força correspondente é proporcional à velocidade vertical, $F_{Damp} = b_{ij}\,\dot z$. Essa formulação vale para os movimentos verticais. No plano horizontal, em navios mercantes, o amortecimento dominante é viscoso (atrito e vórtices), ausente na teoria potencial; o amortecimento por ondas só pesa no plano horizontal para embarcações de alta velocidade (Froude > 0,30).

Historicamente, o problema nasceu do estudo da resistência de ondas: William Froude (1868, Inglaterra) definiu a resistência total como soma de uma componente friccional e outra devida às ondas, e Krylov (1896, Rússia) chegou a conclusões semelhantes.

O coeficiente $b_{ij}$ tende a zero em ambos os extremos de frequência: um corpo que oscila muito lentamente quase não irradia onda, e um que oscila muito rápido gera ondas de amplitude desprezível.

O valor de $b_{33}^{2D}$ vem do princípio de conservação de energia: iguala-se o trabalho realizado pela força do casco numa oscilação completa em heave à energia carregada pelas ondas irradiadas. Como as ondas partem simetricamente para BE e BB, a energia total é o dobro da de um lado.

O livro chega ao mesmo resultado por uma via mais elegante, avaliando a energia total num volume fluido $\Omega$ (cinética + potencial), aplicando o teorema da divergência de Gauss e tomando o valor médio num período.

No exemplo prático, com os mesmos coeficientes de forma de Grim, o amortecimento por unidade de comprimento relaciona-se diretamente com a amplitude da onda irradiada.

$$b_{33} = \frac{\rho g^2 \bar{A}^2}{\omega_0^2}$$ — amortecimento seccional em heave; $\bar{A}$ é a razão entre a amplitude da onda irradiada e a amplitude do movimento em heave.

O valor 3D é a integral seccional $b_{33} = \int b_{33}^{2D}(x)\,dx$. Aplicando ao mesmo modelo do exemplo anterior (via Simpson, soma 3190,58), obtém-se $b_{33} = \tfrac{1}{3}\times 1{,}46304 \times 3190{,}583 = 1555{,}984$ N·s/m.

Dos testes com modelos e da teoria, conclui-se que: o amortecimento em heave é proporcional ao quadrado da área do plano de flutuação; seções em V amortecem mais que seções em U para igual área de flutuação; a forma adimensional, plotada contra $\omega_e\sqrt{L/g}$, atinge um máximo e depois decai rápido; e quanto maior a velocidade de avanço, menor o amortecimento em heave.

Como na massa adicional, existem 18 valores de coeficiente de amortecimento por embarcação, numa matriz simétrica que se torna esparsa sob simetria BE/BB.

12. A resposta do navio em heave — RAO em heave

A força de excitação da onda é a soma de difração e incidência (Froude-Krylov), $F_0 = F_1 + F_0 = F_0\cos(\omega_e t + \delta)$. Supondo o navio parado, atingido por ondas regulares de bombordo para boreste, o problema de difração resolve-se como o de radiação, mas agora a condição de contorno no casco exige velocidades normais nulas: as partículas dispersadas compensam as da onda incidente. Isso admite três desfechos — parte da onda reflete e parte passa, reflexão total, ou passagem total.

Para um corpo de seção pequena frente ao comprimento da onda, mede-se a elevação relativa ao fundo do navio (calado $T$), usando a teoria linear de Airy. Aparece então um fator exponencial de decaimento com a profundidade.

O efeito Smith homenageia W. E. Smith, que em 1883 documentou pela primeira vez que a força de pressão das ondas sobre o casco diminui à medida que o calado aumenta.

Integrando a pressão da onda incidente no fundo de uma seção retangular 2D (hipótese de Froude-Krylov de onda não perturbada), a força de Froude-Krylov por unidade de comprimento simplifica-se, para baixas frequências ($k = \omega^2/g \rightarrow 0$, $\sin(kB/2)\approx kB/2$), a uma forma ligada à restauração. Lembrando que $c_{33} = \rho g A_{WP}$ (por unidade de comprimento, $c_{33}\rightarrow\rho g B$), chega-se a $F_i^{3D} \simeq c_{33}\,\zeta\,e^{-kT}$.

