MN Cap. 4 — O Mar Irregular e Confuso (Santos)

O mar irregular e confuso

O mar real não é uma onda regular: é irregular (ondas de alturas e períodos variados numa mesma direção) e muitas vezes confuso (trens de onda de direções diferentes superpostos). Este capítulo mostra como descrever esse mar de forma estatística — pelo espectro do mar — e como prever o movimento do navio nele, combinando o espectro das ondas com a resposta do navio obtida no capítulo anterior.

O caminho: representar o mar real como superposição de ondas regulares; extrair a altura significativa; montar o espectro (Pierson-Moskowitz, JONSWAP); e, pela função de transferência (RAO), obter o espectro de resposta do navio e os valores extremos de cada movimento.

Fonte: SANTOS, Edson Mesquita dos. Princípios de hidrodinâmica e ação das ondas sobre o movimento do navio. 1. ed. Rio de Janeiro: CONAPRA, 2021. Cap. 4 — O mar irregular e confuso e o movimento do navio.

Edital: Anexo 2-B, Área I (Manobrabilidade), item 9 — I.09 (SANTOS), Cap. 4 · cross-list Área V (Meteorologia, Oceanografia e Navegação), item 4.

1. Introdução: o mar irregular e confuso

As ondas geradas pelo vento têm alturas e períodos irregulares, porque o próprio vento é irregular. A superfície do oceano varia continuamente em formato, altura, comprimento e velocidade de propagação, o que torna pouco viável descrevê-la por uma aproximação determinística. Até meados do século XX essas ondas eram tidas como desordenadas demais para tratamento matemático. Lord Rayleigh teria resumido a dificuldade ao observar que a lei básica do mar é a aparente falta de qualquer lei.

A saída veio pela análise espectral, cuja raiz remonta a Newton (decomposição da luz pelo prisma, 1664), às séries de Fourier de Gouy, à integral de Fourier de Rayleigh (1871) e ao analisador harmônico de Lord Kelvin (1872) para prever marés. A ideia central é representar um sinal irregular como soma de componentes de frequência.

As investigações modernas sobre ondas de vento começaram com o estudo pioneiro de Sverdrup e Munk (1947), que introduziram a noção de altura significativa — um tipo de altura média — e de um período médio capaz de descrever quantitativamente ondas de vento com propriedades aleatórias, além do balanço de energia do sistema de ondas. Antes de 1947 não existiam estudos semelhantes, apenas equações primitivas e empíricas.

No início da década de 1950, o grupo de W. J. Pierson e G. Neumann (Universidade de Nova York) passou a estudar o espectro das ondas e a desenvolver métodos de previsão baseados em espectros. Em 1952, Longuet-Higgins demonstrou que as alturas das ondas são estatisticamente independentes quando um grande número de ondas é usado, e que as elevações máximas podem ser bem representadas pela distribuição de Rayleigh — originalmente obtida no fim do século XIX para descrever a intensidade de sons emitidos por um número infinito de fontes.

Em 1953, St. Denis e Pierson aplicaram o princípio da superposição ao movimento do navio em mar irregular, abrindo uma nova era: a resposta do navio às ondas irregulares pode ser tratada como a soma das respostas a ondas regulares, levando em conta todas as frequências. Desses trabalhos vem o alicerce para caracterizar a energia de um mar irregular a partir de registros da amplitude de suas ondas.

2. A análise do sinal das amplitudes do mar

O sinal que registra a amplitude das ondas em função do tempo

permite montar o histograma das amplitudes

e o histograma dos períodos ou frequências

. Analisar só esses histogramas, porém, não estabelece relação entre altura e período: para um mesmo período existem várias alturas, e vice-versa. As ondas oceânicas são de certo modo caóticas, e não basta descrevê-las apenas no tempo ou na frequência.

A elevação da superfície em qualquer ponto pode ser vista como a soma de um número elevado de sistemas de ondas, cada um gerado por vento turbulento em tempos ou locais diferentes. A amplitude medida da onda em função do tempo é um sinal irregular que se representa por uma série de Fourier, como somatório de senoides:

$$\zeta(t) = a_0 + \sum a_i \cos \omega_i t + \sum b_i \sin \omega_i t$$ — sinal irregular no tempo escrito como soma de ondas regulares no domínio da frequência.

De forma equivalente, o mesmo sinal se escreve como somatório de ondas em fase aleatória entre si, $\zeta(t) = a_0 + \sum \bar{a}_i \cos(\omega_i t - \delta_i)$. Cada onda regular do mar $\zeta_1(t)$ é a solução de um potencial $\phi_1$, e assim por diante para $\zeta_2(t)$ e $\zeta_3(t)$.

