MMPH · Cap.4 O Mar Irregular e Confuso — Princípios de Hidrodinâmica (Santos)

Os dois "mares"

Tipo	Como é
irregular	ondas de alturas e períodos variados numa mesma direção
confuso	trens de onda de direções diferentes superpostos

O mar real não é onda regular: descreve-se por estatística, via espectro do mar — não por forma determinística.

Marcos históricos (a virada estatística)

Rayleigh: a lei básica do mar seria a aparente falta de qualquer lei → saída pela análise espectral (raiz em Fourier).
Sverdrup e Munk (1947): introduzem a altura significativa e um período médio p/ ondas de vento aleatórias.
Longuet-Higgins (1952): alturas estatisticamente independentes; máximos seguem a distribuição de Rayleigh.
St. Denis e Pierson (1953): aplicam o princípio da superposição ao movimento do navio em mar irregular.

Resposta do navio a mar irregular = soma das respostas a ondas regulares, sobre todas as frequências.

Só os histogramas de altura (Fig. 132) e de período (Fig. 133) não relacionam altura × período: p/ um mesmo período há várias alturas, e vice-versa.

Sinal irregular → soma de senoides

FourierA amplitude no tempo é um sinal irregular escrito por série de Fourier como somatório de ondas regulares no domínio da frequência.

ζ(t) = a₀ + Σ a_icos ω_it + Σ b_isin ω_it › forma equivalente em fase aleatória ζ(t) = a₀ + Σ ā_icos(ω_it − δ_i)

SuperposiçãoOndas lineares → basta somar as componentes: ζ₁+ζ₂+ζ₃ = ζ(t) já resulta visivelmente irregular (Fig. 134).

Análise reversa: do sinal ζ(t) no tempo recupera-se cada onda regular geradora — escolhe-se ω, obtém-se a amplitude a(ω), e a fase ε diz se começa por crista ou cavado.

**Fig. 131** — Figura 131 — série temporal da elevação da superfície do mar

Mar	Dimensão	Geração
irregular	bidimensional	vento sobre grande área, cristas contínuas na direção do vento
confuso	tridimensional	cruzamento de ondas de tempestades de direções diferentes (Fig. 135)

O confuso é o mais comum na natureza; mas admite-se que o irregular bidimensional tenha efeito máximo sobre um corpo dentro dele.

A energia define o mar

ChaveNão se define pela forma (nunca repete o padrão). Define-se pela energia total por m² = soma das energias das pequenas ondas.

Energia da onda regular (Cap. 1) = ρg·h²/8 por m² › total E = (ρg/S)·⅛·(h₁²+h₂²+…) › soma dos quadrados das alturas

O espectro

Espectro do mar = energia distribuída segundo as frequências das ondas (ordenada = energia por unidade de frequência; área = energia total).

**Fig. 137** — Figura 137 — espectro de energia (histograma e curva de densidade) (multipainel)

Exige continuidade: mar = número infinito de ondas de frequências ligeiramente diferentes e alturas pequenas → curva suave (Fig. 138). Poucas ondas fariam o padrão repetir em grupos.
Construído da alta frequência (ondas curtas) p/ baixa: com o vento persistindo surgem ondas mais longas até o mar totalmente desenvolvido; o pico desloca-se p/ as baixas frequências.

**Fig. 139** — Figura 139 — densidade espectral do mar (mar desenvolvido e parcial)

PremissaSuperfície = muitas senoides de frequências próximas de um ω comum = mar de banda estreita. Período contado por duas passagens sucessivas pelo zero (Fig. 140).

Distribuição de Rayleigh (Longuet-Higgins, 1952)

P(h ≥ h_i) = e^{−(h_i/h_rms)²} › h_rms = valor quadrático médio (eficaz) = √(⅟_M Σ h_i²)

Alturas médias característicasintegrando a distribuição (Fig. 143):

Altura	Valor
média geral H̄ (p=1)	= 0,886 h_rms
terço mais alto h_1/3	= 1,416 h_rms = √2 h_rms
décimo mais alto h_1/10	= 1,80 h_rms

Altura significativa = média do terço (1/3) mais alto das ondas — parâmetro mais comum p/ definir a altura do mar (origem no "olhar marinheiro": reporta as maiores).