Segundo Weinblum e St. Denis (“On the motions of a ship at sea”, 1950), a força de Froude-Krylov: é pequena quando o comprimento de onda efetivo é menor que metade do comprimento do navio; tende a zero quando a razão comprimento efetivo/comprimento do navio iguala o coeficiente de área de flutuação; é pequena ou moderada quando os comprimentos se igualam; e seu valor adimensional tende ao coeficiente de área de flutuação quando o comprimento de onda tende a infinito.

Somando difração e Froude-Krylov, a força total de excitação medida no fundo do casco reúne os três coeficientes hidrodinâmicos. Escrevendo a força total de ondas para o heave puro, com mar pelo través, contrabalançada pela inércia do casco, e separando os termos em $z$, obtém-se a equação de movimento na forma final.

Passando à notação complexa e ao domínio da frequência, resolve-se para a amplitude complexa do deslocamento em heave, $\hat{z}$. Seu módulo dá a amplitude do movimento e seu argumento, o ângulo de fase.

A função de transferência complexa $T_c$ — o RAO (response amplitude operator) — é a razão entre a amplitude do movimento e a amplitude da onda.

O comportamento típico, ilustrado para o graneleiro Romulo Almeida, tem três regimes: quando a frequência de excitação tende a zero (ondas longas), o RAO vale a unidade — o navio acompanha a onda em heave; o movimento é máximo perto da frequência natural; e em frequências altas (ondas curtas) a embarcação praticamente não responde.

Quanto à fase: em frequências muito baixas a força de excitação está em fase com a elevação máxima da onda e com o heave; ao subir a frequência, a força vai se defasando até a oposição total; e o movimento do navio fica sempre atrasado em relação tanto à elevação da onda quanto à força de excitação.

Generalizando para ondas de qualquer direção (com o navio parado e ângulo de aproamento $\mu$), a força de excitação 3D em heave integra as contribuições de pressão, massa adicional e amortecimento ao longo do comprimento, com o fator direcional $e^{ikx\cos\mu}$.

Casos-limite úteis: no mar de través ($\mu = \pi/2$), como $\cos\mu\rightarrow 0$, o termo entre colchetes tende a $L$ — a excitação 3D é a força 2D vezes o comprimento do navio. No mar longitudinal (vante ou ré, $\mu = 0$ ou $180^\circ$), a força é mínima quando o comprimento do navio é múltiplo do comprimento da onda, pois metade da força tende a levantar o navio e a outra metade a afundá-lo.

Na força de excitação em heave (razão $L/\lambda$): o valor é máximo com onda muito longa ($L/\lambda$ mínimo) e máximo para ondas de través, que demoram mais a decair conforme a onda encurta.

13. Heave em notação complexa: o movimento no domínio da frequência

Para avaliar o movimento de heave ao longo do tempo é conveniente escrever deslocamento, velocidade e aceleração em notação complexa. Cada derivação temporal introduz apenas um fator, o que transforma a equação diferencial num produto algébrico.

Levada à equação do movimento puro em heave, a formulação complexa fica com todos os termos multiplicados por $e^{-i\omega t}$, que então se cancela dos dois lados.

Isolando a amplitude e dividindo por $a$ obtém-se a função RAO, que mede a razão entre a amplitude do movimento e a amplitude da onda.

A inspeção da RAO revela dois mínimos — um em torno de $\rho g B = \omega^2 a_{33}$ e outro onde $\sin\!\left(k\cos\mu\,\tfrac{L}{2}\right)=0$ em águas profundas — e um máximo em torno de $\rho g B L = (\rho T B L + a_{33}L)\omega^2$. A maior amplitude de resposta ocorre com mar pelo través, pois todo o navio acompanha verticalmente a onda; nesse caso a resposta pode superar a própria amplitude da onda, com pico um pouco antes da frequência natural. A menor resposta ocorre com mar de vante. As curvas de fase mostram que o máximo do ângulo de fase acontece depois da frequência natural, e que em direções intermediárias há regiões de inversão de fase em função da frequência de encontro.