Como as ondas são lineares, aplica-se o princípio da superposição: basta somar as componentes. Para três ondas na mesma direção, $\zeta_1(t) + \zeta_2(t) + \zeta_3(t) = \zeta(t)$, e o resultado já é visivelmente irregular

. Para um conjunto infinito de ondas regulares:

$$\zeta(t) = \int a(\omega)\cos\big(\omega t - k x + \varepsilon(\omega)\big)\, d\omega$$ — superposição integral de infinitas ondas regulares (forma-limite do somatório $\sum a(\omega_i)\cos(\omega_i t - k_i x + \varepsilon_i)$).

Surge daí uma possibilidade importante: a partir do sinal $\zeta(t)$ obtido no tempo, fazer a análise reversa e recuperar as ondas regulares geradoras, que estão no domínio da frequência. Seleciona-se uma frequência $\omega$, obtém-se a amplitude $a(\omega)$, e a fase $\varepsilon$ indica se a componente começa por crista ou cavado. Esses princípios fundamentam a representação do mar real, mas não podem ser usados de forma direta, pois o mar irregular não se deixa definir por seu padrão ou forma.

3. A representação do mar real

O mar real não é regular: não toma a forma de ondas uniformes nem caminha em sequência estável. É antes um fenômeno aleatório, uma miríade de ondas de tamanhos, comprimentos e direções diferentes misturadas em confusão aparente, resultado de ventos de intensidades, locais e direções variados. Só a partir de 1950 surgiram métodos matemáticos para caracterizá-lo, e por volta de 1960 as teorias já explicavam como esses mares se formam, mudam de forma e se dispersam.

O mar irregular, também dito bidimensional, é gerado por vento atuando sobre grande área, com cristas contínuas na direção do vento. Ao se afastar da tempestade ele se espalha e perde altura. Se cruza com ondas de outras tempestades vindas de direções diferentes, forma-se o mar confuso, tridimensional

. O mar confuso é mais comum na natureza, mas considera-se que o mar irregular bidimensional tenha efeito máximo sobre um corpo situado dentro dele.

Pode-se montar o mar irregular a partir de infinitas senoides com variação contínua de frequência, cada onda diferindo da vizinha por uma altura infinitesimal. Basta a poucas ondas — quatro, por exemplo — para o resultado já ser bastante irregular

. A característica mais distintiva do mar irregular é nunca repetir seu padrão de um intervalo a outro; por isso não se pode defini-lo pela forma.

Existe, contudo, um modo de defini-lo em termos simples: pela energia total por metro quadrado da região das ondas geradas, que é a soma das energias de todas as pequenas ondas regulares. Já foi mostrado (Capítulo 1) que a energia de uma onda sinusoidal regular vale $\rho g h^2/8$ por metro quadrado ($\rho g$ é o peso específico da água e $h$ é a altura de crista a cavado):

$$E = \frac{\rho g}{S}\,\frac{1}{8}\left(h_1^2 + h_2^2 + h_3^2 + \dots\right)$$ — energia total por metro quadrado: constante vezes a soma dos quadrados das alturas de todas as ondas componentes.

Como cada onda está ligada a uma única frequência, a energia total pode ser distribuída segundo as frequências das ondas. Essa distribuição é o espectro do mar (distribuição espectral). Um espectro elementar formado pelas mesmas quatro ondas teria a forma da

. A ordenada é escolhida (energia por unidade de frequência) de modo que a área sob a curva represente a energia total do sistema; para isso dá-se uma "largura de banda" a cada componente, o que confere continuidade à curva.

A continuidade é indispensável para representar o mar real: se houvesse só quatro ou vinte ondas, o padrão se repetiria e o mar se separaria em grupos seguidos de calmaria, o que não é realista. Assim, o mar deve ser tomado como composto por um número infinito de ondas de frequências ligeiramente diferentes e alturas pequenas, produzindo um espectro suave e contínuo

. Quanto maior o número de ondas para uma dada energia total, menor a altura individual de cada componente.

O espectro é construído a partir da extremidade de alta frequência: para uma dada velocidade do vento, geram-se primeiro ondas curtas e, com o vento persistindo, ondas cada vez mais longas, até a condição de mar totalmente desenvolvido, em que o sistema é estável

. À medida que mais energia entra, a área sob a curva se concentra nas baixas frequências (ondas longas) e o pico se desloca na mesma direção.

4. A altura das ondas do mar

Conhecidos a forma e o conteúdo do espectro, resta determinar as alturas reais das ondas. Não se pode prever o padrão instantâneo da superfície, mas é possível prever por métodos estatísticos, para um mar de dada energia, com que frequência ocorrem ondas de várias alturas num intervalo de tempo. A formulação mais aceita foi corroborada por medições de ondas reais, consistentes ao longo de muitos anos.

Assume-se que a superfície é composta de muitas senoides com frequências próximas de um valor comum $\omega$ — o chamado mar de banda estreita. Para $M$ ondas, $\zeta(t) = \sum_{m=1}^{M} \frac{h_m}{2}(\omega_m)\cos(\omega_m t - \delta_m)$. Como as ondas não têm simetria entre cristas e cavados, o período é contado por duas passagens sucessivas pelo zero

Medindo quantas ondas do registro correspondem a cada altura $h$ e dividindo pelo total $M$, traça-se o histograma das ocorrências

. A probabilidade de uma onda ser mais alta que $h_i$ é $P(h>h_i) = n/M$, com $n$ o número de ondas maiores que $h_i$.