Rayleigh vale com precisão só p/ espectro estreito, e p/ a amplitude acima/abaixo do nível não perturbado (não p/ altura crista-a-cavado). Ainda assim dá excelente correlação, com precisão de engenharia, seja qual for a forma do espectro.

O espectro é estatístico, não determinístico: prevê com que frequência ocorrem alturas, mas NÃO prevê a próxima onda nem o padrão instantâneo.

Estatística	Definição
H mais provável (moda)	altura de maior frequência de ocorrência
H médio	média de todas as alturas
H significativa (H_1/3)	média do terço mais alto; ≈ 4√m₀
H_1/10	média do décimo mais alto

**Fig. 143** — Figura 143 — distribuição das alturas de onda (H médio, significativo, 1/10, 1/3)

Bretschneider (1959) — dois parâmetros

Função teórica mais referida; enfatizou relações de período (não de frequência). Forma: S(T) = αT³e^−βT⁴.
Frequência de pico ω₀ = (3/5)^¼(2π/T_p) — NÃO é o recíproco do período de pico.
Vários períodos-padrão: modal T₀; médio T₁ ≈ 0,857 T₀; T₂ (passagem por zero) ≈ 0,710 T₀; entre cristas T_c.

Área do espectro ↔ altura significativa

Na escala quase universal (ordenada = ½ da amplitude²), a área = variância σ² = momento de ordem zero m₀: E = σ² = H_s²/16 ⇒ H_s = 4√m₀.

Outras escalasSt. Denis–Pierson: E=H_s²/8 · Bretschneider: E=h_rms²=H_s²/2 · dobro dos quadrados: E=H_s².

ISSC (1964) e ITTC (1978)

Ambos derivam da altura/período médios e reduzem-se, na prática, ao próprio espectro de Bretschneider (constante 5/16 = 0,3125).

Pierson-Moskowitz (1964)

Sobre o formato de Neumann (1953), agora dimensionalmente correto: S(ω) = 0,0081·g²·ω⁻⁵·e^{−(5/4)(ω₀/ω)⁴}.
Constante de Phillips α = 0,0081 (faixa de equilíbrio, limite superior independente do vento e da pista).
Espectro de apenas um parâmetro (T₁ ou ω₀); uso restrito a mar totalmente desenvolvido, vento moderado sobre pista muito extensa.

"PM modificado" = o mesmo espectro de dois parâmetros de Bretschneider — que aliás precede o PM clássico.

JONSWAP (1973)

Joint Sea Wave Project, sob Hasselman e Barnett: sensores por ~160 km a oeste da costa alemã (Mar do Norte).
= Pierson-Moskowitz × fator de pico; γ = fator de realce (aprimoramento) do pico; σ = alargamento (σ_a se f<f₀, σ_b se f>f₀).
Valores médios do experimento: α=0,0081, γ=3,3, σ_a=0,07, σ_b=0,09. Em geral γ varia de 1 a 7.
Picos acentuados são comuns no Mar do Norte, com pouca tendência de "achatamento" rumo ao PM — a ponto de se questionar se o mar totalmente desenvolvido chega a ocorrer.

Espectro	Parâmetros	Condição de mar
Bretschneider / ISSC / ITTC	2 (energia ou H_s + período de pico)	totalmente desenvolvido
Pierson-Moskowitz	1 (velocidade do vento)	totalmente desenvolvido pelo vento
PM modificado	2 (ajuste a dados)	estados de mar reais
JONSWAP	PM + realce de pico γ	pista (fetch) ou duração limitada

Momento espectralm_n = ∫₀^∞ ωⁿ S(ω) dω — integral do espectro ponderado por ωⁿ.

Momento	Caracteriza
1º	tendência central
2º	dispersão
3º	assimetria
4º	curtose

Momento de ordem zero m₀ = variância das alturas ⇒ h₁²/16 = m₀ ⇒ h₁ = 4√m₀.

Frequência médiaω̄ = m₁/m₀ ⇒ período recíproco T₁ = 2π/ω̄.