14. O movimento de pitch

O pitch, $\theta(t)$, é a rotação em torno do eixo $y$

14.1. Pitch puro em oscilação livre sem amortecimento (3.6.1)

Perturbado por um impulso e num meio sem amortecimento, o navio oscila livremente. Para ângulos pequenos, a equação que governa o pitch iguala o momento de inércia à parcela restauradora.

O termo $\Delta g\,\overline{GM_L}\,\theta$ é o momento restaurador gerado pelas forças de flutuação. Costuma ser representado pelo coeficiente $c_{55}$.

O produto $\Delta k_{yy}^2 = I_{yy}$ é o momento de inércia em torno de $y$; em navios mercantes $k_{yy}$ fica entre $0{,}24L$ e $0{,}26L$ com o CG próximo do meio-navio. Como o navio está imerso, reage à aceleração angular com um momento de inércia adicional $a_{55}\,\ddot\theta$. Aplicando a segunda lei de Newton e reagrupando, a oscilação livre passa a ser regida por:

Daí saem a frequência natural e o período natural:

Na maioria dos mercantes $\overline{GM_L}$ é da ordem do comprimento e $c_y\approx 1$. Para um navio de $300\text{ m}$ o período natural em pitch é de aproximadamente $12\text{ s}$; para $200\text{ m}$, cerca de $10\text{ s}$.

Ordem de grandeza: o momento de inércia adicional em pitch é da mesma ordem do momento de inércia natural — constatado experimentalmente por John Gerritsma no fim dos anos 1950

.

A teoria das faixas obtém $a_{55}$ seção a seção, integrando a massa adicional de heave pelo quadrado do braço longitudinal (via método de Simpson). Em 1969, Ogilvie (Michigan) e Tuck (Adelaide) publicaram a teoria racional das faixas, que trata pitch e heave sem fórmulas empíricas usando dois parâmetros de perturbação: a esbeltez do casco e a amplitude dos movimentos. A perturbação transversal domina a longitudinal

14.2. Pitch puro em oscilação livre com amortecimento (3.6.2)

O amortecimento em pitch vem sobretudo da irradiação de ondas. Inclui-se o coeficiente $b_{55}$:

Os parâmetros ficam $2\xi = \dfrac{b_{55}}{I_{yy}+a_{55}}$ e $\omega_{n\theta}^2 = \dfrac{\Delta g\,\overline{GM_L}}{I_{yy}+a_{55}}$, com solução $\theta(t)=e^{-\xi t}A\sin(\omega_n t-\delta)$ e frequência amortecida $\omega_n=\sqrt{\omega_{n\theta}^2-\xi^2}$. O pitch não é periódico por natureza, pois $\xi\geq\omega_{n\theta}$. O coeficiente $b_{55}$ também é obtido pela teoria das faixas, integrando o amortecimento de heave seção a seção, com correção $\dfrac{u^2}{\omega_c^2}b_{33}$ para o navio com velocidade.

14.3. O momento de excitação de ondas em pitch (3.6.3)

O momento de excitação em pitch usa os mesmos parâmetros físicos do heave — pressão no fundo, velocidade e aceleração verticais da água — ponderados pelo braço $x$.

Substituindo o perfil da onda $\zeta = a\,e^{-kT}e^{kx\cos\mu}e^{-i\omega t}$ e resolvendo, a integral longitudinal remanescente tende a zero quando $\mu\to\tfrac{\pi}{2}$. Isso confirma que com mar de través o pitch é nulo em qualquer faixa de frequência

14.4. Pitch em notação complexa (3.6.3.1)

Para o navio-petroleiro Rômulo Almeida parado, a frequência natural adimensional fica em torno de $0{,}5$

15. O movimento de roll

O roll, $\phi(t)$, é a rotação em torno do eixo $x$

15.1. Roll puro em oscilação livre sem amortecimento (3.7.1)

Para pequenos $\phi$, o momento restaurador é $-\Delta g\,\overline{GM_T}\,\phi(t)$. Aplicando a segunda lei de Newton com o momento adicional $a_{44}\,\ddot\phi$, a oscilação livre fica:

O momento de inércia em roll é $I_{xx}=\Delta k_{xx}^2 \approx 0{,}16\,\rho\nabla B^2$, adotando o valor médio $k_{xx}=0{,}4B$ dos mercantes. Frequência e período naturais seguem a mesma forma do pitch:

Para projeto, no Japão estima-se $\overline{GM_T}=C_1\dfrac{B}{25}$, com $C_1=1$ dando bom valor médio nos mercantes. Diferentemente do pitch, o momento adicional em roll é pequeno — cerca de $10$ a $20\%$ do natural — e adota-se $a_{44}=0{,}15\,I_{xx}$.

Bhattacharya descreveu o momento de inércia virtual $I_{xx}^{1}=I_{xx}+a_{44}$ tomando $a_{44}=\delta\Delta\,k_{xx}^2$, com $\delta\Delta$ entre $10$ e $20\%$ de $\Delta$; alternativamente, via um "raio de giração virtual" $k_{xx}^{1}$ que, para mercantes, fica entre $0{,}33B$ e $0{,}45B$. O "raio de giração adicional" pode ser lido em função de $L$, $B$ e $T$

15.2. Roll puro em oscilação livre com amortecimento (3.7.2)

O roll produz poucas ondas e dissipa pouca energia: o casco não mantém a irradiação em fase com a velocidade angular. Perto da ressonância surgem grandes amplitudes, e o amortecimento passa a ser dominado por efeitos viscosos não lineares e por apêndices como quilhas de balanço. A teoria do potencial, que serve bem a heave e pitch, é insuficiente para o roll.

Incluindo apenas o amortecimento por irradiação, a equação toma a forma padrão $\ddot\phi + 2\xi\dot\phi + \omega_{d}^2\phi = 0$, com solução $\phi(t)=e^{-\xi t}A\sin(\omega_d t-\delta)$ e $\omega_d=\sqrt{\omega_{d}^2-\xi^2}$. Aqui o roll é periódico, pois $\xi<\omega_{d}$. Em 2004, Jensen (Dinamarca) e Mansour (Berkeley) propuseram método semianalítico que fornece $b_{44}$ com precisão de engenharia:

$$\frac{b_{44}}{\rho A_s B^2}\sqrt{\frac{B}{2g}} = a\!\left(\tfrac{B}{T}\right)\exp\!\left(b\!\left(\tfrac{B}{T}\right)(\omega_s\,\text{s/rad})^{-1{,}3}\right)(\omega_s\,\text{s/rad})^{d\,B/T}$$ $A_s$ é a área molhada da seção transversal; $a$, $b$ e $d$ são funções de $B/T$.

Seção	Faixa	Funções
Triangular (V)	$3\leq B/T\leq 6$	$a=0{,}256\,\tfrac{B}{T}-0{,}286$; $b=-0{,}11\,\tfrac{B}{T}-2{,}55$; $d=0{,}033\,\tfrac{B}{T}-1{,}419$
Cheia (retangular)	$1\leq B/T\leq 3$	$a=-3{,}94\,\tfrac{B}{T}+13{,}69$; $b=-2{,}12\,\tfrac{B}{T}-1{,}89$; $d=1{,}16\,\tfrac{B}{T}-7{,}97$

Ao amortecimento por irradiação soma-se o termo viscoso, tratado como amortecimento adicional único para qualquer estado de mar (pressupõe efeito viscoso linear e independente da amplitude):

$$b_{44}^{total} = b_{44} + d\,b_{44}^{crit}\qquad b_{44}^{crit} = 2\sqrt{c_{44}(I_{44} + a_{44})}$$ $b_{44}^{crit}$ é o valor de intensidade crítica onde se aplica o fator de amortecimento $d$.