Longuet-Higgins (1952) mostrou que as elevações máximas seguem a distribuição de Rayleigh. A probabilidade de a altura $h$ ser maior ou igual a uma altura arbitrária $h_i$ é:

$$P(h \geq h_i) = e^{-\left(\frac{h_i}{h_{rms}}\right)^2} \qquad P(h < h_i) = 1 - e^{-\left(\frac{h_i}{h_{rms}}\right)^2}$$ — distribuição de Rayleigh das alturas de onda.

Aqui $h_{rms}$ é o valor quadrático médio (valor eficaz), a raiz da média dos quadrados das $M$ alturas medidas:

$$h_{rms} = \sqrt{\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M} h_i^2}$$ — altura eficaz, medida estatística da magnitude da altura das ondas.

Dessa relação tira-se o número $n$ de ondas mais altas que $h_i$, e, invertendo, a altura excedida por um grupo de ondas: $h_i = h_{rms}\sqrt{\ln (M/n)}$; ou, por um percentual $p$, $h_p = h_{rms}\sqrt{\ln (1/p)}$. A função de distribuição de Rayleigh é a derivada da probabilidade, $f_{h_i}(h_i) = \frac{2 h_i}{\bar{h}^2}\, e^{-(h_i/h_{rms})^2}$, cuja área entre dois valores dá a probabilidade e cuja integral de zero a infinito vale a unidade

Integrando a distribuição obtêm-se as alturas médias características

. A altura média geral ($p=1$) vale $\bar{H} = 0{,}886\, h_{rms}$. A média do terço mais alto ($p=1/3$) e a do décimo mais alto valem:

$$\bar{h}_{1/3} = 1{,}416\, h_{rms} = \sqrt{2}\; h_{rms} \qquad \bar{h}_{1/10} = 1{,}80\, h_{rms}$$ — médias do terço e do décimo mais altos, obtidas da distribuição de Rayleigh.

A média das ondas 1/3 mais altas é a altura significativa, a de maior importância. Sua origem é o "olhar marinheiro": o observador negligencia as ondas menores e reporta as maiores. Por tradição, a altura significativa firmou-se como o parâmetro mais comum para definir a altura do mar.

Há uma reserva teórica: a distribuição de Rayleigh vale com precisão só para espectro estreito, perdendo validade em faixas largas sem fatores corretivos; e as leis valem para a amplitude medida acima ou abaixo do nível não perturbado, não para a altura crista-a-cavado. Ainda assim, testes repetidos mostram que a Rayleigh, mesmo sem correção, oferece excelente correlação com as alturas observadas, com precisão suficiente para engenharia, seja qual for a forma do espectro.

O espectro é estatístico, não determinístico. O espectro do mar prevê com que frequência ocorrem ondas de cada altura, mas NÃO prevê o padrão instantâneo da superfície nem a altura da próxima onda. A altura significativa $H_s = 4\sqrt{m_0}$ (com $m_0$ = área sob a curva de densidade espectral) resume o estado do mar num único número — é uma medida de energia, não uma garantia da onda seguinte.

Estatística de altura	Definição
H mais provável (moda)	altura de maior frequência de ocorrência no registro
H médio	média de todas as alturas de onda
H significativa (H_1/3)	média do terço mais alto das ondas; ≈ 4√m₀
H_1/10	média do décimo mais alto das ondas

5. O espectro do mar

Por muitos anos a função teórica mais referida para representar o estado do mar sob a forma de espectro de energia foi o espectro de dois parâmetros de Bretschneider (1959). Em seu desenvolvimento inicial, enfatizaram-se as relações de período (não de frequência). Na forma mais simples, $S(T) = \alpha T^3 e^{-\beta T^4}$, com $\alpha$ e $\beta$ substituíveis por funções ligadas à energia total e ao pico:

$$S(T) = \frac{3E}{T_p^2}\, T^3\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{T}{T_p}\right)^4}$$ — espectro de Bretschneider em função do período; $E$ é a área sob a curva (energia total) e $T_p$ é o período de pico

Convertendo para a frequência circular $\omega$ (forma mais comum), preservando a energia de cada faixa diferencial via $S(T)dT = -S(\omega)d\omega$, obtém-se:

$$S(\omega) = 3E\left(\frac{2\pi}{T_p}\right)^4 \omega^{-5}\, e^{-\frac{1}{4}\left(\frac{2\pi}{T_p}\right)^4 \omega^{-4}}$$ — espectro de Bretschneider em função da frequência circular

A frequência de pico, de maior concentração de energia, vale $\omega_0 = (3/5)^{1/4}\,(2\pi/T_p)$, e não é o recíproco do período de pico. Além do período de pico $T_p$, definem-se vários períodos-padrão: o período modal $T_0 = 2\pi/\omega_0$; o período médio $T_1 \approx 0{,}857\,T_0$; o período $T_1$/$T_2$ recíproco da frequência média (adotado pela ITTC em 1984), $\approx 0{,}772\,T_0$; a média das passagens pelo zero $T_2 \approx 0{,}710\,T_0$; o período entre cristas $T_c$; e o período significativo. As posições relativas desses períodos no espectro aparecem na

5.1. A área sob a curva e a altura significativa

A área $E$ sob a curva é diretamente proporcional à ordenada da densidade espectral $S(\omega)$: mudar a escala da ordenada muda a área na mesma proporção, sem afetar a forma nem as relações período–frequência. Adotando a distribuição de Rayleigh, a área do espectro é diretamente proporcional ao quadrado da altura significativa, já que a altura quadrática média do registro representa a mesma energia da soma das alturas de todas as ondas do espectro.

Na escala hoje quase universal, com a ordenada dada pela metade do quadrado da amplitude, a área equivale à variância estatística $\sigma^2$ da gravação da onda:

$$E = \sigma^2 = \frac{H_s^2}{16} \quad\Rightarrow\quad H_s = 4\sqrt{E} = 4\sqrt{m_0}$$ — a área $E$ sob a curva de densidade espectral (variância $\sigma^2$, ou momento espectral de ordem zero $m_0$) fixa a altura significativa $H_s$.

Outras escalas de ordenada dão áreas diferentes para a mesma curva: com amplitude ao quadrado (St. Denis e Pierson, 1950), $E = H_s^2/8$; com o quadrado da altura elementar (Bretschneider), $E = h_{rms}^2 = H_s^2/2$; com o dobro do quadrado das alturas, $E = H_s^2$. Escrevendo o espectro-padrão de dois parâmetros com a ordenada de meia-amplitude ao quadrado:

$$S(\omega) = \frac{5}{16}\, H_s^2\, \omega_0^4\, \omega^{-5}\, e^{-\frac{5}{4}\left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^4}$$ — forma-padrão do espectro de dois parâmetros (energia total $E = H_s^2/16$).

5.2. Os espectros ISSC e ITTC

Em 1964 o ISSC apresentou um espectro baseado na altura e no período médios observados visualmente; como a altura média se põe em função da altura significativa, resulta $S(f) = 0{,}11\, H_s^2\, T_v (T_v f)^{-5} e^{-0{,}44 (T_v f)^{-4}}$, com $T_v = 0{,}772\,T_0$. Substituindo, chega-se a $S(f) = 0{,}3113\, H_s^2\, f_0^4 f^{-5} e^{-1{,}2452 (f_0/f)^{4}}$ — praticamente o mesmo espectro de Bretschneider.

Em 1978 a ITTC propôs $S(\omega) = 173\, H_s^2\, T_1^{-4} \omega^{-5} e^{-693 (T_1 \omega)^{-4}}$. Usando $T_1 = 0{,}772\,T_0$ e $T_1^{-4} = \omega_0^4/553$, obtém-se $S(\omega) = 0{,}3113\, H_s^2\, \omega_0^4 \omega^{-5} e^{-1{,}249 (\omega_0/\omega)^4}$ — de novo, essencialmente o espectro de Bretschneider ($\tfrac{5}{16} = 0{,}3125$).

5.3. O espectro Pierson-Moskowitz

Em 1953 G. Neumann propôs um espectro empírico com a velocidade do vento como variável, de fácil uso mas dimensionalmente incorreto. Em 1964 Pierson e Moskowitz, seguindo o formato de Neumann, apresentaram uma formulação dimensionalmente correta. Após reanálise (usando $0{,}74\, g^4/V^4 = \tfrac{5}{4}\omega_0^4$), o espectro assume a forma:

$$S(\omega) = 0{,}0081\, g^2\, \omega^{-5}\, e^{-\frac{5}{4}\left(\frac{\omega_0}{\omega}\right)^4}$$ — espectro Pierson-Moskowitz; $g$ é a aceleração da gravidade e a constante $\alpha = 0{,}0081$ é a constante de Phillips.

A componente $\alpha g^2 \omega^{-5}$, devida a Phillips (1958), cobre a faixa de equilíbrio de um mar totalmente desenvolvido, é um limite superior independente da velocidade do vento e da pista, e serviu de base a outros modelos. A constante de Phillips é o $\alpha = 0{,}0081$. Diferentemente do Bretschneider, este é um espectro de apenas um parâmetro ($T_1$ ou $\omega_0$), com $T_1 = 11{,}1\sqrt{H_s/g}$. Seu uso adequado restringe-se a mares totalmente desenvolvidos, gerados por ventos moderados sobre pistas muito extensas.

5.4. O espectro modificado de Pierson e Moskowitz

O chamado "Pierson-Moskowitz modificado" é o mesmo espectro de dois parâmetros de Bretschneider — que, aliás, precede o modelo Pierson-Moskowitz clássico. Muitos pesquisadores evitam o nome "modificado" por julgarem que ele atribui ao PM uma aceitação imerecida.

5.5. O espectro JONSWAP

O projeto Joint Sea Wave Project (JONSWAP), organizado em 1973 sob Hasselman e Barnett, registrou sistematicamente os padrões de onda do Mar do Norte, com sensores ao longo de cerca de 160 km a oeste da costa alemã, para parametrizar espectros que cobrissem desde os de pico pronunciado até o limite superior do Pierson-Moskowitz. A formulação:

$$S(f) = \underbrace{\alpha g^2 (2\pi)^{-4} f^{-5}\, e^{-\frac{5}{4}\left(\frac{f_0}{f}\right)^4}}_{\text{Pierson-Moskowitz}} \cdot\; \gamma^{\,\exp\left[-\frac{(f-f_0)^2}{2\sigma^2 f_0^2}\right]}$$ — o primeiro produto é o espectro Pierson-Moskowitz; o segundo é o fator que define a forma do pico

Nos parâmetros: $\alpha$ é a constante de Phillips (0,0081, mas ajustável aos dados); $f_0$ é a frequência de pico; $\gamma$ é o fator de aprimoramento que multiplica o pico de energia do Pierson-Moskowitz; e $\sigma$ é o fator de alargamento do pico ($\sigma_a$ para frequências menores que $f_0$, $\sigma_b$ para maiores). Cerca de 2.000 registros mostraram que picos acentuados são comuns no Mar do Norte durante a geração das ondas, com pouca ou nenhuma tendência de "achatamento" rumo ao Pierson-Moskowitz — a ponto de se questionar se o mar totalmente desenvolvido chega mesmo a ocorrer.

Quando não há dados específicos, usam-se os valores médios do experimento: para um período de pico $T_0 = 1/f_0$ (com $H_s$ da ordem de $0{,}005\,g\,T_0^2$), adotam-se $\alpha = 0{,}0081$, $\gamma = 3{,}3$, $\sigma_a = 0{,}07$ e $\sigma_b = 0{,}09$. Em geral $\gamma$ varia de 1 a 7, $\sigma_a$ e $\sigma_b$ são fixos, e $\alpha = 0{,}0076\,x^{-0,22}$ (ou 0,0081 se a pista $x$ for indeterminada). É a forma-padrão dos espectros multiparâmetros, tratados matematicamente pela forma $S(\omega) = \alpha\, \omega^{-p}\, e^{-C \omega^{-q}}$, com quatro parâmetros $\alpha$, $C$, $p$ e $q$.

Espectro	Parâmetros	Condição de mar
Bretschneider / ISSC / ITTC	2 (energia ou altura significativa + período de pico)	mar totalmente desenvolvido
Pierson-Moskowitz (PM)	1 (velocidade do vento)	mar totalmente desenvolvido pelo vento
PM modificado	2 (ajuste a dados medidos)	ajuste a estados de mar reais
JONSWAP	PM + fator de realce de pico γ	mar com pista (fetch) ou duração limitada

6. Os momentos da distribuição de probabilidade

Com a função densidade já disponível matematicamente para diferentes espectros, torna-se proveitoso explorar propriedades das funções estatísticas. Em estatística há funções que caracterizam distribuições de probabilidade conhecidas como momentos, muito úteis na análise espectral. A distribuição normal, por exemplo, é caracterizada apenas pelos dois primeiros momentos.

O primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto momentos caracterizam, respectivamente, a tendência central, a dispersão, a assimetria e a curtose de uma distribuição de probabilidades. O enésimo momento de um espectro é definido pela integral do espectro ponderado pela frequência elevada à ordem do momento.

$$m_n = \int_0^\infty \omega^n\, S(\omega)\, d\omega$$ — enésimo momento espectral: integral do espectro $S(\omega)$ ponderado por $\omega^n$.

6.1. Do momento de ordem zero à altura significativa

O momento de ordem zero, $m_0$, coincide com a variância das alturas das ondas. A partir dele obtém-se a média das alturas significativas, ligando a área do espectro à altura de onda que descreve o mar.

$$\frac{h_1^2}{16} = m_0 \;\Rightarrow\; h_1^2 = 16\,m_0 \;\;\therefore\;\; h_1 = 4\sqrt{m_0}$$ — a altura significativa $h_1$ é quatro vezes a raiz quadrada de $m_0$.

Para os espectros de dois parâmetros, o próprio $m_0$ tem forma fechada em função da função gama, $m_0 = \dfrac{\alpha}{q}\,\dfrac{\Gamma[(p-1)/q]}{C^{(p-1)/q}}$, e os demais momentos $m_n$ seguem expressão análoga. Todos os momentos podem, portanto, ser calculados sem integração numérica.

6.2. Frequência média e períodos característicos

A frequência média do mar é a razão entre o primeiro e o zero-ésimo momentos. Dela deriva-se o período recíproco, $T_1$.

$$\bar{\omega} = \frac{\displaystyle\int_0^\infty \omega\, S(\omega)\, d\omega}{\displaystyle\int_0^\infty S(\omega)\, d\omega} = \frac{m_1}{m_0} \qquad T_1 = T_v = \frac{2\pi}{\bar{\omega}}$$ — frequência média $\bar{\omega}$ e período associado $T_1$.

Além de $T_1$, definem-se o período associado à passagem média pelos zeros, $T_2$, e o período médio entre cristas, $T_c$. Cada um é obtido de uma razão de momentos distinta: $T_1$ envolve $m_0$ e $m_1$; $T_2$ envolve $m_0$ e $m_2$; $T_c$ envolve $m_2$ e $m_4$.

$$\left(\frac{T_2}{2\pi}\right)^2 = \frac{m_0}{m_2} \qquad \left(\frac{T_c}{2\pi}\right)^2 = \frac{m_2}{m_4}$$ — período de cruzamento por zero $T_2$ e período entre cristas $T_c$.

Quando os parâmetros do espectro valem $p = 5$ e $q = 4$, todas essas relações se reduzem às das funções-padrão do espectro de dois parâmetros já vistas e calculadas.

7. O espectro de resposta do navio

O mesmo princípio empregado para as ondas do mar serve à determinação estatística do espectro de resposta do navio em mar irregular. Obtido o espectro de resposta para cada grau de movimento, chega-se ao movimento final do navio ao quadrado — soma dos quadrados dos diversos movimentos regulares numa dada frequência — sem calcular cada componente individualmente.

A grande vantagem é que um mesmo espectro de mar pode gerar diferentes espectros de resposta de diferentes navios. O movimento do navio é assumido como linear, de modo que a resposta em mar real resulta da sobreposição linear dos efeitos de cada componente de onda regular que compõe esse mar.

7.1. As três formas de avaliar a resposta

A resposta do navio pode ser avaliada de três maneiras: pela teoria hidrodinâmica; por resultados de testes de modelos em escala reduzida em tanques; e por medições dos movimentos do navio em escala real no mar. As gravações do sinal de resposta no tempo têm aspecto semelhante ao dos sinais de amplitude das ondas — mas em vez do quadrado de cada amplitude de onda, registram-se as amplitudes de resposta dos movimentos do navio (por exemplo o heave) em função da frequência.

7.2. O elo: o quadrado da função transferência (RAO)

O elo entre o espectro de energia da onda e o espectro de resposta do navio é o quadrado da função transferência, o RAO, cujo método de obtenção foi visto no Capítulo 3. Multiplicando a altura espectral da onda pelo quadrado do RAO, na mesma frequência, obtém-se nas ordenadas o valor do movimento ao quadrado; plotando todas as multiplicações em todas as faixas de frequência, obtém-se o espectro de resposta.

$$S_R(\omega) = \left|RAO(\omega)\right|^2\, S(\omega)$$ — o espectro de resposta é o espectro do mar multiplicado pelo quadrado do RAO em cada frequência.

7.3. A sequência de obtenção (movimento em heave)

O procedimento, ilustrado para o heave de um navio genérico, parte da escolha de um espectro de mar adequado — recomendando-se o espectro ITTC quando nenhum outro tiver sido escolhido. Em seguida transforma-se esse espectro, que está em função da frequência absoluta, para a frequência de encontro, preservando a área da densidade porque a energia total permanece constante

Cada pequena faixa de frequência de onda transforma-se em faixa correspondente de frequência de encontro

. A largura da faixa transformada segue a derivada da frequência de encontro em relação à frequência da onda, dependente da velocidade $V$ do navio e do rumo relativo $\mu$ do mar.

$$d\omega_e = \left(1 - \frac{2\omega}{g}\,V\cos\mu\right) d\omega \quad \text{[rad/s]}$$ — largura da faixa de frequência de encontro em função de $V$ e $\mu$.

Como as áreas em cada intervalo são iguais (mesma energia), as ordenadas dos gráficos de energia relacionam-se por $S_{\zeta}(\omega)\,d\omega = S_{\zeta}(\omega_e)\,d\omega_e$, do que decorre a densidade na frequência de encontro:

$$S_{\zeta}(\omega_e) = S_{\zeta}(\omega)\,\frac{d\omega}{d\omega_e} = S_{\zeta}(\omega)\,\frac{g}{g - V\cos\mu}$$ — densidade espectral transferida para a frequência de encontro.

Gera-se então o gráfico da resposta em mar regular, com a razão entre a amplitude do movimento e a amplitude da onda nas ordenadas e a frequência de encontro nas abscissas: essa curva é o response amplitude operator (RAO), nada mais que a função transferência

. Modificado o gráfico para que as ordenadas representem o quadrado do movimento sobre o quadrado da amplitude da onda, obtém-se o espectro de resposta multiplicando o espectro modificado pelas ordenadas do RAO ao quadrado. Na linha considerada, a ordenada da resposta em heave vale $\overline{CR} = \overline{AR} \times \overline{BR}^{\,2}$. O princípio completo da transferência de energia da onda até a resposta do navio está resumido na figura seguinte

7.4. Da área do espectro de resposta às características do movimento

Determinando a área sob o espectro de resposta chega-se às características do movimento (movimento médio, média do terço mais alto etc.), do mesmo modo que para as alturas das ondas. Os momentos passam a descrever o movimento do navio: $m_0$ é a variância do deslocamento de resposta num dado grau de liberdade, $m_2$ a variância da velocidade de resposta e $m_4$ a variância da aceleração de resposta.

A média dos deslocamentos significativos da resposta, $\eta_s$, segue a mesma forma da altura significativa, e a frequência média de oscilação é a razão $m_1/m_0$.

$$\frac{\eta_s^2}{16} = m_0 \;\Rightarrow\; \eta_s = 4\sqrt{m_0} \qquad \bar{\omega} = \frac{m_1}{m_0}\, ,\;\; \frac{T_1}{2\pi} = \frac{m_0}{m_1}$$ — deslocamento significativo $\eta_s$ e frequência média da resposta.

8. O emprego do espectro de resposta no domínio do tempo

Para levar os resultados obtidos no domínio da frequência ao domínio do tempo — necessário ao cálculo das forças que atuam sobre o navio — empregam-se dois conceitos: as funções de resposta a um impulso e as integrais de convolução.

8.1. Impulso e força impulsiva

Partindo da quantidade de movimento $P = \Delta V$, a segunda lei de Newton escreve-se como $F = \dot{P} = \Delta\dot{V}$. Integrando entre dois instantes, a variação da força iguala a variação da quantidade de movimento no mesmo intervalo — variação essa chamada impulso, $I$.

$$I = \int_{t_1}^{t_2} F\, dt = \int_{t_1}^{t_2} \dot{P}\, dt = P_1 - P_2$$ — o impulso $I$ é a variação da quantidade de movimento entre dois instantes.

Quando o intervalo de tempo tende a zero, a força é dita impulsiva e se expressa por meio da função delta de Dirac, $F = I\,\delta(t-\tau)$. Essa função vale zero para $t \neq 0$ e tende a infinito em $t = 0$, e possui a propriedade de, ao ser integrada com outra função, devolver o valor dessa função no instante $\tau$: $\int_{-\infty}^{\infty} q(t)\,\delta(t-\tau)\,dt = q(\tau)$. Para um impulso unitário, portanto, a força de impulso é a própria delta de Dirac.

8.2. Resposta ao impulso e integral de convolução

A ação de uma força impulsiva, resultante de um impulso unitário, produz num sistema linear invariante uma resposta $g(t)$ chamada resposta ao impulso

. Uma força aplicada no instante $t = \tau$ provoca uma resposta que só perdura para $t > \tau$; num instante $t = t_p$, a resposta iguala $r(t_p - \tau)$.

Na teoria linear, uma força arbitrária $f(t)$ pode ser representada por uma sucessão de forças impulsivas, e a resposta total $g(t)$ é a soma das respostas a cada impulso

. No limite em que $\Delta\tau \rightarrow d\tau$, essa soma torna-se a integral de convolução.

$$g(t) = \int_0^t f(\tau)\, r(t-\tau)\, d\tau$$ — resposta no tempo como convolução entre a força $f(\tau)$ e a resposta ao impulso $r(t-\tau)$.

Para navios, em vez da força impulsiva adota-se o conceito de deslocamento impulsivo no instante $t = \tau$. Há, analogamente, uma função de resposta ao deslocamento impulsivo, que para deslocamento unitário vale $K(t-\tau)$

. A um deslocamento impulsivo $V_j\,\Delta\tau$ corresponde a resposta $V_j\,\Delta\tau\,K(t-\tau)$, sendo $V_j$ a velocidade do navio na direção $j$.

8.1 A força das ondas no domínio do tempo (Cummins)

A equação de movimento em seis graus de liberdade, pela segunda lei de Newton, reúne força de excitação, massa adicional, amortecimento e restauração num só balanço:

$$F_j = F_{ ext{exc}\,ij} - a_{ij}\ddot{x}_j - b_{ij}\dot{x}_j - c_{ij}x_j = M_{ij}\ddot{x}_j$$ — 6 GDL: $M_{ij}$ massa/inércia, $a_{ij}$ massa adicional, $b_{ij}$ amortecimento, $c_{ij}$ restauração.

Seria tentador isolar a aceleração instantânea, mas isso não é possível: há termos de deslocamento fora de fase com o movimento que são desconhecidos. A saída veio de W. E. Cummins (1962): o escoamento gerado por um deslocamento impulsivo do corpo separa-se em duas parcelas — a reação instantânea do fluido e uma parcela que persiste e decai no tempo até desaparecer.

Essa parcela persistente é uma integral de convolução com a função de memória (ou de retardação) $K_{ij}$, que traduz a resposta do fluido no grau de liberdade $j$ a um movimento no grau $i$. A equação de movimento no tempo fica:

$$M_{ij}\ddot{x}_j = F_{ ext{exc}\,j} - a_{ij}\ddot{x}_j - \int_0^t \dot{x}_j( au)\,K_{ij}(t- au)\,d au - c_{ij}x_j$$ — equação de movimento no domínio do tempo.

Salvo a função de memória, todos os termos já vêm da análise no domínio da frequência. Supondo movimento harmônico e comparando as duas descrições, Cummins associou o termo em cosseno ao amortecimento e o termo em seno à reação de aceleração:

$$a_{ij}(\omega) = a_{ij} - rac{1}{\omega}\int_0^\infty K_{ij}( au)\sin\omega au\,d au \qquad b_{ij}(\omega) = \int_0^\infty K_{ij}( au)\cos\omega au\,d au$$

Como $b_{ij}(\omega)$ é a transformada de Fourier em cosseno de $K_{ij}(t)$, a função de memória sai da transformada inversa — ou seja, é preciso conhecer o amortecimento potencial em todas as faixas de frequência para reconstruir a resposta no tempo:

$$K_{ij}(t) = rac{2}{\pi}\int_0^\infty b_{ij}(\omega)\cos\omega au\,d au$$

9. Os valores extremos de cada movimento do navio

Ao determinar a intensidade dos deslocamentos do navio em cada grau de liberdade sob um mar irregular, é de considerável importância a probabilidade de ocorrência de valores extremos que possam afetar a segurança do navio, da tripulação e da carga.

9.1. Por que os extremos importam

Em águas profundas, o embarque de ondas no convés principal (green water) pode comprometer a estabilidade transversal intacta; movimentos rápidos e amplos em roll podem lançar contêineres à água; uma carga sólida a granel pode correr quando ultrapassado o ângulo de repouso ou de deslizamento; uma aceleração vertical entre 0,10 e 0,20 da aceleração da gravidade é limite para o enjoo em navios de passageiros; e um mar de proa pode obrigar à redução de velocidade por causa do slamming.

Em águas rasas, define-se a probabilidade de o navio tocar o fundo sob a ação das ondas — um dos principais fatores, e o mais difícil de determinar, ao estabelecer as margens de segurança da folga abaixo da quilha (UKC) para a entrada em um canal desabrigado.

9.2. Definição e método de Ochi

O valor extremo surge quando uma pequena margem de probabilidade é excedida: entre cada passagem pelos zeros pode ocorrer um ponto de máxima intensidade em qualquer posição

. Define-se o valor extremo como o maior entre os máximos que podem ocorrer durante um número de observações ou durante um intervalo de tempo.

Há diversas metodologias. Pelo método de Ochi, numa distribuição de Rayleigh, a probabilidade $\alpha$ de que o valor extremo observado em $n$ observações exceda um valor médio, para largura de banda $\epsilon \leq 0{,}9$ — faixa que normalmente atende à análise de movimento do navio — é dada em função do número de observações.

$$\hat{n}_n = \left[\, 2\log_e\!\left(\frac{\sqrt{1-\epsilon^2}}{1+\sqrt{1-\epsilon^2}}\,\frac{2n}{\alpha}\right)\right]^{\frac{1}{2}}$$ — amplitude do valor extremo em $n$ observações (método de Ochi, Rayleigh).

Um exemplo das amplitudes dos valores extremos em $n$ observações, para $\alpha = 0{,}005$, $0{,}01$, $0{,}05$ e $0{,}1$, foi apresentado pelo professor Bhattacharya

9.3. Valor extremo em função do tempo

Como na prática interessa mais o valor extremo em função do tempo do que do número de observações, exprime-se $n$ em função do tempo $T$ (em horas). Segundo Bhattacharyya e Ochi, $n$ combina as razões de momentos $m_2/m_0$ e $m_4/m_2$.

$$n = (60)^2\left(\frac{T}{4\pi}\right)\left(\sqrt{\frac{m_2}{m_0}} + \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}\right)$$ — número de observações em função do tempo $T$ (horas).

Substituindo, a amplitude do valor extremo em função do tempo aparece como um fator de pico multiplicado pelo desvio-padrão do movimento, $\sqrt{m_0}$. O termo entre colchetes, elevado a um meio, é o fator de pico propriamente dito.

$$\hat{n}_n = \left[\, 2\log_e\!\left(\frac{(60)^2\,T}{2\pi\alpha}\,\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}\,\right)\right]^{\frac{1}{2}}\sqrt{m_0}$$ — valor extremo em função do tempo: fator de pico vezes o desvio-padrão $\sqrt{m_0}$.

Deve-se enfatizar que esses valores de movimento extremo vêm de previsões estatísticas baseadas na teoria linear, que não são válidas em condições de mar extremo, mas que, felizmente, atendem à maioria das condições operacionais do navio.