T₁: m₀, m₁ › T₂ (cruzamento por zero): (T₂/2π)² = m₀/m₂ › T_c (entre cristas): (T_c/2π)² = m₂/m₄

Para p=5, q=4, todas as relações reduzem-se às do espectro de dois parâmetros; todos os m_n têm forma fechada (função gama) — sem integração numérica.

Mesmo princípio das ondas: obtém-se o movimento do navio ao quadrado = soma dos quadrados dos movimentos regulares numa frequência. Vantagem: um mesmo espectro de mar gera diferentes espectros de resposta de diferentes navios.

Três formas de avaliar a resposta

teoria hidrodinâmicatestes de modelo em tanquemedições em escala real no mar

O elo: RAO²

RAOResponse amplitude operator = quadrado da função transferência (método do Cap. 3). Multiplica-se a altura espectral pelo RAO² na mesma frequência.

S_R(ω) = |RAO(ω)|² · S(ω) › espectro de resposta = espectro do mar × RAO² em cada frequência

Sequência (heave)

Escolher espectro de mar — recomenda-se o ITTC quando nenhum outro tiver sido escolhido.
Transformar da frequência absoluta p/ a frequência de encontro, preservando a área (energia constante): S_ζ(ω_e) = S_ζ(ω)·g/(g − V·cos μ); largura depende de V e do rumo relativo μ.
Da área do espectro de resposta vêm as características do movimento: m₀=variância do deslocamento, m₂=da velocidade, m₄=da aceleração.

Deslocamento significativo da resposta: η_s = 4√m₀ (mesma forma da altura significativa); frequência média ω̄ = m₁/m₀.

**Fig. 148** — Figura 148 — espectro de resposta / encontro Sζ(ωe) com pico deslocante

Por quêP/ calcular as forças sobre o navio, leva-se o resultado da frequência ao tempo por dois conceitos: resposta ao impulso + integrais de convolução.

Impulso e delta de Dirac

2ª lei F = Ṗ › integrando, impulso I = ∫F dt = P₁ − P₂ › Δt→0: força impulsiva F = I·δ(t−τ) (delta de Dirac)

Convolução

Resposta ao impulsoForça unitária → resposta g(t) que só perdura p/ t > τ. Força arbitrária = sucessão de impulsos → resposta total:

g(t) = ∫₀^t f(τ)·r(t−τ) dτ › integral de convolução (força × resposta ao impulso)

Cummins (1962) — força das ondas no tempo

Equação de movimento em 6 graus de liberdade: reúne excitação, massa adicional a_ij, amortecimento b_ij e restauração c_ij.
Não se isola a aceleração instantânea (há termos fora de fase desconhecidos). Cummins separa o escoamento em reação instantânea + parcela que persiste e decai.
Essa parcela = convolução com a função de memória (retardação) K_ij. Como b_ij(ω) é a transformada de Fourier em cosseno de K_ij, é preciso o amortecimento em todas as frequências p/ reconstruir a resposta no tempo.

DefiniçãoValor extremo = o maior entre os máximos que podem ocorrer durante um número de observações ou um intervalo de tempo (Fig. 155).

Por que os extremos importam

Situação	Risco
green water no convés	compromete estabilidade transversal intacta (águas profundas)
roll rápido e amplo	lança contêineres à água; carga a granel corre além do ângulo de repouso
aceleração vertical 0,10 a 0,20 g	limite p/ enjoo em navios de passageiros
mar de proa / slamming	obriga a reduzir velocidade
águas rasas	probabilidade de tocar o fundo → margem de UKC (folga abaixo da quilha)

Método de Ochi

Numa distribuição de Rayleigh, p/ largura de banda ε ≤ 0,9 (faixa que atende à análise de movimento do navio), a amplitude do extremo é dada em função do nº de observações n.
Como interessa mais o extremo em função do tempo T (horas), exprime-se n via razões de momentos m₂/m₀ e m₄/m₂.
Resultado: fator de pico × desvio-padrão √m₀ — o termo entre colchetes elevado a ½ é o fator de pico.

Esses extremos vêm de previsões estatísticas da teoria linear: não valem em mar extremo, mas atendem à maioria das condições operacionais do navio.

**Fig. 156** — Figura 156 — valores extremos da amplitude em função do número de ciclos N