15.3. O momento de excitação de ondas em roll no domínio da frequência (3.7.3)

A equação de roll no domínio da frequência decorre do coeficiente de amortecimento por irradiação de cada seção, empregando a relação de Haskind, que por sua vez usa o teorema de Green (Cap. 2). A relação permite expressar o potencial de excitação em termos do potencial de irradiação.

$$F_{ext} = i\omega\rho\int_{S_w}(\phi^i + \phi^0)\,n\,ds$$ $\phi^i$ é o potencial incidente (Froude-Krylov), $\phi^0$ o de difração/espalhamento, $n$ a normal e $S_w$ a área molhada.

Aplicando o teorema de Green aos dois potenciais

e a condição de impenetrabilidade $\dfrac{\partial\phi^0}{\partial n}=-\dfrac{\partial\phi^i}{\partial n}$, chega-se à relação de Haskind, que avalia as forças de excitação sem resolver explicitamente o problema da difração. Em notação complexa, o momento de amortecimento da onda em roll resulta em:

$$F_{4w}^0 = a\sqrt{\frac{\rho g^2}{\omega}b_{44}}\;\frac{2\sin\mu}{k\cos\mu}\,e^{-i\omega t}\sin\!\left(k\cos\mu\,\tfrac{L}{2}\right)$$ $\omega$ pode ser aproximada pela frequência de encontro $\omega_e$. Com $\mu\to\tfrac{\pi}{2}$, no limite $\sin(k\cos\mu\,\tfrac{L}{2})=(k\cos\mu)\tfrac{L}{2}$.

A amplitude do momento de excitação em roll para o Rômulo Almeida parado, sem efeitos viscosos, aparece em função da frequência angular

. O roll puro em notação complexa segue a mesma construção do pitch, e o resultado com o coeficiente viscoso incluído em $b_{44}^{total}$ é mostrado a seguir

.

16. Movimentos oscilatórios puros em surge, sway e yaw

Os movimentos de surge e sway, e o rotacional em yaw, não possuem restauração. As equações reaproveitam as formulações já vistas, apenas retirando os termos de restauração. Em notação complexa:

As forças de excitação vêm da integração longitudinal das componentes de massa adicional e amortecimento; a de yaw traz o braço $\left(x+\tfrac{V}{i\omega_e}\right)$ acoplado. Os coeficientes hidrodinâmicos são corrigidos para a frequência de encontro combinando os valores do navio parado ($a_{ij}^0$, $b_{ij}^0$) com termos proporcionais à velocidade $V$:

17. Movimento linear acoplado entre heave e pitch

O movimento acoplado heave–pitch foi formulado pela primeira vez em 1957 por B. V. Korvin-Kroukovsky e pela matemática aplicada Winnifred R. Jacobs, do Stevens Institute of Technology. São duas equações que trocam energia por meio de coeficientes cruzados de índices $3$ (heave) e $5$ (pitch):

Os coeficientes cruzados combinam integrais do braço longitudinal com correções de velocidade, por exemplo $a_{35}=-\int_L x\,a_{33}(x)\,dx + \tfrac{V}{\omega_c^2}b_{33}$ e $c_{35}=c_{53}=\iint_{A_{wp}} x\,ds$. Passando o sistema à notação complexa e já vencida a fase transiente, definem-se os agrupamentos:

18. Movimento linear acoplado entre sway, yaw e roll

O acoplamento entre sway ($2$), roll ($4$) e yaw ($6$) forma um sistema de três equações lineares, com o produto $\Delta z_g$ ligando sway a roll (o CG está acima da linha de ação das forças hidrodinâmicas):

Os coeficientes hidrodinâmicos são corrigidos para a frequência de encontro com termos em $V$ e $V^2$ — por exemplo $a_{24}=a_{42}=a_{24}^0-\tfrac{V}{\omega_e^2}b_{22}^0$ e $b_{44}=b_{44}^0+V a_{44}^0+\xi\,b_{44}^{crit}$ — e os valores do navio parado saem de integrais como $a_{26}^0=a_{62}^0=-\int_L x\,a_{22}(x)\,dx$. A solução se obtém por autovalores ou definindo nove agrupamentos $P$ a $X$ do tipo $P=c_{22}-\omega^2(a_{22}+\Delta)+i\omega_e b_{22}$, cujo determinante é: